2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 三 第一課時(shí) 圓的極坐標(biāo)方程課件 新人教A版選修4-4.ppt

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第1課時(shí)圓的極坐標(biāo)方程,第一講三簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解極坐標(biāo)方程的意義.2.掌握?qǐng)A的極坐標(biāo)方程.3.能根據(jù)極坐標(biāo)方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì).,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),(1)在極坐標(biāo)系中，如果曲線C上的極坐標(biāo)中有一個(gè)滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的.(2)建立曲線的極坐標(biāo)方程的方法步驟①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；②列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑與極角之間的關(guān)系式；③將列出的關(guān)系式整理、化簡(jiǎn)；④證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程.,,知識(shí)點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程,,,,,任意一點(diǎn),至少,都在曲線C上,極坐標(biāo)方程,,知識(shí)點(diǎn)二圓的極坐標(biāo)方程,,,,,答案不一定.,思考1在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(ρ，θ)的軌跡方程中一定含有ρ或θ嗎？,,,,,答案ρ＝2.,思考2圓心在極點(diǎn)，半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程是什么？,梳理圓的極坐標(biāo)方程,r,2rcosθ,2rsinθ,－2rcosθ,－2rsinθ,題型探究,例1求圓心在(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程.,,類型一求圓的極坐標(biāo)方程,解答,解在圓周上任取一點(diǎn)P(如圖)，設(shè)其極坐標(biāo)為(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OPOCcos∠COP，故其極坐標(biāo)方程為,引申探究若圓心在(3,0)，半徑r＝2，求圓的極坐標(biāo)方程.,解設(shè)P(ρ，θ)為圓上任意一點(diǎn)，則|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP||OC|cos∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，即ρ2＝6ρcosθ－5.當(dāng)O，P，C共線時(shí)此方程也成立.,解答,反思與感悟求圓的極坐標(biāo)方程的步驟(1)設(shè)圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為M(ρ，θ).(2)在極點(diǎn)、圓心與M構(gòu)成的三角形中運(yùn)用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化簡(jiǎn).(3)驗(yàn)證極點(diǎn)、圓心與M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)M(ρ，θ)的極坐標(biāo)也適合上述極坐標(biāo)方程.,跟蹤訓(xùn)練1在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心為C，半徑為r＝3.求圓C的極坐標(biāo)方程.,解設(shè)M(ρ，θ)為圓C上任一點(diǎn)，易知極點(diǎn)O在圓C上，設(shè)OM的中點(diǎn)為N，∴△OCM為等腰三角形，,解答,,命題角度1直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程例2把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.(1)x2＋y2＝1；,類型二極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,解答,∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1.,解∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－4ρcosθ＋4＝0，∴ρ2－4ρcosθ＋4＝0.,(2)x2＋y2－4x＋4＝0；,(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.,解答,解∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0.∴ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，,反思與感悟在進(jìn)行兩種坐標(biāo)方程間的互化時(shí)，要注意(1)互化公式是有三個(gè)前提條件的，即極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與直角坐標(biāo)系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同.(2)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是惟一的，但這里約定只在0≤θ<2π范圍內(nèi)求值.,解將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－2x－1＝0，得(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－1＝0，化簡(jiǎn)，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.,跟蹤訓(xùn)練2把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.(1)y2＝4x；,解答,解將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化簡(jiǎn)，得ρsin2θ＝4cosθ.,(2)x2＋y2－2x－1＝0.,命題角度2極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程例3把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.,解答,(1)ρ2cos2θ＝1；,解∵ρ2cos2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，∴化為直角坐標(biāo)方程為x2－y2＝1.,∴ρcosθ－ρsinθ－1＝0.又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，∴x－y－1＝0.,解答,解答,反思與感悟由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)要注意變形的等價(jià)性，通?？傄忙讶コ朔匠痰膬啥耍瑧?yīng)該檢查極點(diǎn)是否在曲線上，若在，是等價(jià)變形，否則，不是等價(jià)變形.,跟蹤訓(xùn)練3把下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化.(1)x2＋y2－2x＝0；,解答,解∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcosθ＝0.∴ρ＝2cosθ.,解∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.,(2)ρ＝cosθ－2sinθ；,解∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2.∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.,(3)ρ2＝cos2θ.,解答,例4若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；,,類型三直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程互化的應(yīng)用,解答,由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.,(2)若曲線ρsin＝0與曲線C相交于A，B，求|AB|的值.,即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.,解答,反思與感悟在研究曲線的性質(zhì)時(shí)，如交點(diǎn)、距離等，如果用極坐標(biāo)不方便，可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，反之，可以轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.,跟蹤訓(xùn)練4在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為______.,答案,(1,1),達(dá)標(biāo)檢測(cè),答案,1.極坐標(biāo)方程分別為ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個(gè)圓的圓心距是A.3B.C.1D.,1,2,3,4,5,√,2.將極坐標(biāo)方程ρ2cosθ－ρ＝0化為直角坐標(biāo)方程為A.x2＋y2＝0或y＝1B.x＝1C.x2＋y2＝0或x＝1D.y＝1,1,2,3,4,5,√,答案,答案,解析,3.在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是,1,2,3,4,5,√,解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0,1)，,∴它表示的曲線為拋物線.,4.4ρsin2＝5表示的曲線是A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線,1,2,3,4,5,答案,解析,√,1,2,3,4,5,5.在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心為C，半徑為1，求圓C的極坐標(biāo)方程.,解答,1,2,3,4,5,解在圓C上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)，在△POC中，由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OCOPcos∠POC，,當(dāng)O，P，C共線時(shí)，此方程也成立，,1.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的區(qū)別由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的惟一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程,規(guī)律與方法,本課結(jié)束,,