第二章 推理與證明導(dǎo)學(xué)案

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1、 合情推理(1) …一一學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解歸納推理的含義； 2. 能利用歸納進行簡單的推理，體會并認(rèn)識歸納推 理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 1 ■■- 學(xué)習(xí)過程 一、 課前準(zhǔn)備 (預(yù)習(xí)教材烏8?尸30,找出疑惑之處) 在日常生活中我們常常遇到這樣的現(xiàn)象： (1) 看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家， 推斷天要下雨； (2) 八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈. 以上例子可以得出推理是 的思維過程. 二、 新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：歸納推理 問題1:哥德巴赫猜想：觀察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 1

2、2=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ......, 50=13+37, ......, 100=3+97，猜想： . 問題2：由銅、鐵、鋁、金等金屬能導(dǎo)電，歸納出 . 新知：歸納推理就是由某些事物 的，推出該類事物的 的推理，或者由 的推理.簡言之，歸納推理是由 的推理. 淤典型例題 例1觀察下列等式：1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， 你能猜想到一個怎樣的結(jié)論? 例2已知數(shù)列｛a｝的

3、第一項氣=1，且 a a〃+i = 1 + a (" = 1 ' 2 , 3 .試歸納出這個數(shù)歹。的 n 通項公式. 1 1 變式：在數(shù)列｛ an｝中，a = Ja + 一)( n > 2 )， n 試猜想這個數(shù)列的通項公式. 你能猜想到一個怎樣的結(jié)論? 變式：觀察下列等式：1=1 一丁、■ 1 練1.應(yīng)用歸納推理猜測、,：111?

4、? ? 1 - 222…2的結(jié)果. A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分： 1,下列關(guān)于歸納推理的說法錯誤的是( ), A. 歸納推理是由一般到一般的一種推理過程 B. 歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程 C. 歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確 D. 歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識功能 2.若f (n) = n2 + n + 41, n e N,下列說法中正確的是 ( ). A. f (n)可以為偶數(shù) B. f (n) 一定為奇數(shù) C. f (n) 一定為質(zhì)數(shù) D. f (n)必為合數(shù) 2a . 練 2,在數(shù)列｛a

5、｝中，a = 1 ,a = ^~ ( n e N *), n 試猜想這個數(shù)列的通項公式. 3. 已矢口 f (x +1) = 2f (x) f (x) + 2 f (x)的表達式為( 4 A. f (x)= 2 x + 2 C.f (x) = ^— x +1 ,f (1) = 1 ( x e N *),猜想 ). B. f ⑴=二 x +1 D.f (x)= 2 x +1 4. f (n) = 1 +1 +1 + ..? +」(n e N ), 經(jīng)計算得 2 3 n + 計算S , S , S , S ,并猜想S 1

6、2 3 4 n 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 歸納推理的定義. 2. 歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn) 某些相同的性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個 明確表述的一般性命題(猜想). 淤知識拓展 1. 費馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王一費馬 (1601-1665 )在 1640 年通過對 F = 22。+1 = 3, F = 221 +1 = 5 , F = 222 +1 = 17 , F = 2 +1 = 257 , F = 224 +1 = 65 5：7的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素數(shù)， 提出猜想：對所有的自然數(shù)n，任何形如F = 22n +1 的數(shù)都是素數(shù).后來瑞士數(shù)學(xué)家

7、歐拉發(fā)現(xiàn) F = 225 +1 = 4 294 967 297 >64 1 6 7 不0 5 是素數(shù)，推翻費馬猜想. 2, 四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)的弗南 西斯,格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時， 發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種 顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏 色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976 年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué) 的兩臺不同的電子計算機上，用1200個小時，作 了 100億邏輯判斷，完成證明. …一學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( ).  3 5 7 — f (2) =

8、-, f (4)〉2, f (8)〉-, f (16)〉3, f (32)〉-猜 乙 乙 乙 測當(dāng)n > 2時，有. 5.從 1 = 12,2 + 3 + 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6 + 7 =—中得出 的一般性結(jié)論是 …課后作業(yè) 1.對于任意正整數(shù)n,猜想(2n -1)與(n +1)2的大 小關(guān)系. 2 2.已知數(shù)列｛a ｝的前n項和S , a =-2，滿足 n n 1 3 一 1 一 S + s~ + 2 = a (n > 2) 4 ] 7 *. 的表達式. 合情推理(2) — 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解類比推理的含義； 2.

9、能利用類比進行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推 理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. A ' ■ ■■學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P30?P38，找出疑惑之處） 1.已知 a> 0（i = 1,2, ..., n）,考察下列式子: （i） a — > 1 ； （ii） （a + a ）（一 + —） > 4 ； 1 a 1 2 a a 1 1 2 1 1 1 (iii) (a + a + a )(一 + — + —) > 9 .我們可以歸納 1 2 3 出，對a ,a，…,a也成立的類似不等式為 1 2 n 2.猜想數(shù)列上,--^,-^,-工,?… 1 x 3 3 x 5 5

10、x 7 7 x 9 的通項 公式是 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及 沉浮原理發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球 有許多相似點，如都是繞太陽運行、繞軸自轉(zhuǎn)的行 星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生 存，科學(xué)家猜測：火星上有生命存在.以上都是類 比思維，即類比推理. 新知：類比推理就是由兩類對象具有 和其中，推出另一類對象也具有這 些特征的推理.簡言 之，類比推理是由 至U 的推理. ※典型例題 例1類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算 性質(zhì). 類比 角度 實數(shù)的加法 實數(shù)的乘法 運算 結(jié)果 運算律

11、 逆運算 單位元 變式：找出圓與球的相似之處，并用圓的性質(zhì)類比 球的有關(guān)性質(zhì). 圓的概念和性質(zhì) 球的類似概念和性質(zhì) 圓的周長 圓的面積 圓心與弦（非直徑）中 點的連線垂直于弦 與圓心距離相等的弦長 相等，與圓心距離不等 的兩弦不等，距圓心較 近的弦較長 以點（％,*）為圓心，r 為半徑0的0圓的方程為 （X 一％）2+3 * = r 2 例2類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空 變式：用三角形的下列性質(zhì)類比出四面體的有關(guān)性 質(zhì). 三角形 四面體 三角形的兩邊之和大于 第三邊 三角形的中位線平行且 等

12、于第三邊的一半 三角形的面積為 S = 2（a + b + c）r （r 為三 角形內(nèi)切圓的半徑） 間中四面體性質(zhì)的猜想. 新知: 和 都是根據(jù)已有的事實， 經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行， 然后提出 的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合 情推理.一般說合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種 猜想，未必可靠. 淤動手試試 練1.如圖，若射線OM，ON上分別存在點M ,M 與點N1, N2 ，則三角形面積之比s皿\% = OM 1 ? ON1 ,若不在同一平面內(nèi)的射線 Sg OM 2 ON2 OP, OQ上分別存在點P,P，點Q ,Q和點R ,R , 1 2 1 2 1 2

13、則類似的結(jié)論是什么？ 1119.、、 . 練2,在AABC中，不等式-+ - + — >-成立；在 ABC 兀 四邊形ABCD中，不等式-+ - + - + — >姬成立; A B C D 2 兀 在五邊形 ABCDE 中，不等式 I — — — —+—+—+—+ A B C D A1 A2... A.中，有怎樣的不等式成立? 在n邊形 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 類比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相 似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類 事物的性質(zhì)得出一個命題(猜想). 3. 合情推理僅是“合乎情

14、理”的推理，它得到的結(jié)論 不一定真，但合情推理常常幫我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的 規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法. 1. 下列說法中正確的是( ). A, 合情推理是正確的推理 B, 合情推理就是歸納推理 C. 歸納推理是從一般到特殊的推理 D. 類比推理是從特殊到特殊的推理 2. 下面使用類比推理正確的是( ). A. “若 a - 3 = b - 3,則 a = b”類推出“若 a - 0 = b - 0, 則 a = b” B. “ 若(a + b)c = ac + bc ”類推出 “ (a - b)c = ac - bc ” C. “ 若(a + b)c = ac +

15、bc ” 類推出 “ ^^ = a + b c c c (如” D. “( ab)n = anbn ” 類推出“(a + b)n = an + bn 3. 設(shè) f0(x) = sin x, f (x) = f0 (x)， f (x) = f'(x),…,f (x) = f'(x) ， nEN ，則 2 1 n+1 n f2007x) = ( )? A. sin x B.— sin x C.cos x d.— cos x 4. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圓 0>00?000?0000*00000?- 若將此若干個圓按此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的 圓，那么在前2006個圓

16、中有 個黑圓. 5. 在數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13, x，34，55...... 中的x的值是 . 比一課后作業(yè) 1.在等差數(shù)列｛an｝中，若a10 = 0，則有 a + a + + a = a + a + + a (n < 19,n e N*) 1 2 n 1 2 19-n 成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列｛b｝中，若b = 1， 則存在怎樣的等式？ n 9 2.在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項和S’ 、O 1 ( 1 ) 滿足s = ~ a +— 1(1)求a ,a ,a ； (2)由 n 2 " n a ) 1 2 3 (1)猜想數(shù)列｝的通項公式；(

17、3)求S n n ※知識拓展 試一試下列題目： 1. 南京：江蘇 A. 石家莊：河北 C.泰州：江蘇 2. 成功：失敗 A. 勤奮：成功 C.艱苦：簡陋 3. 面條：食物 A. 口蘋果：水果 C.口菜肴：蘿卜 B. 渤海：中國 D.秦嶺：淮河 B. 懶惰：失敗 D.簡單：復(fù)雜 B. 口手指：身體 D.口食品：巧克力 演繹推理 A '■■ ■■學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( ) A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分： 1. 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，體會 演繹推理的重要

18、性; 2. 掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行 一些簡單的推理.  D, E是垂足.求證：AB的中點M到D, E的距離 相等. …學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P39?P42，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：歸納推理是由 到 的推理. 類比推理是由 到 的推理. 復(fù)習(xí)2：合情推理的結(jié)論. 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：演繹推理的概念 問題：觀察下列例子有什么特點？ （1） 所有的金屬都能夠?qū)щ姡~是金屬，所以—; （2） 太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行， 冥王星是太陽系的大行星，因E； （3） 在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點是

19、100。C，所 以在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100。C時， ； （4） 一切奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所 以; （5） 三角函數(shù)都是周期函數(shù)，sin a是三角函數(shù)， 所以; （6） 兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.如果A與B是 兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么. 新知：演繹推理是從 出發(fā)，推出 情況下的結(jié)論的推理.簡言之，演繹推理是由 到 的推理. 探究任務(wù)二：觀察上述例子，它們都由幾部分組成， 各部分有什么特點？ 所有的金屬都導(dǎo)電 銅是金屬 銅能導(dǎo)電 已知的一般原理 特殊情況 根據(jù)原理，對特殊 情況做出的判斷 大前提 小前提

20、結(jié)論  新知：用集合知識說明“三段論”： 大前提： 小前提： 結(jié)論： 例2證明函數(shù)f （x） =-X2 + 2X在（-8, -1］上是增函 數(shù). 小結(jié)：應(yīng)用“三段論”解決問題時，首先應(yīng)該明確 什么是大前提和小前提，但為了敘述簡潔，如果大 前提是顯然的，則可以省略. 例3下面的推理形式正確嗎？推理的結(jié)論正確 嗎？為什么？ 所有邊長相等的凸多邊形是正多邊形，（大前提） 菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，（小前提） 菱形是正多邊形. （結(jié) 論） 新知：“三段論”是演繹推理的一般模式： 大前提 : ; 小前提——: 結(jié)論一: 試試：請把探究任務(wù)一中的演繹推理（

21、2）至（6） 寫成“三段論”的形式.  小結(jié)：在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確 的，結(jié)論必定正確. 淤動手試試 練1.用三段論證明：通項公式為a = cqn（cq豐0）的 數(shù)列｛a ｝是等比數(shù)列. ” 淤典型例題 例1 在銳角三角形ABC中，AD ± BC,BE ± AC， 一二■ 5 是因為 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D.非以上錯誤 2. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真 分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)” 結(jié)論顯然是錯誤的，是因為 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D.非以上錯誤 練2

22、,在AABC中，AC > BC , CD是AB邊上的高， 求證 ZACD > ZBCD . 證明：在 AABC 中，CD ± AB, AC > BC , 所以AD > BD, 于是 ZACD > /BCD . 指出上面證明過程中的錯誤. 3. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則 平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b堂平面a，直 線au平面a，直線b〃平面a，則直線b 〃直線 a”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D.非以上錯誤 4. 歸納推理是由 到 的推理； 類比推理是由 到 的推理； 演繹推理是由 到 的推理. 5

23、. 合情推理的結(jié)論； 演繹推理的結(jié)論. * '、— 課后作業(yè) 1. 用三段論證明：在梯形ABCD中，AD//BC， AB=DC，貝0 /B = /C . 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 1.合情推理 歸納推理：由特殊到一般 類比推理：由特殊到特殊 結(jié)論不一 定正確. 2.演繹推理：由一般到特殊.前提和推理形式正確 結(jié)論一定正確. 淤知識拓展 乒乓球教練組將從右手執(zhí)拍的選手R、S、T和 左手執(zhí)拍的選手L、M、N、O中選出四名隊員去參 加奧運會。要求至少有兩名右手執(zhí)拍的選手，而且 選出的四名隊員都可以互相配對進行雙打。已知s 不能與L配對.T不能與N配對，M不能與L

24、或N 配對。若R不被選入隊中，那么有幾種不同的選法? A.只有一種B.兩種C.三種D.四種 …一學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分： 1.因為指數(shù)函數(shù)J = ax是增函數(shù)，j =（」）x是指數(shù) 2 函數(shù)，則J =（馬x是增函數(shù),這個結(jié)論是錯誤的，這 2  2.用三段論證明：f （x） = X3 + x（x G R）為奇函數(shù). §2.1合情推理與演繹推理（練習(xí)） …學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能利用歸納推理與類比推理進行一些簡單的推 理； 2. 掌握演繹推理的基本方法，并能運

25、用它們進行一 些簡單的推理； 3. 體會合情推理和演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系. L-u 學(xué)習(xí)過程 一、 課前準(zhǔn)備 (復(fù)習(xí)教材P28?烏0，找出疑惑之處) 復(fù)習(xí)1：歸納推理是由 到 的推理. 類比推理是由 到 的推理. 合情推理的結(jié)論. 復(fù)習(xí)2：演繹推理是由 至U 的推理. 演繹推理的結(jié)論. 變式：已知等差數(shù)列｛□ ｝的公差為d ,前n項和為 n Sn，有如下性質(zhì)： (1) a = a + (n - m)d , (2) 若m + n = p + q,(m,n,p,q gN*), 貝 0 a + a = a + a , m n p q 類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列｛bn｝

26、中，寫出類似的性 質(zhì). n 二、 新課導(dǎo)學(xué) 淤典型例題 例1觀察(1) (2) tanlOo tan 2Oo + tan 2Oo tan 6Oo + tan 6Oo tan1Oo = 1; tan5 o tan1Oo + tan1Oo tan75o + tan75o tan5 o = 1 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論. 3 變式:已知：sin2 3O。+ sin2 9O。+ sin215O。=— 2 3 sin 2 5。+ sin 2 65。+ sin 2125。=— 2 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般 性的命題，并給出的證明.

27、 例 2 在RtAABC中，若ZC = 90。， 則 cos2 A + cos2 B = 1，則在立體幾何中，給出四面體 性質(zhì)的猜想. 淤動手試試 練1. 若數(shù)列么〃｝的通項公式a” = (n +1)2 (n g N +)， 記 f(n) = (1 — a1)(1 _ a2)…(1 — a )，試通過計算 f (1), f (2), f (3)的 2 值，n 推 測 出 f (n) =. 練2.若三角形內(nèi)切圓半徑為，，三邊長為a,b,c^\ 三角形的面積S = 2r(a + b + c),根據(jù)類比思想，若 四面體內(nèi)

28、切球半徑為R,四個面的面積為 S ,S ,S ,S，則四面體的體積件. 12 3 4 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 1.合情推理 歸納推理：由特殊到一般 類比推理：由特殊到特殊 結(jié)論不一 ③ 垂直于同一直線的兩直線平行 ④ 一條直線如果與兩條平行線中的一條相交，則必 與另一條相交 在空間中也成立的為( ). A.①②B.③④C.②④D.①③ 3. 用演繹推理證明函數(shù)J = X3是增函數(shù)時的大前提 是( ). A. 增函數(shù)的定義 B. 函數(shù)J = X3滿足增函數(shù)的定義 C. 若 x < x，貝0 f (x ) < f (x ) 12 1 2 D. 若 x < x ,則

29、 f (x ) > f (x ) 12 1 2 4. 在數(shù)列｛a ｝中,已知 a = 2,a =—an— (n g N*), n i n+i 3a +1 n 試歸納推理出a =. 5. 設(shè)平面內(nèi)有；條直線(n > 3)，其中有且僅有兩 條直線互相平行，任意三條直線不過同一點.若用 f (n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f⑷二—； 當(dāng)n>4時，f (n) =(用含n的數(shù) 學(xué)表達式表示). ￡- 課后作業(yè) 1.證明函數(shù)f (x) = -x2 + 4x在［2, +3)上是減函數(shù). 定正確. 2. 演繹推理：由一般到特殊.前提和推理形式正確 結(jié)論一定正確. 淤知識拓展 有金

30、盒、銀盒、鋁盒各一個，只有一個盒子里 有肖像，金盒上寫有命題召：肖像在這個盒子里， 銀盒子上寫有命題織肖像不在這個盒子里，鋁盒 子上寫有命題〃：肖像不在金盒里，這三個命題有 且只有一個是真命題，問肖像在哪個盒子里？為什 么？ 學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( ). A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分： 1. 由數(shù)列1,10,100,1000,，猜想該數(shù)列的第n項可 能是( ). A.10 n B.10n1 C.10n+1 D.11〃 2. 下面四個在平面內(nèi)成立的結(jié)論 ① 平行于同一直線的兩直線平行 ② 一條直線如

31、果與兩條平行線中的一條垂直，則必 與另一條相交 2.數(shù)列｛a ｝滿足S = 2n - a，先計算數(shù)列的前4項, 再歸納猜想氣." n 綜合法和分析法(1) S-學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種 基本方法：分析法和綜合法； 2. 會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程. 3. 根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點， 選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 一、課前準(zhǔn)備 (預(yù)習(xí)教材p45?P47，找出疑惑之處) 復(fù)習(xí)1：兩類基本的證明方法:和‘ 復(fù)習(xí)2：直接證明的兩中方法： 和. 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：綜合法的應(yīng)用 問題：已知a, b

32、 > 0, 求證:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) > 4abc . 立的條件,這是一種由因索果的證明. 例2在△△&「中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別 為a、b、c,且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成 等比數(shù)列.求證：為^ABC等邊三角形. 新知：一般地，利用 ,經(jīng)過 一系列的推理論證，最后導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立, 這種證明方法叫綜合法. 變式：設(shè)在四面體P - ABC中， /ABC = 90°, PA = PB = PC, D 是 AC 的中點.求 證:PD垂直于AABC所在的平面. 反思: 框圖

33、表示： 要點：順推證法；由因?qū)Ч? 淤典型例題 例 1 已知 a, b, c e R + , a + b + c = 1 ,求證： 111 一+—+—>9 a b c 變式：已知 a,b,c e R+, a + b + c = 1 ,求證: 4-1)d-1)4 -1)> 8. abc 小結(jié)：解決數(shù)學(xué)問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如 把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成 圖形語言等,還要通過細致的分析，把其中的隱含條 件明確表示出來. 淤動手試試 練1.求證：對于任意角。，cos4。-sin4 0 = cos 20

34、 小結(jié)：用綜合法證明不等式時要注意應(yīng)用重要不等 式和不等式性質(zhì)，要注意公式應(yīng)用的條件和等號成 —廠■ 9 練2. A, B為銳角， 且 tan A + tan B + \:3 tan A tan B = \:3 , 求證：A + B = 60 .(提示：算 tan(A + B)) 3.設(shè) P — + log211 - log3 11 ( )2 A. 0 < P < 1 B. C. 2 < P < 3 D. 4,若關(guān)于x的不等式 1 + 1 ，則 log411 log511 1< P < 2 3 < P < 4 3 1 （

35、k 2 - 2k + 2）x < （k 2 - 2k + 的解集為（2,+8 ）, 則k的范圍是 . 5, 已矢口 a, b是不相等的正數(shù)， x = ‘a(chǎn)二'b ,y = \a + b , 則0 x, j 的大小關(guān)系是 <2 課后作業(yè) 1. 已知a, b, c是全不相等的正實數(shù)， b + c - a a + c - b a + b - c 。 求證： + : + > 3 c B. a a < a a 1 8 4 5 D. a a = a a 1 8 4 5 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié) 論QeQ2…，直到最后的

36、結(jié)論是Q.運用綜合法可 以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證 明問題. 淤知識拓展 綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，它是 從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從 題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā)，經(jīng)過一 系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證的命題,綜合法 是一種由因索果的證明方法. 學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分： 1. 已 知 x, y g A,則”xy < 1"是”x2 + y2 < 1" 的 （） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充

37、要條件 D.既不充分也不必要條件 2. 如果a ,a，---a為各項都大于零的等差數(shù)列，公 1 2 8 差d。0，則（ ） A. a a > a a 1 8 4 5 C. a + a > a + a  2.在^ABC 中， cos 2 A cos 2 B 1 1 證明： — =——- a 2 b 2 a 2 b 2 綜合法和分析法（二） h…學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程. 2. 根據(jù)問題的特點，結(jié)合分析法的思考過程、特點， 選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. '：.學(xué)習(xí)過程 一、 課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P48?P50，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)

38、1：綜合法是由—導(dǎo); 復(fù)習(xí)2：基本不等式: : 二、 新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：分析法 問題： 如何證明基本不等式° * b N 櫥 （a〉0,b〉0） 2 新知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的 充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定 一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公 理等）為止. 反思：框圖表示 偵溫 W 要點：逆推證法；執(zhí)果索因 淤典型例題 例1求證-「3 +偵5〉U2 + ”6 證明：要證 只需證 SQL 平面 AEF, 只需證 AE^SC （因為）, 只疆證 AEL平倔 SHC. 只需證 角（因為）.

39、 只需證 強CL平偷SA玖 只需證 BC_LSA （因為 L 由5及_L平WAjyC可知，上式成立. 所以，AF±SC. 變式：設(shè)a,b,c為一個三角形的三邊， s =1 （a + b + c）,且 s2 = 2ab，試證 s < 2a . 2 變式：求證*3 +、7 < 2吉 小結(jié)：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難, 所以我們常用分析法探索證明的途徑. 例 2 在四面體 S - ABC 中，SA ± 面ABC, AB ± BC , 過A作SB的垂線，垂足為乙過E作SC的垂線，垂足 為

40、尸，求證AF 1 SC . 小結(jié)：用題設(shè)不易切入，要注意用分析法來解決問 題. 淤動手試試 練1.求證:當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時，圓 的面積比正方形的面積大. x + y x + y C. x < < 2xy < y D. x < 2xy < < y 22 練2,設(shè)a,b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積， 、 L 求證：c2 — a 2 — b2 + 4ab > 4\:3S 4. 若 a,b, c g R，則 a2 + b2 + c2 ab + bc + ac. 5, 將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水 （

41、b > a > 0），則其濃度為;若再加入m千 克的白糖（m > 0），糖水更甜了,根據(jù)這一生活常識提 煉出一個常見的不等式:. 疽支…課后作業(yè) 1. 已知 a > b > 0, 求證:伊二^ < Q _福< Hi. 8a 2 8b 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得 到Q所需要的已知P, P…，直到所有的已知P都 1 2, 成立. 淤知識拓展 證明過程中分析法和綜合法的區(qū)別： 在綜合法中，每個推理都必須是正確的，每個推論都 應(yīng)是前面一個論斷的必然結(jié)果，因此語氣必須是肯 定的. 分析法中，首先結(jié)論成

42、立,依據(jù)假定尋找結(jié)論成 立的條件，這樣從結(jié)論一直到已知條件.  2.設(shè) a, b g R + ,且 a 尹 b ,求證:a3 + b3 > a2b + ab2 學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分： 1. 要證明五+日< 2房可選擇的方法有以下幾種, 其中最合理的是 A.綜合法B,分析法C.反證法D.歸納法 2. 不等式①x2 + 3 > 3x ;②b +白> 2，其中恒成立的 a b 是 A.①B.② C.①② D.都不正確 3.

43、 已知y > x > 0,且x + y = 1,那么 人 x + y x + y A. x < < y < 2xy B. 2xy < x < < y  綜合法和分析法（3） 廠--學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)示例,了解綜合法和分析 法的思考過程和特點； 2. 學(xué)會用綜合法和分析法證明實際問題，并理解分 析法和綜合法之間的內(nèi)在聯(lián)系； 3. 養(yǎng)成勤于觀察、認(rèn)真思考的數(shù)學(xué)品質(zhì). —…學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P50?P51，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：綜合法是由 導(dǎo); 復(fù)習(xí)2：分析法是由 索. 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：綜合法和分析法的綜合運

44、用 兀 問題：已知a, p ^ k兀+ — (k g Z),且 2 sin 0 + cos 0 = 2sin a, sin0 ? cos0 = sin2p, 求證: 1 一 tan2 a 1 + tan2 a 1 - tan2 p 2(1 + tan2 p) 小結(jié)：牢固掌握基礎(chǔ)知識是靈活應(yīng)用兩種方法證明 問題的前提，本例中，三角公式發(fā)揮著重要作用. 例2在四面體P - ABC中，PD! A ABC AC = BC , D是AB的中點，求證：AB ! PC . 新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等， 用Q表示要證明的結(jié)

45、論，則上述過程可用框圖表示 為： 尊尸壹^?一變式：如果a,b〉0，則lg導(dǎo) > 也嚴(yán). 試試： 已矢口 tan a + sin a = a, tan a - sin a = b，求證： (a2 - b2)2 = 16ab . 反思：在解決一些復(fù)雜、技巧性強的題目時，我們 可以把綜合法和分析法結(jié)合使用. 淤典型例題 例1已知A,B都是銳角，且A + B ^-， 2 (1+ tan A)(1+ tan B) = 2，求證：A + B = 45。 小結(jié)：本題可以單獨使用綜合法或分析法進行證明. 淤動手試試 練1.設(shè)實數(shù)a

46、,b, c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x, J分別 為a與b，b與c的等差中項，求證a + C = 2. x y 變式：已知 ~tan以=1，求證：3sin 2a = -4cos 2a . 2 + tan a 5 - 一 兀一 練 2.已知 A + B = 一兀，且 A, B 豐 kK+ — (k g Z)， 4 2 求證：(1+ tan A)(1+ tan B) = 2. ( ). A. a，b均為負(fù)數(shù)，則a + - > 2 b a B. va + \：b + \c < 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 1.

47、 直接證明包括綜合法和分析法. 2. 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途 徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜 合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知” 推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮 小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié) 論的途徑.  C. lgx + log 10 > 2 D. a g R +,(1 + a)(1+^)> 4 a 4. 設(shè)a、&、r是互不重合的平面，m，n是互不重 合的直線，給出四個命題： ① 若 m頊，m±p，則0 a〃P ② 若 a±r， P±r，則 a〃P ③ 若m頊，m〃p，則a±P ④ 若 m

48、〃a，n頊，則 m±n 其中真命題是 . 5. 已矢口 p: |2x 一 3|< 1, q :x(x -3) < 0 ,則 p 是 q 的 條件. …課后作業(yè) 1.已知a,b, c g R +，a,b, c互不相等且abc = 1.求證: 111 + + abc 淤知識拓展 2.已知 a,b, c, d 都是實數(shù)，且 a2 + b = 1,c2 + d2 = 1， 求證： I ac + bc !< 1. 綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索 因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便 于我們?nèi)ふ宜悸?，而綜合法便于過程的敘述，兩 種方法各有所長，在解決問題的問題中

49、，綜合運用， 效果會更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的 作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有 體現(xiàn)，成為高考的重點和熱點之一. ). () …學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分： 1. 給出下列函數(shù)①j = x - x3，②y = % sin x + cos x, ③y = sinxcosx,④y = 2% + 2-%,其中是偶函數(shù)的有 ( ). A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 2. m、n是不同的直線，a,p，丫是不同的平面，有 以下四個命題(

50、 ). fa // P ° fa ± p ° ①] np // y :②] n m ± p [a // y [m // a fm±a fm//n ③ < n a ± p :④{ n m // a [m // p [n ua 其中為真命題的是 A.①④ B.①③ C.②③ D.②④ 3. 下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是  反證法 …學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種 基本方法一一反證法； 2. 了解反證法的思考過程、特點； 3. 會用反證法證明問題. S-- ?學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 (預(yù)習(xí)教材P52?P54，找出疑惑之處)

51、復(fù)習(xí)1：直接證明的兩種方法:和; 復(fù)習(xí)2： 是間接證明的一種基本方法. 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：反證法 問題(1)：將9個球分別染成紅色或白色，那么無論怎 樣染,至少有5個球是同色的，你能證明這個結(jié)論嗎? 問題(2):三十六口缸，九條船來裝，只準(zhǔn)裝單,不準(zhǔn)裝 雙,你說怎么裝？ 小結(jié)：應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾(與 已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、 定理、事實矛盾等). 新知：一般地，假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推 理，最后得出—，因此說明假—，從而證明 了原命 這種證明方法叫. 例2求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平 分.

52、 試試： 證明：技,3,、5不可能成等差數(shù)列. 變式：求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不少 于 60。. 反思：證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立一 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾一矛盾的原因 是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立 小結(jié)：反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少 有一個，至多有一個”等字樣的一些數(shù)學(xué)問題. 淤動手試試 練 1.如果 x > L,那么 x 2 + 2 x -1。0 . 2 方法實質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等 價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同 真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而 肯定原命題真實. 淤典型例題 例1已知

53、a尹0,證明x的方程ox = b有且只有一個 根. 變式：證明在AABC中,若ZC是直角，那么ZB 一定 是銳角. 練2. AABC的三邊a,b, c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求 證:B < 90。. 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 反證法的步驟：①否定結(jié)論；②推理論證;③導(dǎo) 出矛盾；④肯定結(jié)論. 2. 反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一 個，至多有一個”等字樣的一些數(shù)學(xué)問題. 淤知識拓展 空城計與反證法 空城計相傳三國時代，蜀國丞相兼軍師諸葛亮 屯兵陽平時派大將魏延領(lǐng)兵攻打魏國，只留下少數(shù) 老弱軍士守城，不料魏國大

54、都督司馬懿率大隊兵馬 殺來,靠幾個老弱士兵出城應(yīng)戰(zhàn)猶如雞蛋碰石頭，怎 么辦?諸葛亮冷靜思考之后，傳令大開城門,讓老弱 士兵在城門口灑掃道路,自己則登上城樓，擺好香案， 端坐彈琴，態(tài)度從容，琴聲優(yōu)雅，司馬懿來到城前見 此情況，心中疑惑，他想諸葛亮一生精明過人，謹(jǐn)慎有 余,今天如此這般與其一生表現(xiàn)矛盾,恐怕城內(nèi)必有 伏兵,故意誘我入城，決不能中計，于是急令退兵. 諸葛亮正是利用司馬懿這種心理上的矛盾，才 以“不守城”來達到暫時“守住城”的目的，諸葛 亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，來解 決用直接或正面方法（用少數(shù)老弱兵士去拼殺）很 難或無法解決的問題，在歷史上留下美談，這就是 家喻戶曉的

55、“空城計”. …學(xué)習(xí)評價 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分： 1. 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個不 大于60?！睍r，反設(shè)正確的是（ ）. A. 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60。 B. 假設(shè)三內(nèi)角都大于60。 C. 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60。 D. 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60。 2. 實數(shù)a,b, c不全為0等價于為（ ）. A. a,b,c均不為0 B. a,b,c中至多有一個為0 C. a,b,c中至少有一個為0 D. a,b,c中至少有一個不為0 3. 設(shè)

56、a,b,c都是正數(shù)，則三個數(shù)a + —,b + -,c + — b c a （ ）. A.都大于2 B.至少有一個大于2 C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2 4. 用反證法證明命題“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶 數(shù)”的反設(shè)為. 5. “ x > 4 ” 是“ x2- 4x > 0 ”的 條件. Si課后作業(yè) 1.已知x, y > 0,且x + y > 2.試證：土 ,土 中至 y x 少有一個小于2. 第二章推理與證明（復(fù)習(xí)） 一學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解合情推理和演繹推理的含義； 2. 能用歸納和類比進行簡單的推理；掌握演繹推理 的基本模式； 3. 能用綜合

57、法和分析法進行數(shù)學(xué)證明； 4. 能用反證法進行數(shù)學(xué)證明. 廠-- ?學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P忒P55,找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：歸納推理是由 到 的推理. 類比推理是由 到 的推理. 合情推理的結(jié)論 ^ 演繹推理是由 到 的推理. 演繹推理的結(jié)論. 復(fù)習(xí)2：綜合法是由 導(dǎo); 分析法是由 索. 直接證明的兩種方法:和; 是間接證明的一種基本方法. 變式：如右圖所示，SA 1平面ABC，AB 1 BC， 過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線， 垂足為F，求證：⑴BC 1面SAB；⑵AF 1 SC . 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)一：合情

58、推理與演繹推理 問題：合情推理與演繹推理是相輔相成的，前者是 后者的前提，后者論證前者的可靠性.你能舉出幾個 用合情推理和演繹推理的例子嗎？ 探究任務(wù)一：直接證明和間接證明 問題：你能分別說出這幾種證明方法的特點嗎？結(jié) 合自己以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，說說一般在什么情況 下，你會選擇什么相應(yīng)的證明方法？ 淤典型例題 例1已知數(shù)列｛。｝的通項公式 n 1 , a = 1)- (n e N )， 記f (n) = (1-a )(1 - a )…(1 - a )，試通過計算 f (1),f (2), f (3)的值，2推測出f(n)的值.

59、 變式：已知數(shù)列一」,一」,一=,,7 1X 3 3 X 5 5 X 7 (2n-1)(2n +1) ⑴求出5 ,5 ,5 ,5 :⑵猜想前n項和S . 1 2 3 4 n (理科)(3)并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想是否正 確？ 小結(jié)：證明問題對思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性 有較高的要求. 淤動手試試 練1.求證：當(dāng)x2 + bx + c2 = 0有兩個不相等的非零 實數(shù)根時，bc尹0. 小結(jié)：歸納推理是由特殊到一般的推理，是一種猜 想，推理的結(jié)論都有待進一步證明. 例2已知tana，tanp是關(guān)于x的一元二次方程 x2+p

60、x+2=0的兩實根. (1) 求證：tan(a + P) = p ； (2) 求證：3sin(a + P) + pcos(a - P) = 0 . 練 2.數(shù)列｛a ｝滿足 S = 2n - a , n e N* (1) 計算a :a ,a ,a，并由此猜想通項公式a ； 1 2 3 4 n (2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的結(jié)論.(理科) 5,由“以點（％, *）為圓心，r為半徑的圓的方程 為（x-x》+（y-*》=r2 ”可以類比推出球的類似 屬性是 . 三、總結(jié)提升 淤學(xué)習(xí)小結(jié) z- 課后作業(yè) 1. 若 sin a + cos a = 1,求證:sin6 a + c

61、os6 a = 1 淤知識拓展 帽子顏色問題 “有3頂黑帽子，2頂白帽.讓三個人從前到后站 成一排，給他們每個人頭上戴一頂帽子.每個人都看 不見自己戴的帽子的顏色，卻只能看見站在前面那 些人的帽子顏色.（所以最后一個人可以看見前面兩 個人頭上帽子的顏色，中間那個人看得見前面那個 人的帽子顏色但看不見在他后面那個人的帽子顏 色，而最前面那個人誰的帽子都看不見.現(xiàn)在從最后 那個人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色， 如果他回答說不知道，就繼續(xù)問他前面那個人.事實 上他們?nèi)齻€戴的都是黑帽子，那么最前面那個人一 定會知道自己戴的是黑帽子.為什么？ 五"學(xué)習(xí)評價 --■-r—-r-r-r-r

62、—--■— 淤自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A.很好 B.較好 C. 一般 D.較差 淤當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分： 1.按照下列三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式的規(guī)律， 2. 求證 * = ax2 + 2bx + c , * = bx2 + 2cx + a , * = cx2 + 2ax + b （a,b,c是互不相等的實數(shù)）,3條拋 物線至少有一條與x軸有兩個交點. H I H-C H H H H H H-C C C-H H H H ni-i c CH4 C）Hr 寫出后一種化合物的分子式是（ ）. ? ?? A- C4H9 B-C4H

63、10 C- C4H11 2, 用反證法證明：“ a > b ”，應(yīng)假設(shè)為（ C3H8 D? C6H12 ). A. a > b B. a < b C. a = b D. a < b 3, 所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電. 屬于哪種推理（ ）. A,演繹推理 B.類比推理 C,合情推理 D.歸納推理 4, 用火柴棒按下圖的方法搭三角形： A /V AZ\ AA7 按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)a與所搭三； 角形的個數(shù)n之間的關(guān)系式可以是 _ . 理：§2.3數(shù)學(xué)歸納法（1） 'J 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指 導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納

64、法的操作步驟； 2. 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并 能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫； 3. 數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. S-.學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 （預(yù)習(xí)教材P104- P106，找出疑惑之處） 復(fù)習(xí)1：在數(shù)列｛an｝中， a = 1,a = "n ,（n e N*），先算出 a，a，a 的 1 n+1 1 + a 2 3 4 n 值，再推測通項a的公式. 復(fù)習(xí) 2： f （n） = n2 + n + 41，當(dāng) n^N 時，f （n）是否 都為質(zhì)數(shù)？

65、 二、新課導(dǎo)學(xué) 淤學(xué)習(xí)探究 探究任務(wù)：數(shù)學(xué)歸納法 問題：在多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全 部倒下的條件是什么？ 小結(jié)：證n=k+1時，需從假設(shè)出發(fā)，對比目標(biāo)，分 析等式兩邊同增的項，朝目標(biāo)進行變形. 新知：數(shù)學(xué)歸納法兩大步： (1) 歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成 立； (2) 歸納遞推：假設(shè)n=k (k>n0， kWN*)時命題 成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.只要完成這兩 個步驟，就可以斷定命

66、題對從n0開始的所有正整數(shù) n都成立. 原因：在基礎(chǔ)和遞推關(guān)系都成立時，可以遞推 出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1, n0+2,…，命題 都成立. 試試:你能證明數(shù)列的通項公式偵n這個猜想嗎? 例2用數(shù)學(xué)歸納法證明： 首項是匕，公差是d的等差數(shù)列的通項公式是 =a + ( n -1) d ,前n項和的公式是 1 n(n -1) 了 =na + d . 1 2 變式：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 首項是a1，公比是q的等差數(shù)列的通項公式是 a = a qn-1 ,前 n 項和的公式是 S = ￡^~q-) .(q。1) n 1 n 1 — q 反思：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，主要用于 研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 關(guān)鍵：從假設(shè)n=k成立，證得n=k+1成立. 小結(jié)：數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)常證明數(shù)列的相關(guān)問題. 淤動手試試 練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為整數(shù)時， 1 + 3 + 5 + …+ (2 n — 1) = n2 淤典型例題 例1用數(shù)學(xué)歸納法證明 n (n + 1)(2 n + 1) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = , n <= N