高中數(shù)學(xué)專題四 立體幾何與空間向量 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

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1、 高中數(shù)學(xué)專題四 立體幾何與空間向量 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 1. 如圖所示，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C?l，則平面 ABC 與平面 β 的交線是 ?? A．直線 AC B．直線 AB C．直線 CD D．直線 BC 2. 設(shè)直線 m，n 是兩條不同的直線，α，β 是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是 ?? A．若 m∥α，n∥β，m⊥n，則 α⊥β B．若 m∥α，n⊥β，m∥n，則 α∥β C．若 m⊥α，n∥β，m⊥n，則 α∥β D．若 m⊥α，n⊥β，m∥n，則 α∥β

2、3. 在正方體 ABCD—A1B1C1D1 中，E 為棱 CD 的中點(diǎn)，則 ?? A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 4. 點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是三棱錐 P?ABC 的棱 AP，BC 的中點(diǎn)，AB=6，PC=8，EF=5，則異面直線 AB 與 PC 所成的角為 ?? A． 90° B． 45° C． 30° D． 60° 5. 如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，M，N 分別是 A1D1，A1B1 的中點(diǎn)，過(guò)直線 BD 的 平面α‖平面AMN，則平面 α 截該正方體所得截面的面積為 ?? A．

3、 2 B． 98 C． 3 D． 62 6. 已知正方體 ABCD?A1B1C1D1 的體積為 162，點(diǎn) P 在正方形 A1B1C1D1 上且 A1，C 到 P 的距離分別為 2，23，則直線 CP 與平面 BDD1B1 所成角的正切值為 ?? A． 22 B． 33 C． 12 D． 13 7. 如圖，以等腰直角三角形 ABC 的斜邊 BC 上的高 AD 為折痕，翻折 △ABD 和 △ACD，使得 平面ABD⊥平面ACD．下列結(jié)論正確的是 ?? A． BD⊥AC B． △BAC 是等邊三角形 C．三棱錐 D?ABC 是正三棱錐 D． 平面A

4、DC⊥平面ABC 8. 如圖，點(diǎn) P 在正方體 ABCD?A1B1C1D1 的面對(duì)角線 BC1 上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是 ?? A．三棱錐 A?D1PC 的體積不變 B． A1P∥平面ACD1 C． DP⊥BC1 D．平面 PDB1⊥平面ACD1 9. 如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD?A1B1C1D1 中，平面 AB1C 與平面 A1DC1 的位置關(guān)系是 ． 10. 正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共 24 條，其中與體對(duì)角線 AC1 垂直的有 條． 11. 設(shè)有下列四個(gè)命題： ①兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的

5、三條直線必在同一平面內(nèi)； ②過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面； ③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行； ④若 直線l?平面α，直線m⊥平面α，則 m⊥l． 則上述命題中所有真命題的序號(hào)是 ． 12. 如圖，已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD?A1B1C1D1 中，E，F(xiàn)，M 分別是線段 AB，AD，AA1 的中點(diǎn)，又 P，Q 分別在線段 A1B1，A1D1 上，且 A1P=A1Q=x0

6、 其中成立的結(jié)論是 ．（寫(xiě)出所有成立結(jié)論的序號(hào)） 13. 如圖所示，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，AB=AC，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，E，F(xiàn) 分別為棱 BC 和 A1C1 的中點(diǎn)． (1) 求證：EF∥平面ABB1A1； (2) 求證：平面AEF⊥平面BCC1B1． 14. 如圖，菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a，∠D=60°，點(diǎn) H 為 DC 的中點(diǎn)，現(xiàn)以線段 AH 為折痕將 △DAH 折起使得點(diǎn) D 到達(dá)點(diǎn) P 的位置，且 平面PHA⊥平面ABCH，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 AB，AP 的中點(diǎn)． (1) 求證：平面PBC∥平面EFH； (2)

7、 若三棱錐 P?EFH 的體積等于 312，求 a 的值． 答案 1. 【答案】C 【解析】由題意知，D∈l，l?β，所以 D∈β， 又因?yàn)?D∈AB，所以 D∈平面ABC，所以點(diǎn) D 在平面 ABC 與平面 β 的交線上． 又因?yàn)?C∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn) C 在平面 β 與平面 ABC 的交線上， 所以 平面ABC∩平面β=CD． 2. 【答案】D 3. 【答案】C 【解析】法一：連 B1C， 由題意得 BC1⊥B1C， 因?yàn)?A1B1⊥平面B1BCC1，且 BC1?平面B1BCC1， 所以 A1B1⊥BC1， 因?yàn)?A1B1∩B1C=B1，

8、 所以 BC1⊥平面A1ECB1， 因?yàn)?A1E?平面A1ECB1， 所以 A1E⊥BC1． 法二：以 D 為原點(diǎn)，DA 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體 ABCD—A1B1C1D1 中棱長(zhǎng)為 2， 則 A12,0,2，E0,1,0，B2,2,0，D0,0,0，C10,2,2，A2,0,0，C0,2,0， A1E=?2,1,?2，DC1=0,2,2，BD=?2,?2,0，BC1=?2,0,2，AC=?2,2,0， 因?yàn)?A1E?DC1=?2，A1E?BD=2，A1E?BC1=0，A1E?AC=6， 所以 A1E⊥BC1．

9、 4. 【答案】A 5. 【答案】B 【解析】取 C1D1，B1C1 的中點(diǎn)為 P，Q， 易知 MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD=NP， 所以四邊形 ANPD 為平行四邊形， 所以 AN∥DP， 又 BD 和 DP 為平面 DBQP 的兩條相交直線， 所以 平面DBQP∥平面AMN，即 DBQP 的面積即為所求． 由 PQ∥DB，PQ=12BD=22， 所以四邊形 DBQP 為梯形，高為 h=12+122?242=342， 所以面積為：12PQ+BDh=98． 6. 【答案】A 【解析】易知 AB=22，連接 C1P， 在 Rt△CC1P

10、中，可計(jì)算 C1P=CP2?CC12=2，又 A1P=2，A1C1=4， 所以 P 是 A1C1 的中點(diǎn)， 連接 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，易證 AC⊥平面BDD1B1，直線 CP 在平面 BDD1B1 內(nèi)的射影是 OP， 所以 ∠CPO 就是直線 CP 與平面 BDD1B1 所成的角， 在 Rt△CPO 中，tan∠CPO=COPO=22． 7. 【答案】A；B；C 【解析】由題意易知，BD⊥平面ADC， 又 AC?平面ADC，故 BD⊥AC，A中結(jié)論正確； 設(shè)等腰直角三角形 ABC 的腰為 a，則 BC=2a， 由A知 BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，所以

11、 BD⊥CD， 又 BD=CD=22a，所以由勾股定理得 BC=2×22a=a， 所以 AB=AC=BC，則 △BAC 是等邊三角形，B中結(jié)論正確； 易知 DA=DB=DC，又由B可知C中結(jié)論正確，D中結(jié)論錯(cuò)誤． 8. 【答案】A；B；D 【解析】對(duì)于A，連接 AD1，CD1，AC，D1P，如圖， 由題意知 AD1∥BC1，AD1?平面AD1C，BC1?平面AD1C，從而 BC1∥平面AD1C，故 BC1 上任意一點(diǎn)到平面 AD1C 的距離均相等，所以以 P 為頂點(diǎn)，平面 AD1C 為底面的三棱錐 A?D1PC 的體積不變，故A正確； 對(duì)于B，連接 A1B，A1C1，A1P

12、，則 A1C1∥AC，易知 A1C1∥平面AD1C， 由A知，BC1∥平面AD1C， 又 A1C1∩BC1=C1， 所以平面 BA1C1∥平面ACD1， 又 A1P?平面A1C1B， 所以 A1P∥平面ACD1，故B正確； 對(duì)于C，由于 DC⊥平面BCC1B1， 所以 DC⊥BC1， 若 DP⊥BC1，則 BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，則 P 為中點(diǎn)，與 P 為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，連接 DB1，PD， 由 DB1⊥AC 且 DB1⊥AD1，可得 DB1⊥平面ACD1，從而由面面垂直的判定定理知平面 PDB1⊥平面ACD1，故D正確． 9. 【答案】

13、平行 10. 【答案】 6 【解析】如圖，連接 AC， 則 BD⊥AC． 在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中， 因?yàn)?C1C⊥平面BCD，BD?平面BCD， 所以 C1C⊥BD， 又 AC∩CC1=C，AC,C1C?平面AC1C， 所以 BD⊥平面ACC1， 因?yàn)?AC1?平面ACC1， 所以 AC1⊥BD． 同樣 A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C 都與 AC1 垂直． 正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱中沒(méi)有與 AC1 垂直的棱， 故正方體 ABCD?A1B1C1D1 的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共 24 條，其中與體對(duì)角線 AC1 垂直的有 6

14、 條． 11. 【答案】①④ 12. 【答案】①②③ 【解析】連接 BD，B1D1， 因?yàn)?A1P=A1Q=x， 所以 PQ∥B1D1∥BD∥EF， 易證 PQ∥平面MEF， 又 平面MEF∩平面MPQ=l， 所以 PQ∥l，l∥EF， 所以 l∥平面ABCD，故①成立； 又 EF⊥AC， 所以 l⊥AC，故②成立； 因?yàn)?l∥EF∥BD， 所以易知直線 l 與平面 BCC1B1 不垂直，故③成立； 當(dāng) x 變化時(shí)，l 是過(guò)點(diǎn) M 且與直線 EF 平行的定直線，故④不成立． 13. 【答案】 (1) 如圖，取 A1B1 的中點(diǎn) G，

15、連接 BG，F(xiàn)G， 在 △A1B1C1 中，因?yàn)?F，G 分別為 A1C1，A1B1 的中點(diǎn)， 所以 FG∥B1C1，且 FG=12B1C1． 在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，BC∥B1C1 . 又 E 為棱 BC 的中點(diǎn)， 所以 FG∥BE，且 FG=BE， 所以四邊形 BEFG 為平行四邊形， 所以 EF∥BG，又因?yàn)?BG?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，所以 EF∥平面ABB1A1． (2) 在 △ABC 中，因?yàn)?AB=AC，E 為 BC 的中點(diǎn)， 所以 AE⊥BC， 又 側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，側(cè)面BCC1B1∩底面ABC=BC， 且 A

16、E?平面ABC， 所以 AE⊥平面BCC1B1， 又 AE?平面AEF， 所以 平面AEF⊥平面BCC1B1． 14. 【答案】 (1) 因?yàn)樵诹庑?ABCD 中，E，H 分別為 AB，CD 的中點(diǎn)， 所以 BE∥CH 且 BE=CH， 所以四邊形 BCHE 為平行四邊形，則 BC∥EH， 又 EH?平面PBC， 所以 EH∥平面PBC， 因?yàn)辄c(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 AB，AP 的中點(diǎn)， 所以 EF∥BP， 又 EF?平面PBC， 所以 EF∥平面PBC， 又 EF∩EH=E， 所以 平面PBC∥平面EFH． (2) 在菱形 ABCD 中，∠D=60°，則 △ACD 為正三角形， 所以 AH⊥CD，DH=PH=CH=12a，AH=32a，折疊后，PH⊥AH， 又 平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH=AH，PH?平面PHA，從而 PH⊥平面ABCH， 在 △PAE 中，點(diǎn) F 為 AP 的中點(diǎn)，則 S△PEF=S△AEF， 所以 VH?PEF=VH?AEF=12VH?PAE=12VP?AEH=12×13S△AEH?PH=12×13×12×12a×32a×12a=396a3=312, 所以 a3=8，故 a=2．