課時(shí)跟蹤檢測(cè)(九)平面與平面垂直的判定

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1、第 6 頁(yè) 共 6 頁(yè) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（九） 平面與平面垂直的判定 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．若a∥b，a∥α，則b∥α B．若α⊥β，a∥α，則a⊥β C．若α⊥β，a⊥β，則a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β 解析：選D　A錯(cuò)，可能bα；B錯(cuò)；C錯(cuò)，可能aα.只有D正確． 2．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ　　　　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b?β C．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β 解析：選D　由a∥

2、α，知α內(nèi)必有直線l與a平行．而a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β. 3．從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是(　　) A．60°　　　 B．120° C．60°或120° D．不確定 解析：選C　若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°. 4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成幾何體A-BCD，則在幾何體A-BCD中，下列結(jié)論正確的是(　

3、　) A．平面ABD⊥平面ABC　　 B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC　　 D．平面ADC⊥平面ABC 解析：選D　由已知得BA⊥AD，CD⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD， 從而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC. 又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC. 5.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有(　　) A．1對(duì)　　　　　　　　 B．2對(duì) C．3對(duì) D．5對(duì) 解析：選D　∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD

4、⊥平面BCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對(duì)． 6．如果規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫作x，y，z關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性，那么空間三個(gè)平面α，β，γ關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是________． 解析：由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性． 答案：平行 7．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________. 解析：取BC中點(diǎn)M，則AM⊥BC，由題意得AM⊥平面BDC，

5、 ∴△AMD為直角三角形， AM＝MD＝a.∴AD＝a×＝a. 答案：a 8．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后BC＝________. 解析：由題意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD. ∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC. 連接BC，則BC＝＝ ＝1. 答案：1 9．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點(diǎn)，求證：平面EDB⊥平面ABCD. 證明：連接AC，交BD于點(diǎn)F，連接EF， ∴EF是△SAC的中位線

6、， ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD， ∴EF⊥平面ABCD. 又EF平面EDB. ∴平面EDB⊥平面ABCD. 10．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. 求證：平面AEC⊥平面AFC. 證明：如圖，連接BD，設(shè)BD∩AC于點(diǎn)G， 連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°， 可得AG＝GC＝. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC， 可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可

7、得BE＝，故DF＝. 在Rt△FDG中，可得FG＝. 在直角梯形BDFE中， 由BD＝2，BE＝，DF＝， 可得EF＝. 從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC. 因?yàn)镋G平面AEC， 所以平面AEC⊥平面AFC. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是(　　 ) A．m⊥n，m∥α，n∥β　　　　　 B．m⊥n，α∩β＝m，nα C．m∥n，n⊥β，mα D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：選C　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，得α⊥β. 2．

8、空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 解析：選D　如圖，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC. 3．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ 解析：選A　B錯(cuò)，有可能m與β相交；C錯(cuò)，有可能m與β相交；D錯(cuò)，有可能α與β相交． 4.如

9、圖，在四面體P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDF⊥平面ABC 解析：選D　因?yàn)镈，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DF為△ABC的中位線，則BC∥DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E為BC的中點(diǎn)，且PB＝PC，AB＝AC，則BC⊥PE，BC⊥AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因?yàn)锽C∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF 平面PDF，則平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使

10、平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，則必須有AE⊥PD或AE⊥PF，由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，故選D. 5．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 解析：連接AC，則AC⊥BD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA ⊥BD.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因?yàn)镻C平面PAC，所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥P

11、C(或BM⊥PC) 6．如圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理是利用了________． 解析：如圖所示，因?yàn)镺A⊥OB，OA⊥OC，OBβ，OCβ，且OB∩OC＝O，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OAα，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得α⊥β. 答案：面面垂直的判定定理 7．如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. 求證：(1)PA⊥平面PBC； (2)平面PAC⊥平面ABC. 證明：(1)因?yàn)椤鱌D

12、B是正三角形， 所以∠BPD＝60°， 因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)， 所以AD＝BD＝PD. 又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°， 所以∠DPA＋∠BPD＝90°， 所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P， 所以PA⊥平面PBC. (2)因?yàn)镻A⊥平面PBC，所以PA⊥BC. 因?yàn)椤螦CB＝90°， 所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 因?yàn)锽C平面ABC， 所以平面PAC⊥平面ABC. 8．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE. 證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接A′M，A′N(xiāo)，MN，則MN∥BC. ∵AB＝AD，E是AD的中點(diǎn)， ∴AB＝AE，即A′B＝A′E. ∴A′N(xiāo)⊥BE.∵A′C＝A′D， ∴A′M⊥CD. 在四邊形BCDE中，CD⊥MN， 又MN∩A′M＝M， ∴CD⊥平面A′MN. 又A′N(xiāo)平面A′MN，∴CD⊥A′N(xiāo). ∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必與CD相交． ∴A′N(xiāo)⊥平面BCDE. 又A′N(xiāo)平面A′BE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE.