高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：1-3-1-2 柱體、錐體、臺體的體積

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一、選擇題 1．長方體三個(gè)面的面積分別為2、6和9，則長方體的體積是(　　) A．6 B．3 C．11 D．12 [答案]　A [解析]　設(shè)長方體長、寬、高分別為a、b、c，則ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6. 2．已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則體積為(　　) A．32 B．28 C．24 D．20 [答案]　B [解析]　上底面積S1＝6××22＝6， 下底面積S2＝6××42＝24， 體積V＝(S1＋S2＋)·h ＝(6＋24＋)×2＝28. 3．(2012～2013學(xué)年棗莊模擬)一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，直角邊長為1，則這個(gè)幾何體的體積為(　　) A．1 B. C. D. [答案]　D [解析]　由三視圖知，該幾何體是三棱錐． 體積V＝××1×1×1＝. 4．體積為52cm3的圓臺，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺的圓錐的體積為(　　) A．54 cm3 B．54πcm3 C．58cm3 D．58πcm3 [答案]　A [解析]　由底面積之比為1:9知，體積之比為1:27，截得小圓錐與圓臺體積比為1:26，∴ 小圓錐體積為2cm3，故原來圓錐的體積為54 cm3，故選A. 5．(2012·江西(文科))若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為(　　) A. B．5 C．4 D. [答案]　C [解析]　本題的幾何體是一個(gè)六棱柱，由三視圖可得底面為六邊形，面積為4，高為1，則直接代公式可求． 6．(2009·陜西高考)若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由題意知，以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體是正八面體(即由兩個(gè)同底等高的正四棱錐組成)，所有的棱長均為1，其中每個(gè)正四棱錐的高均為，故正八面體的體積V＝2V正四棱錐＝2××12×＝.故選B. 7．如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) [答案]　C [解析]　若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)A，則該幾何體是正方體，其體積V＝13＝1≠，所以A選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)B，則該幾何體是圓柱，其體積V＝π×()2×1＝≠，所以B選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視是選項(xiàng)D，則該幾何體是圓柱的四分之一，其體積V＝(π×12×1)＝≠，所以D選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則該幾何體是三棱柱，其體積V＝×1×1×1＝，所以C選項(xiàng)符合題意，故選C. 8．如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個(gè)圓柱組成的簡單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20 cm，當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28 cm，則這個(gè)簡單幾何體的總高度為(　　) A．29 cm B．30 cm C．32 cm D．48 cm [答案]　A [解析]　圖(2)和圖(3)中，瓶子上部沒有液體的部分容積相等，設(shè)這個(gè)簡單幾何體的總高度為h，則有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)． 二、填空題 9．已知圓錐SO的高為4，體積為4π，則底面半徑r＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)底面半徑為r，則πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半徑為. 10．如圖所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，平面EC′B′F將三棱柱分成體積為V1(棱臺AEF－A′C′B′的體積)，V2的兩部分，那么V1V2＝________. [答案]　75 [解析]　設(shè)三棱柱的高為h，底面面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh. 因?yàn)镋、F分別為AC、AB的中點(diǎn)， 所以S△AEF＝S，所以V1＝h(S＋S＋)＝Sh，V2＝V－V1＝Sh. 所以V1:V2＝7:5. 11．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________． [答案]　 [解析]　兩個(gè)同樣的該幾何體能拼接成一個(gè)高為a＋b的圓柱，則拼接成的圓柱的體積V＝πr2(a＋b)， 所以所求幾何體的體積為. 12．(2010·天津理)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為____． [答案]　 [解析]　由三視圖知，該幾何體由一個(gè)高為1，底面邊長為2的正四棱錐和一個(gè)高為2，底面邊長為1的正四棱柱組成，則體積為2×2×1×＋1×1×2＝. 三、解答題 13．把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積． [答案]　或 [解析]　如圖所示，當(dāng)BC為底面周長時(shí)，半徑r1＝， 則體積V＝πr·AB＝π()2×6＝； 當(dāng)AB的底面周長時(shí)，半徑r2＝＝， 則體積V＝πr·BC＝π()2×3＝. 14．已知圓臺的高為3，在軸截面中，母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，求圓臺的體積． [解析]　如圖所示，作軸截面A1ABB1，設(shè)圓臺的上、下底面半徑和母線長分別為r，R，l，高為h. 作A1D⊥AB于點(diǎn)D， 則A1D＝3. 又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·， 即R－r＝3×，∴R－r＝. 又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×， ∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3， ∴V圓臺＝πh(R2＋Rr＋r2) ＝π×3×[(2)2＋2×＋()2] ＝21π. 所以圓臺的體積為21π. 15．已知△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積． [分析]　應(yīng)用錐體的側(cè)面積和體積的計(jì)算公式求解． 解題流程： [解析]　如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知AC2＋BC2＝AB2，則AC⊥BC. 所以BC·AC＝AB·CD， 所以CD＝，記為r＝， 那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐，且底面半徑r＝，母線長分別是AC＝3，BC＝4， 所以S表面積＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π， V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB ＝π×()2×5＝π. [特別提醒]　求旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題常需要畫出其軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．對于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成的，然后根據(jù)條件分清各個(gè)簡單幾何體底面半徑及母線長，再分別代入公式求各自的表面積或體積． 16．(2011·浙江高考)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，求此幾何體的體積． [解析]　該空間幾何體的上部分是底面邊長為4，高為2的正四棱柱，體積為16×2＝32；下部分是上底面邊長為4，下底面邊長為8，高為3的正四棱臺，體積為×(16＋4×8＋64)×3＝112.故該空間幾何體的體積為144.