數(shù)學(xué)：第二章《推理與證明》測(cè)試（2）（新人教A版選修1-2）

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高中新課標(biāo)選修（1-2）推理與證明測(cè)試題 一 選擇題（5×12=60分） 1. 如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來(lái)，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色的（　?。? A．白色　　　　B．黑色　　　C．白色可能性大　　　D．黑色可能性大 2．“所有9的倍數(shù)（M）都是3的倍數(shù)（P），某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M），故某奇數(shù)（S）是3的倍數(shù)（P）.”上述推理是（　?。? A．小前提錯(cuò)　　　B．結(jié)論錯(cuò)　　　C．正確的　　　D．大前提錯(cuò) 3．F（n）是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F（k）（k∈N＋）真，則F（k＋1）真，現(xiàn)已知F（7）不真，則有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不真；⑥F（5）真.其中真命題是（?。? A．③⑤　　　　B．①②　　　　C．④⑥　　　　D．③④ 4.下面敘述正確的是（ ） A．綜合法、分析法是直接證明的方法　　B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法　　　　　C．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是肯定的　D．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是假定的 5．類比平面正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵? ） ① 各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等； ② 各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等； ③ 各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等。 A．①　　　　B．①②　　　　C．①②③　　　　　D．③ 6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的（　　） A．充分不必要條件　　B．必要不充分條件　　 C．充要條件　　　　　D．不充分不必要條件 7．（04·全國(guó)Ⅳ，理12）設(shè)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），f（5）＝（　　） A．0　　　B．1　　　C．　　　D．5 8．設(shè)S（n）＝＋＋＋＋…＋，則（　　） A．S（n）共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝＋ B．S（n）共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝＋＋ C．S（n）共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝＋＋ D．S（n）共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，S（2）＝＋＋ 9．在R上定義運(yùn)算⊙：x⊙y＝，若關(guān)于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．－2≤a≤2　　B．－1≤a≤1　　C．－2≤a≤1　　D．1≤a≤2 10．已知f（x）為偶函數(shù)，且f（2＋x）＝f（2－x），當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f（x）＝2x，若n∈N*，an＝f（n），則a2006＝（　?。? A．2006　　　B．4　　　C．　　　D．－4 11．函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足f（－x）＝－f（x）是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是（　　） A．f（sinα）＞f（sinβ） B． f（cosα）＞f（sinβ） C．f（cosα）＜f（cosβ）　　 D．f（sinα）＜f（sinβ） 12．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)”。四位歌手的話只有兩名是對(duì)的，則獎(jiǎng)的歌手是（　?。? A．甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁 二 填空題（4×4=16分） 13．“開(kāi)心辭典”中有這樣的問(wèn)題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)，現(xiàn)給出一組數(shù)：,-,,-,,它的第8個(gè)數(shù)可以是 。 14．在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC邊上的射影，則AB2=BD.BC.拓展到空間,在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在面BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關(guān)系為 。 15．（05·天津）在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 16．（05黃岡市一模題）當(dāng)a0，a1，a2成等差數(shù)時(shí)，有a0－2a1＋a2＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3成等差數(shù)列時(shí)，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列時(shí)，有a0－4a1＋6a2－4a3＋a4＝0，由此歸納：當(dāng)a0，a1，a2，…，an成等差數(shù)列時(shí)有Ca0－Ca1＋Ca2－…＋Can＝0. 如果a0，a1，a2，…，an成等差數(shù)列，類比上述方法歸納出的等式為＿＿＿。 三 解答題（74分） 17 已知△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求證：+=（12分） 18．若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2x＋，b＝y(tǒng)2－2y＋，c＝z2－2z＋，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0. （12分） 19．?dāng)?shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）. 證明：⑴數(shù)列｛｝是等比數(shù)列；⑵Sn＋1＝4an. （12分） 20．用分析法證明：若a＞0，則－≥a＋－2.(12分) 21．設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，若在A發(fā)生的條件下B發(fā)生概率為P′，則由A產(chǎn)生B的概率為P·P′.根據(jù)這一事實(shí)解答下題. 一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤(pán)上有第0、1、2、…、100，共101站，一枚棋子開(kāi)始在第0站（即P0＝1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次.若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動(dòng)一站，出現(xiàn)反面則向前跳動(dòng)兩站.直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r(shí)，游戲結(jié)束.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率相同，設(shè)棋子跳到第到第n站時(shí)的概率為Pn. （1）求P1，P2，P3； （2）設(shè)an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列 (12分) 22．(14分) 在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則＝.其證明過(guò)程：作EG⊥AC于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H，CF⊥AB于點(diǎn)F ∵CE是∠ACB的平分線， ∴EG＝EH. 又∵＝＝， ＝＝， ∴＝. （Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿ F E A C E B D 圖2 F h2 h11 （Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論. 答案： 一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D?。梗茫保埃?１１Ｂ?。保?C 11 分析：因?yàn)殇J角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜， sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足是減函數(shù) 所以f（cosα）＞f（sinβ）。 12分析：先猜測(cè)甲、乙對(duì)，則丙丁錯(cuò)，甲、乙可看出乙獲獎(jiǎng)則丁不錯(cuò)，所以丙丁中必有一個(gè)是對(duì)的，設(shè)丙對(duì)，則甲對(duì)，乙錯(cuò)，丁錯(cuò).　∴答案為C. 二 13 - 14 （S△ABC）2= S△BOC. S△BDC 15. 35 16 a0C·a1－C·a2 C·…·an （－1）nC＝1. ［解析］解此題的關(guān)鍵是對(duì)類比的理解.通過(guò)對(duì)所給等差數(shù)列性質(zhì)的理解，類比去探求等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì).實(shí)際上，等差數(shù)列與等比數(shù)列類比的裨是運(yùn)算級(jí)別的類比，即等差數(shù)列中的“加、減、乘、除”與等比數(shù)列中的“乘、除、乘方、開(kāi)方”相對(duì)應(yīng). 三 解答題 17 (分析法) 要證 += 需證: +=3 即證:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c) 即證:c2+a2=ac+b2 因?yàn)椤鰽BC中，角A、B、C成等差數(shù)列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b2= c2+a2-ca 所以c2+a2=ac+b2 因此 += 18 (反證法).證明：設(shè)a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0， 而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋） ＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3， ∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0. 19(綜合法)．證明：⑴由an＋1＝Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 ∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝Sn，∴＝2，∴數(shù)列｛｝為等比數(shù)列. ⑵由⑴知｛｝公比為2，∴＝4＝·，∴Sn＋1＝4an. 20(分析法).證明：要證－≥a＋－2，只需證＋2≥a＋＋. ∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（＋2）2≥（a＋＋）2， 只需證a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋）， 只需證≥（a＋），只需證a2＋≥（a2＋＋2）， 即證a2＋≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立. 21.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2＝×＋＝，P3＝×＋×＝. （2）證明:棋子跳到第n站，必是從第n－1站或第n－2站跳來(lái)的（2≤n≤100），所以Pn=Pn－1＋Pn－2 ∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1＋Pn－2=－（Pn－1－Pn－2）， ∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0＝－. 故｛an｝是公比為－，首項(xiàng)為－的等比數(shù)列（1≤n≤100）. 22．結(jié)論: ＝或＝或＝ 證明：設(shè)點(diǎn)E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2. 又∵＝＝ ＝＝＝ A G F E B　H　　　　　　C 圖1 A C E B D 圖2 F h2 h11 ∴＝ - 6 -