人教版九年級下冊數(shù)學 28.2.2 第2課時 利用仰俯角解直角三角形 教案

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1、28.2.2 應用舉例 第2課時 利用仰俯角解直角三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．使學生掌握仰角、俯角的意義，并學會正確地判斷；(重點) 2．初步掌握將實際問題轉化為解直角三角形問題的能力．(難點) 一、情境導入 在實際生活中，解直角三角形有著廣泛的應用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構成了直角三角形．當我們測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．今天我們就學習和仰角、俯角有關的應用性問題． 二、合作探究 探究點：利用仰(俯)角解決實際問題 【類型一】 利用仰角求高度 星期天，身

2、高均為1.6米的小紅、小濤來到一個公園，用他們所學的知識測算一座塔的高度．如圖，小紅站在A處測得她看塔頂C的仰角α為45°，小濤站在B處測得塔頂C的仰角β為30°，他們又測出A、B兩點的距離為41.5m，假設他們的眼睛離頭頂都是10cm，求塔高(結果保留根號)． 解析：設塔高為xm，利用銳角三角函數(shù)關系得出PM的長，再利用＝tan30°，求出x的值即可． 解：設塔底面中心為O，塔高xm，MN∥AB與塔中軸線相交于點P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，則＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，＝tan30°，即＝，解得x＝. 答：塔高為m

3、. 方法總結：解決此類問題要了解角與角之間的關系，找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形．當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第7題 【類型二】 利用俯角求高度 如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EG，高15米，從A點經(jīng)過旗桿頂部E點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°.若旗桿底部G點為BC的中點，求矮建筑物的高CD. 解析：根據(jù)點G是BC的中點，可判斷EG是△ABC的中位線，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出BC、DF，繼而可求出CD

4、的長度． 解：過點D作DF⊥AF于點F，∵點G是BC的中點，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位線，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10m，∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高為20m. 方法總結：本題考查了利用俯角求高度，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解相關線段的長度． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題 【類型三】 利用俯角求不可到達的兩點之間的距離 如圖，為了測量河

5、的寬度AB，測量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處的俯角為45°，測得河對岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上)，則河的寬度AB約是多少m(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)? 解析：在Rt△ACD中，根據(jù)已知條件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根據(jù)∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根據(jù)AB＝AC－BC，代值計算即可． 解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝＝＝21m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21－21≈15.3(m)．則河的寬度A

6、B約是15.3m. 方法總結：解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形，把實際問題化歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升” 第3題 【類型四】 仰角和俯角的綜合 某數(shù)學興趣小組的同學在一次數(shù)學活動中，為了測量某建筑物AB的高，他們來到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C處觀察，測得此建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為45°.求建筑物AB的高(精確到1m，可供選用的數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7)． 解析：過點C作AB的垂線CE，垂足為E，根據(jù)題意可得出四邊形CDBE是正方形，再由BD＝

7、12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的長，進而可得出結論． 解：過點C作AB的垂線，垂足為E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四邊形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×＝4(m)，∴AB＝4＋12≈19(m)． 答：建筑物AB的高為19m. 方法總結：本題考查的是解直角三角形的應用中仰角、俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題 三、板書設計 1．仰角和俯角的概念； 2．利用仰角和俯角求高度； 3．利用仰角和俯角求不可到達兩點之間的距離； 4．仰角和俯角的綜合． 備課時盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學過程中的每一個細節(jié)．上課前多揣摩，讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學生，讓學生做課堂這個小小舞臺的主角．使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步．只有這樣，才能真正提高課堂教學效率.