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1、第五章《基本圖形》(一)自我測(cè)試
[時(shí)間:90分鐘 分值:100分]
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.(2010·郴州)如圖,直線l1與l2相交于點(diǎn)O,OM⊥l1,若∠α=44°,則∠β等于( )
A。 56° B. 46°
C. 45° D. 44°
答案與解析: B。 ∵OM⊥l1,∴∠α+∠β=90°,∠β=90°-∠α=46°。
2.(2010·義烏)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是( )
A。 1、2、3.5 B。 4、5、9
C?!?0、15、8 D。 5、15、8
答
2、案與解析: C. 能組成三角形的三條線段長(zhǎng)要求較小的兩條線段的和大于最長(zhǎng)的一條.
3.(2010·通化)用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°"時(shí),首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中( )
A。 有一個(gè)內(nèi)角大于60°
B. 有一個(gè)內(nèi)角小于60°
C. 每一個(gè)內(nèi)角都大于60°
D。 每一個(gè)內(nèi)角都小于60°
答案與解析: C.“有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°‘的反面是’每一個(gè)內(nèi)角都大于60°".
4。(2010·常德)四邊形的內(nèi)角和為( )
A。 90° B. 180°
C. 360° D. 720°
答案與解析: C.
3、四邊形的內(nèi)角和等于360°。
5.(2010·蘇州)如圖,在△ABC中,D、E兩點(diǎn)分別在BC、AC邊上。若BD=CD,∠B=∠CDE,DE=2,則AB的長(zhǎng)度是( )
A?!。? B. 5
C. 6 D. 7
答案與解析: A。 ∵∠B=∠CDE,∴DE∥AB.∵BD=CD,∴AE=CE,∴DE是△ABC的中位線,DE=AB,故AB=2DE=4。
6。(2010·銅仁)如圖,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,則DE的長(zhǎng)是( )
A。 5 B. 4
C. 3 D.
4、2
答案與解析: A. ∵△ABC≌△DEF。∴AB=DE,又AB=BE+AE=5,∴DE=5.
7.(2010·黃石)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠BAC=90°,AB=2,CD=,則AD的長(zhǎng)為( ?。?
A. B。 2
C. 3 D. 2
答案與解析: C. 過(guò)A作AE⊥BC于E,則ADCE為矩形,可得AE=CD=,在Rt△ABE中,cos∠BAE==,∴∠BAE=30°,∴∠CAE=60°,∠CAD=30°,又tan∠CAD=,∴AD===3.
8.(2010·濰坊)如圖,已知矩形ABCD,一條直線將該矩形
5、分割成兩個(gè)多邊形(含三角形),若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為M和N,則M+N不可能是( )
A. 360° B。 540°
C. 720° D. 630°
答案與解析: D。 直線可以將矩形ABCD分成兩個(gè)三角形,或一個(gè)三角形、一個(gè)四邊形,或一個(gè)三角形、一個(gè)五邊形,因此M+N可能是360°,或540°,或720°。
9.(2010·銅仁)如圖,順次連結(jié)四邊形ABCD各中點(diǎn)得四邊形EFGH,要使四邊形EFGH為矩形,應(yīng)添加的條件是( )
A。 AB∥DC B?!B=DC
C. AC⊥BD D. AC=BD
答案與解
6、析: C. 連結(jié)AC、BD可得中點(diǎn)四邊形首先是平行四邊形.∵EF∥AC,EH∥BD,∴當(dāng)AC⊥BD時(shí),∴EF⊥EH,∴平行四邊形EFGH是矩形.
10.(2010·嘉興)如圖,已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外),分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)M,連結(jié)BD交CE于點(diǎn)N,連結(jié)MN,給出以下三個(gè)結(jié)論:①M(fèi)N∥AB;②=+;③MN≤AB,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 0 ?。?。?。? C。 2 D。 3
答案與解析: D. 由Rt△ADC與Rt△CBE為等腰直角三角形,設(shè)BE=CE=a,則BC=a,設(shè)AD
7、=CD=b,則AC=b,由△CBN∽△ABD,可得=,即=,∴CN=.同理,可得CM=,∴CM=CN。∴△CMN為等腰直角三角形?!唷螩MN=∠ACD=45°,∴MN∥AB,①成立;由MN=,==+=+,∴②成立;MN=,AB=(a+b),由(a+b)2≥4ab>0,可知③成立。
二、填空題(每小題3分,共30分)
11.(2010·常德)如圖,已知直線AB∥CD,直線EF與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,且有∠1=70°,則∠2=________。
(第11題)
答案與解析: 110°. ∵AB∥CD,∴∠CFE=∠1=70°,則∠2=180°—∠CFE=110°。
12。
8、(2010·銅仁)一副三角板,如圖疊放在一起,∠1的度數(shù)是_____(dá)___。
(第12題)
答案與解析: 75°。 ∠1所在三角形的另外兩個(gè)角分別是60°,45°,∴∠1=75°。
13.(2010·郴州)如圖,一個(gè)直角三角形紙片,剪去直角后,得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2=___(dá)___(dá)__度.
(第13題)
答案與解析: 270°. ∠1、∠2的兩個(gè)補(bǔ)角之和為90°,故∠1+∠2=180°+180°-90°=270°.
14。(2010·海南)如圖,在?ABCD中,AB=6cm,∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E,則DE=________cm.
(第14題)
答案與
9、解析: 6. 在?ABCD中,AD∥BC.∴∠DEC=∠ECB,又CE平分∠BCD,∠ECD=∠ECB,∴∠DEC=∠ECD,DE=CD=AB=6cm。
15.(2010·濰坊)如圖,在△ABC中,AB=BC,AB=12cm,F是AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FE∥BC交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作ED∥AB交BC于點(diǎn)D.則四邊形BDEF的周長(zhǎng)是________cm.
答案與解析: 24. 由已知易證△AFE與△EDC也是等腰三角形,∴平行四邊形BDEF的周長(zhǎng)=2(BD+DE)=2BC=2×12=24.
16.(2010·淮安)已知周長(zhǎng)為8的等腰三角形,有一個(gè)腰長(zhǎng)為3,則最短的一條中位線長(zhǎng)為
10、____(dá)____。
答案與解析: 1。 三角形三邊長(zhǎng)為3,3,2,則最短的一條中位線長(zhǎng)==1。
17。(2010·嘉興)如圖,已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠BAD=80°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上且BE=BO,則∠AOE=____(dá)____。
答案與解析: 25°. 本題考查菱形的性質(zhì),由題意,可知∠BAO=40°,∠AOB=90°,再由直角三角形的銳角互余,可知∠ABO=50°,再由等腰三角形性質(zhì)可知∠BOE=65°,∴∠AOE=90°-65°=25°。
18.(2010·溫州)勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣。1955年希臘發(fā)行了一枚以勾股圖為
11、背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成,它可以驗(yàn)證勾股定理.在下圖的勾股圖中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR使得∠R=90°,點(diǎn)H在邊QR上,點(diǎn)D、E在邊PR上,點(diǎn)G、F在邊PQ上,那么△PQR的周長(zhǎng)等于________。
答案與解析: 27+13 ?!? 本題考查勾股定理,解直角三角形和正方形的性質(zhì),如圖,延長(zhǎng)BA交QR于點(diǎn)M,根據(jù)題意,可得AM⊥QR,四邊形ADRM是矩形,△QGH是等邊三角形,∴QH=HG=AH=AC=2 ,HM=sin∠HAM·HA=×2 =3,MR=AD=AB=4,∴QR=7+2 ,PQ=2(7+2?。?/p>
12、14+4 ,PR=(7+2 )=6+7 ,因此,△PQR的周長(zhǎng)等于QR+PQ+PR=27+13 。
19.(2010·青島)一張矩形紙片(矩形ABCD)按如圖方式折疊,使頂點(diǎn)B和D重合,折痕為EF,若AB=3cm,BC=5cm,則重疊部分△DEF的面積是________cm2.
答案與解析: 5.1. 本題考查矩形的性質(zhì)及圖形的變換,設(shè)BF=DF=x,則FC=5-x,在Rt△DCF中,有DF2=CD2+CF2,即x2=(5-x)2+32,解得x=3.4?!摺螦′DE+∠EDF=90°,∠CDF+∠EDF=90°,∴∠A′DE=∠CDF,∵A′D=CD,∴∠A′=∠C,∴△A′D
13、E≌△CDF,∴DE=DF?!啵印鱀EF=DE·AB=×3.4×3=5.1。
20.(2010·沈陽(yáng))若等腰梯形ABCD的上、下底之和為2,并且兩條對(duì)角線所成的銳角為60°,則等腰梯形ABCD的面積為_(kāi)______(dá)_.
答案與解析: 或. 本題考查等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)及計(jì)算,可平移其中一條對(duì)角線,根據(jù)等腰梯的對(duì)角線相等及一個(gè)角為60°,可得一個(gè)等邊三角形或一個(gè)頂角為120°的等腰三角形,分兩種情況計(jì)算:(1)當(dāng)是等邊三角形時(shí),此時(shí)上、下底之和恰好等于等邊三角形的邊長(zhǎng),梯形的高等于等邊三角形的高,作等邊三角形的一條高,利用直角三角形可求得梯形的高為,∴梯形ABCD的面積為×2×=;(2)當(dāng)
14、是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形,底邊上的高等于梯形的高,同樣,可得梯形的高為,梯形ABCD的面積為×2×=.
三、解答題(21題6分,22~24題各8分,25題10分,共40分)
21.(2010·武漢)如圖.點(diǎn)B,F(xiàn),C,E在同一條直線上,點(diǎn)A,D在直線BE的兩側(cè),AB∥DE,AC∥DF,BF=CE.求證:AC=DF.
證明:∵BF=CE,
∴BF+FC=CE+FC,即BC=FE.
∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,
∴△ABC≌△DEF(ASA),
∴AC=DF。
22.(2010·泰州)如圖,四邊形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠
15、DEC=90°。
(1)求證:AC∥DE;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,連結(jié)EF,試判別四邊形BCEF的形狀,并說(shuō)明理由.
解:(1)證明:在矩形ABCD中,AB綊CD,
∴∠CAB=∠ACD.
∵∠EDC=∠CAB,
∴∠ACD=∠EDC,
∴AC∥DE.
(2)四邊形BCEF為平行四邊形,理由如下:
∵BF⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90°,
又∵∠EDC=∠CAB,
DC=AB,
∴△EDC≌△FAB(AAS),
∴EC=BF。
∵AC∥DE,
∴∠ACE+∠DEC=180°,
∴∠ACE=90°,EC⊥AC。
又BF⊥AC,
∴EC∥B
16、F.
∴四邊形BCEF是平行四邊形.
23.(2010·聊城)如圖,AD∥FE,點(diǎn)B、C在AD上,∠1=∠2,BF=BC.
(1)求證:四邊形BCEF是菱形;
(2)若AB=BC=CD,求證:△ACF≌△BDE.
證明:(1)設(shè)BE交CF于點(diǎn)O,
∵BF=BC,∠1=∠2,
∴BO⊥FC,FO=CO.
又AD∥FE,
∴∠FEO=∠2,∠EFO=∠BCO,
∴△BCO≌△EFO,
∴BO=EO.
又FO=CO,
∴四邊形BCEF是平行四邊形.
又BE⊥FC,∴?BCEF是菱形.
(2)在菱形BCEF中,
BC=BF,BE⊥CF.
∵AB=BC=CD,
∴
17、BF=AB=BC=AC,
∴△AFC是直角三角形,∠AFC=90°.
同理△BDE是直角三角形,∠BED=90°.
∴AF∥BE,∠A=∠2,
∴四邊形AFEB為平行四邊形,∴AF=BE。
又∵又AC=2BC=BD,
∴△ACF≌△BDE(SAS).
24.(2010·衡陽(yáng))如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng),但A到EF的距離AH始終保持與AB長(zhǎng)相等,問(wèn)在E、F移動(dòng)過(guò)程中:
(1)∠EAF的大小是否有變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)△ECF的周長(zhǎng)是否有變化?請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1)保持不變,為45°,理由如下:在正方形ABCD中,
AB=AD,∠BAD
18、=90°.
∵AH⊥EF,∴∠AHE=∠B=90°.
又∵AE=AE,AH=AB,
∴△ABE≌△AHE(HL),
∠HAE=∠BAE.
同理:△ADF≌△AHF,
∴∠HAF=∠DAF。
∴∠EAF=∠HAE+∠HAF=∠BAD=45°,∴保持不變.
(2)保持不變,理由如下:
∵△ABE≌△AHE,
∴EH=EB.
同理:FH=FD.
∴△ECF的周長(zhǎng)=EC+FC+EF=EC+EH+FC+FH=EC+EB+FC+FDCB+CD=2CD,
∴保持不變.
25.(2010·蘇州)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6。P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B
19、兩點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線,垂足為M、N.設(shè)AP=x。
(1)在△ABC中,AB=_____(dá)__(dá)_;
(2)當(dāng)x=___(dá)___(dá)__時(shí),矩形PMCN的周長(zhǎng)是14;
(3)是否存在x的值,使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等?請(qǐng)說(shuō)出你的判斷,并加以說(shuō)明.
解:(1)10 (2)5
(3)不存在,理由如下:解法一:∵PM⊥AC,PN⊥BC,
∴∠AMP=∠PNB=90°.
∵AC∥PN,
∴∠A=∠NPB,
∴△AMP∽△PNB,
∴當(dāng)P為AB中點(diǎn),即AP=PB時(shí),△AMP≌△PNB。
∴此時(shí)S△AMP=S△PNB=AM·MP=×4×3
20、=6,
而矩形PMCN面積=PM·MC=3×4=12,
∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等的x的值
解法二:∵PM⊥AC,PN⊥BC,
∴∠AMP=∠PNB=90°
∵在Rt△ABC中,sinA=,cosA=,
∴AM=AP·cosA=x,即MP=AP·sinA=x,
∴MC=AC—AM=8-x,
NB=BC-CN=6-x,
∴S△AMP=AM·MP=x2,
S△PNB=PN·NB=(10-x)2。
若S△AMP=S△PNB,則x=5。
此時(shí)S△AMP=S△PNB=6.
而矩形PMCN面積=PM·MC=3×4=12。
∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積和矩形PMCN面積同時(shí)相等的x的值.
不足之處,敬請(qǐng)諒解
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