2023屆大一輪復習 第33講 復數（Word版含解析）

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1、2023屆大一輪復習 第33講 復數 一、選擇題（共12小題） 1. 設 z=?3+2i，則在復平面內 z 對應的點位于 ?? A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知 a∈R，若 a?1+a?2i（i 為虛數單位）是實數，則 a= ?? A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 3. 設 1?ix=1+yi，其中 x，y 是實數，則 x+yi 在復平面內所對應的點位于 ?? A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若復數 1?ia+i 在復平面內對應的點在第二象限，則實數

2、 a 的取值范圍 ?? A. ?∞,1 B. ?∞,?1 C. 1,+∞ D. ?1,+∞ 5. 在復平面內，復數 z 對應的點的坐標是 1,2，則 i?z= ?? A. 1+2i B. ?2+i C. 1?2i D. ?2?i 6. 若 z=1+i，則 z2–2z= ?? A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 7. 復數 11?3i 的虛部是 ?? A. ?310 B. ?110 C. 110 D. 310 8. 2?i1+2i= ?? A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 9. 已知復數 z=2+i，則 z

3、?z= ?? A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 10. 設復數 z 滿足 z?i=1，z 在復平面內對應的點為 x,y，則 ?? A. x+12+y2=1 B. x?12+y2=1 C. x2+y?12=1 D. x2+y+12=1 11. 若 z1+i=2i，則 z= ?? A. ?1?i B. ?1+i C. 1?i D. 1+i 12. 復數 21?i（i 為虛數單位）的共軛復數是 ?? A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 二、填空題（共20小題） 13. 已知復數 z=21?i，其中 i

4、 為虛數單位，則復數 z 的共軛復數為 ?． 14. 已知 x>0，若 x?i2 是純虛數（其中 i 為虛數單位），則 x= ?． 15. 已知復數 z=1?i2i，其中 i 為虛數單位，則復數 z 的虛部為 ?． 16. 已知 i 為虛數單位，復數 z=32?32i 的模為 ?． 17. 若復數 z 滿足 z?2i=∣z∣2+1（其中 i 為虛數單位），則 ∣z∣= ?． 18. 設復數 z 滿足 z

5、+ii=?3+4i（i 為虛數單位），則 z 的模為 ?． 19. 若復數 z 滿足 z1?i=2i（i 是虛數單位），z 是 z 的共軛復數，則 z?z= ?． 20. 如圖，在復平面內，點 A 對應的復數為 z1，若 z2z1=i（i 為虛數單位），則 z2= ?． 21. 已知復數 z=a+i1+3i（i 是虛數單位）是純虛數，則實數 a 的值為 ?． 22. 若復數 z 滿足 z1+i=1，其中 i 為虛數單位，則 z 在復平

6、面內對應的點在第 ?象限． 23. 若復數 z 滿足 za+2i=i（i 為虛數單位），且實部和虛部相等，則實數 a 的值為 ?． 24. 已知復數 z=3+4i5i，其中 i 是虛數單位，則 ∣z∣= ?． 25. 已知復數 z=2i1?i?3i（i 為虛數單位），則復數 z 的模為 ?． 26. 復數 z 滿足 zi=4+3i（i 是虛數單位），則 z= ?． 27. 若 i 是虛數單位，且復數 z

7、 滿足 1+iz=2，則 ∣z∣= ?． 28. 復數 21?i（i 為虛數單位）的共軛復數是 ?． 29. 1+i1?i6+2+3i3?2i= ?． 30. 若復數 z 滿足 2z+z=3?2i，其中 i 為虛數單位，則 z= ?． 31. 已知復數 z=x+yi，且 ∣z?2∣=3，則 yx 的最大值為 ?． 32. 已知 i 是虛數單位，則復數 z=1+i2?i 的實部是

8、 ?． 三、解答題（共2小題） 33. 已知 i 是虛數單位，復數 z=m21+i?m2+3i?42+i，當 m 分別取何實數時，z 滿足如下條件? （1）實數； （2）虛數； （3）純虛數； （4）零． 34. 如圖所示，平行四邊形 OABC，頂點 O，A，C 分別表示 0，3+2i，?2+4i，試求： （1）AO，BC 所表示的復數； （2）對角線 CA 所表示的復數； （3）B 點對應的復數． 答案 1. C 【解析】由 z=?3+2i，得 z=?3?2i，則 z=?3?2i 對應的點 ?3,?2 位于第三象限． 2.

9、 C 【解析】因為 a?1+a?2i 為實數，所以 a?2=0，所以 a=2． 3. D 【解析】因為 x，y 是實數， 所以 1?ix=x?xi=1+yi， 所以 x=1,?x=y, 解得 x=1,y=?1, 所以 x+yi 在復平面內所對應的點為 1,?1，位于第四象限． 4. B 【解析】因為 z＝1?ia+i=a+1+1?ai， 所以它在復平面內對應的點為 a+1,1?a， 又此點在第二象限，所以 a+1<0,1?a>0, 解得 a

10、2=1+i2=2i， 則 z2?2z=2i?21+i=?2，故 z2?2z=?2=2． 7. D 【解析】因為 z=11?3i=1+3i1?3i1+3i=110+310i， 所以復數 z=11?3i 的虛部是 310． 故選：D． 8. D 【解析】2?i1+2i=2?i1?2i1+2i1?2i=?5i5=?i． 9. D 【解析】由題 z=2+i，則 z?z=2+i2?i=5． 10. C 【解析】由題可得 z=x+yi，z?i=x+y?1i，z?i=x2+y?12=1， 則 x2+y?12=1． 11. D 【解析】z=2i1+i=2i1?i1+i1?

11、i=1+i． 12. B 【解析】因為 21?i=21+i2=1+i， 所以共軛復數為 1?i． 13. 1?i 【解析】因為復數 z=21?i=21+i1?i1+i=1+i，所以復數 z 的共軛復數 z=1?i． 14. 1 【解析】因為 x?i2=x2?2xi+i2=x2?1+2xi 為純虛數， 所以 x2?1=0,x≠0,x>0, 解得 x=1． 15. ?12 【解析】解法 1：z=1?ii2i?i=1+i?2=?12?12i，所以 z 的虛部是 ?12． 解法 2：設 z=a+bia,b∈R，則 2ia+bi=1?i， 即 ?2b+2ai=

12、1?i，所以 ?2b=1，得 b=?12． 16. 3 【解析】∣z∣=322+?322=3． 17. 1 【解析】兩邊同時取模得 ∣z?2i∣=2∣z∣=∣z∣2+1，即 ∣z∣2?2∣z∣+1=0，所以 ∣z∣=1． 18. 25 【解析】因為 z+ii=?3+4i， 所以 zi=?2+4i， 所以 ∣z∣=∣?2+4i∣∣i∣=4+16=25． 19. 2 【解析】因為 z?z=z2，且 z=2i1?i=22=2， 所以 z?z=2． 20. ?2?i 【解析】由圖可知 z1=?1+2i，又因為 z2z1=i， 所以 z2=iz1=i?1+2i=?2

13、?i． 21. ?3 【解析】z=a+i1+3i=a+i1?3i1+3i1?3i=a+3+1?3ai10， 由 z 是純虛數，則 a+3=0，故 a=?3． 22. 四 【解析】因為 z=11+i=1?i2=12?12i， 所以對應的點為 12,?12，故在第四象限． 23. ?2 【解析】由 za+2i=i 得 z=a+2i?i=?2+ai，又 z 實部和虛部相等，所以 a=?2． 24. 1 【解析】解法 1：因為復數 z=3+4i5i=45?35i， 所以 ∣z∣=452+?352=1． 解法 2：根據復數的性質：z1z2=z1z2 可得：∣z∣=3+4i

14、5i=∣3+4i∣∣5i∣=55=1． 25. 5 【解析】z=2i1?i?3i=2i1+i1?i1+i?3i=?2+2i2?3i=?1?2i， 所以 ∣z∣=?12+?22=5． 26. 5 【解析】由已知得，z=4+3ii=4+3iii2=?3+4i?1=3?4i， 則 z=32+?42=5． 27. 2 【解析】解法 1（定義法）z=21+i=1?i，所以 ∣z∣=2． 解法 2（復數模的性質）對 1+iz=2 兩邊同時取模，即 ∣1+iz∣=2，結合模的運算性質有 ∣1+i∣∣z∣=2，即 2∣z∣=2，所以 ∣z∣=2． 28. 1?i 【解析】先分母實

15、數化化簡復數，再根據共軛復數的定義確定結果． 29. ?1+i 【解析】原式=1+i226+2+3i3+2i32+22=i6+6+2i+3i?65=?1+i． 30. 1?2i 【解析】設 z=a+bia,b∈R，則 z=a?bi， 所以 2a+bi+a?bi=3?2i，整理得 3a+bi=3?2i， 所以 3a=3,b=?2, 解得 a=1,b=?2, 所以 z=1?2i． 31. 3 【解析】因為 ∣z?2∣=x?22+y2=3， 所以 x?22+y2=3． 由圖可知 yxmax=31=3． 32. 3 【解析】因為復數 z=1+i2?i， 所以 z=

16、2?i+2i?i2=3+i， 所以復數的實部為 3． 33. （1） z=m2?2m?8+m2?3m?4i． 當 m2?3m?4=0 時，即 m=?1 或 m=4 時，z 為實數； ??????（2） 當 m2?3m?4≠0 時，即 m≠?1 且 m≠4 時，z 為虛數； ??????（3） m2?3m?4≠0,m2?2m?8=0 時，即 m=?2 時，z 為純虛數； ??????（4） m2?3m?4=0,m2?2m?8=0 時，即 m=4 時，z 為零． 34. （1） 因為 AO=?OA，所以 AO 所表示的復數為 ?3?2i． 因為 BC=AO，所以 BC 所表示的復數為 ?3?2i． ??????（2） 因為 CA=OA?OC， 所以 CA 所表示的復數為 3+2i??2+4i=5?2i． ??????（3） OB=OA+AB=OA+OC， 所以 OB 所表示的復數為 3+2i+?2+4i=1+6i， 即 B 點對應的復數為 1+6i． 第7頁（共7 頁）