《單調(diào)性與最大(小)值》第一課時參考教案(共7頁)

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1、1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲? （第一課時） 一、 教學目標 1．知識與技能： (1) 理解函數(shù)單調(diào)性的概念 (2) 學會判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性 (3) 掌握利用函數(shù)圖像和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法、步驟 2．過程與方法： 通過函數(shù)單調(diào)性概念的學習，讓學生體驗概念形成的過程，同時了解從特殊到一般、具體到抽象、感性到理性的數(shù)學思考的基本方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力 3．情感態(tài)度與價值觀： 通過函數(shù)單調(diào)性的探究過程，培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣。同時，讓學生體會到數(shù)學來自于生活、又服務(wù)于生活。 二、教學重點與難點

2、 教學重點：函數(shù)單調(diào)性的概念 教學難點：從圖像的直觀感知到函數(shù)增減的數(shù)學符號語言的過渡 三、教學模式：引導(dǎo)探究 四、教學方法： 教師啟發(fā)講授 五、 教學基本流程： 從實際問題引入函數(shù)的單調(diào)性 通過函數(shù)圖像，直觀認識函數(shù)的單調(diào)性 通過圖表，用自然語言描述 用數(shù)學符號語言描述單調(diào)性 由圖像判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性 練習、反饋、鞏固 歸納小結(jié) 六、 教學過程： 1．創(chuàng)設(shè)情境 （1）（提問學生）據(jù)說，由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請說明時間調(diào)動的原因。 （2）由圖象可知，7月25日之后的16

3、天內(nèi)，北京平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)均呈現(xiàn)上升的趨勢。而8月8日到8月24日，均呈現(xiàn)下降的趨勢，比較適宜大型國際體育賽事。 （過渡性語言） 原來啊，8月8日除了好意頭之外，還有這么一個關(guān)于天氣的原因。從這個事情可以看出，如果我們可以掌握“上升、下降”的變化規(guī)律，對我們的生活是十分有幫助的。同樣的，我們之前所學習的函數(shù)也有這樣的一種變化規(guī)律，下面讓我們一起來學習一下。 2． 探究新知 （1）觀察圖像，感知特征（直觀感知） 首先，我們看看十分熟悉的兩個函數(shù)，一次函數(shù)和二次函數(shù)，現(xiàn)在，我們一起來觀察一下兩個圖像，有沒有發(fā)現(xiàn)類似于我們前面天氣圖像

4、的變化規(guī)律？ （預(yù)測）：學生通過感知，可以看出，從左到右，一次函數(shù)的圖像是上升的；而二次函數(shù)的圖像在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的。 （PPT展示）：函數(shù)圖像的這種“上升”、“下降”的變化規(guī)律，我們稱之為函數(shù)的單調(diào)性。 （過渡性語言） 我們研究數(shù)學的過程通常可以分為觀察感知——定量分析——邏輯證明這三個步驟，剛才我們已經(jīng)從圖像感知到函數(shù)“上升”、“下降”的性質(zhì)。下面，我們接著進一步分析，用數(shù)據(jù)說明問題。 （2）定量分析，理性思考（自然語言描述） 1> 觀察下面的表格，描述二次函數(shù)隨x 增大函數(shù)值的變化特征（PPT展示）： x …… -4 -3 -2 -1 0

5、1 2 3 4 …… f(x) …… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …… 2> 引導(dǎo)學生用自然語言描述函數(shù)圖像特征： 下降 在區(qū)間上，隨著x 的增大，相應(yīng)的f(x)反而隨著減?。? 上升 在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大。 （3）自然語言——數(shù)學符號語言（只分析“上升”） 1> P28 思考：如何利用函數(shù)解析式描述“隨著x 的增大，相應(yīng)的f(x)反而隨著減小”、“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大” 10 “隨著x 的增大”——“任取兩個x1、x2”（學生可能會省略“任取”） 20 “相

6、應(yīng)的f(x)反而隨著減小”——“f（x1） 對于“任取” 二次函數(shù)的圖像，滿足f(-2) 學生明確“任取”的重要性（完善） （4）給出定義 實際上，某個函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是“上升”的，我們稱之為在區(qū)間D上的增函數(shù)。例如，二次函數(shù)在上是增函數(shù)。 下面，我們給出增

7、函數(shù)更一般的定義。 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I： 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)； 同樣地，對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。 那么，從定義可知，在R上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)，而在區(qū)間上增函數(shù)。 （5）解剖分析 1>

8、幾何特征：增函數(shù)的圖像是呈上升的趨勢；而減函數(shù)是呈下降的趨勢。 2> 函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間而言的，是一個局部的性質(zhì)(局部性)。 有些函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)的；有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)。 例如，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，而在區(qū)間上增函數(shù)，但在R上卻沒有單調(diào)性。 3> x1，x2的任意性 判斷：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-2)f(0)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間上 是增函數(shù)。（×） 3．鞏固反

9、思 例1 如圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說 出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還減函數(shù)？ （1） 我們一起來看看這個圖像，從左往右看，這個圖像是先下降，再上升，再下降，最后上升。因此，這個函數(shù)在4個區(qū)間上具有單調(diào)性，它們的單調(diào)區(qū)間分別是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5]。 （2） 有三個問題想問問同學們： 1> 函數(shù)在x=-2這個點單調(diào)性是如何的？ （函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題。） 2> 函數(shù)在區(qū)間[-5,2)和區(qū)間 [1,3)

10、是單調(diào)減的，那么我們可以說函數(shù)在[-5,2)∪[1,3)上是單調(diào)減的嗎？ （函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A、B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)。(反比例函數(shù)，不能用定義證明是增函數(shù))） 3> 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以分為[-5,2],[-2,1],[1,3],[3,5]嗎？（在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。） 例2 判斷函數(shù) f (x) =3x+2 在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。 從例1知道，我們要判斷函數(shù)的單調(diào)性，我們可以通過圖像觀察，下面我們一起來看看函數(shù)f (x)=3x+2的圖像。從圖像可以看出，函數(shù)呈上升的趨勢，那么它應(yīng)該是

11、在R上的增函數(shù)。下面我們一起來根據(jù)定義證明我們的結(jié)論。 證明：設(shè)任意的，且，則 由，得? 于是 ，即。? 所以，在R上是增函數(shù)。 小結(jié)：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： ①任意取值：即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x10，則為減函數(shù)） 即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結(jié)論” 思考：上面我們是用作差比較兩個函數(shù)值的大小，那么，還有什

12、么別的方法可以用來比較大小(作商：，與1比較) 探究 觀察反比例函數(shù)的圖像，思考： （1）這個函數(shù)的定義域I是什么？ （2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？ 證明：（1）定義域I=（-∞，0）（0，+∞） （2）函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）和 區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)。（證明略） 注意：1> 本題的證明是分段證明的，對于不連續(xù)的定義域區(qū)間一般要求分段去證明 2> 本題的結(jié)論是說在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上分別都是減函數(shù)，切不可說函數(shù)在整個定義域上為減函數(shù) 4．小結(jié)歸納與作業(yè)布置 （1） 小結(jié)歸納： 教師通過提出下列問題讓學生思考： ① 增（

13、減）函數(shù)有什么特點？ （增函數(shù)的圖像是呈上升的趨勢，而減函數(shù)的圖像是下降的；增（減）函數(shù)的定義，這里，我們需要注意的是函數(shù)單調(diào)性是一個局部的性質(zhì)，是對于定義域的某個區(qū)間而言的，同時，具有單調(diào)性的函數(shù)，任意的兩個都滿足隨自變量的增大，函數(shù)值也隨之增大（減?。? ② 如何根據(jù)圖像指出單調(diào)區(qū)間？ （通過觀察圖像的“上升”、“下降”趨勢，可以判斷函數(shù)在具體區(qū)間的單調(diào)性，從而指出單調(diào)區(qū)間。） ③ 怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （“任意取值——作差（商）變形——判斷定號——得出結(jié)論”） （2）作業(yè)布置 必做題：習題1.3 1，2，3 選做題：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 解： 的單調(diào)遞減區(qū)間是，在R上單調(diào)減， （a>0）的單調(diào)減區(qū)間是