2020年中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題 第23課 圓的證明

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1、 第?23?課?圓的證明 本節(jié)內(nèi)容主要考查點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系?，特別是切線的性質(zhì)與判定，一直都 是熱點(diǎn)。廣東省近?5?年試題規(guī)律：極少考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)與判定是必考內(nèi) 容，年年考，并且經(jīng)常滲透到圓的綜合題中，近幾年這類試題難度加大，題型也有所變化。 知識(shí)清單 知識(shí)點(diǎn)一 位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi)??????????????點(diǎn)在圓上  點(diǎn)在圓外 數(shù)量關(guān)系 d＜r 知識(shí)點(diǎn)二 直線與圓的位置關(guān)系 d＝r d＞r 位置關(guān)系 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 公共點(diǎn)的名稱

2、 數(shù)量關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)三 圓的切線 相離 0 無(wú) d＞r 相切 1 切點(diǎn) d＝r 相交 2 交點(diǎn) d＜r 切線的判定 切線的性質(zhì) 切線長(zhǎng) 切線長(zhǎng)定理 知識(shí)點(diǎn)四 (1)與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法)； (2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線； (3)過(guò)半徑外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線. 切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑?. . 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng) 從圓外一點(diǎn)可以引圓

3、的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連 線平分兩條切線的夾角. 三角形與圓 確定圓的條件 不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓. 經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的 三角形的外心 外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距 離相等. 三角形的內(nèi)心 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 . 內(nèi)心，這個(gè)三角形叫圓的外切三角形，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等 課前小測(cè) 1．（點(diǎn)與圓的位置關(guān)系）已知⊙O?的半徑為?5，若?PO=4，則點(diǎn)?P?與⊙O?的位置關(guān) 系是（ ）

4、A．點(diǎn)?P?在⊙O?內(nèi) B．點(diǎn)?P?在⊙O?上 C．點(diǎn)?P?在⊙O?外 D．無(wú)法判斷 2．（直線與圓的位置關(guān)系）已知⊙O?的半徑為?3，圓心?O?到直線?L?的距離為?2， 1 則直線?L?與⊙O?的位置關(guān)系是（ ） A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定 3．（切線的性質(zhì)）如圖，AB?是⊙O?的切線，點(diǎn)?B?為切點(diǎn)，若∠?A=30°，則∠?AOB= ． 4．（切線長(zhǎng)的性質(zhì)）如圖所示，PA，PB?是⊙O?的切線，且∠?APB=40°，下列說(shuō)法 不正確的是（ ）

5、 （ ⊙ A．PA=PB B．∠?APO=20° C．∠?OBP=70° D．∠?AOP=70° 5．切線的性質(zhì)）如圖，直線?AB?與⊙O?相切于點(diǎn)?A，?O?的半徑為?2，若∠?OBA=30°， 則?AB?的長(zhǎng)為（ ） A．4?3 B．4 C．2?3 D．2 經(jīng)典回顧 考點(diǎn)一?圓的位置關(guān)系 （ 【例?1】?2018?湘西州）已知⊙O?的半徑為?5cm，圓心?O?到直線?l?的距離為?5cm， 則直線?l?與⊙O?的位置關(guān)系為（ ）

6、A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定 【點(diǎn)撥】直線和圓的位置關(guān)系：若?d＜r，則直線與圓相交；若?d=r，則直線于圓 相切；若?d＞r，則直線與圓相離． 2 考點(diǎn)二?切線的性質(zhì)與判定 （ 【例?2】?2019?雅安）如圖，已知?AB?是⊙O?的直徑，AC，BC?是⊙O?的弦，OE∥?AC 交?BC?于?E，過(guò)點(diǎn)?B?作⊙O?的切線交?OE?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?D，連接?DC?并延長(zhǎng)交?BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?F． （1）求證：DC?是⊙O?的切線； （2）若∠?ABC＝30°，AB＝8，求線段?CF?的長(zhǎng)．

7、 【點(diǎn)拔】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角 形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（2019?廣州）平面內(nèi)，⊙O?的半徑為?1，點(diǎn)?P?到?O?的距離為?2，過(guò)點(diǎn)?P?可作 ⊙O?的切線條數(shù)為（ ） A．0?條 B．1?條 C．2?條 D．無(wú)數(shù)條 2．（2019?阜新）如圖，CB?為⊙O?的切線，點(diǎn)?B?為切點(diǎn)，CO?的延長(zhǎng)線交⊙O?于 點(diǎn)?A，若∠?A＝25°，則∠?C?的度數(shù)是（ ） A．25°

8、 B．30° C．35° D．40° 3．（2019?哈爾濱）如圖，PA、PB?分別與⊙O?相切于?A、B?兩點(diǎn)，點(diǎn)?C?為⊙O?上 一點(diǎn)，連接?AC、BC，若∠?P＝50°，則∠?ACB?的度數(shù)為（ ） 3 A．60° B．75° C．70° D．65° 4．（2019?河池）如圖，PA，PB?是⊙O?的切線，A，B?為切點(diǎn)，∠?OAB＝38°，則 ∠?P＝ °． 5．（201

9、9?鹽城）如圖，在?Rt△ABC?中，∠?ACB＝90°，CD?是斜邊?AB?上的中線， 以?CD?為直徑的⊙O?分別交?AC、BC?于點(diǎn)?M、N，過(guò)點(diǎn)?N?作?NE⊥AB，垂足為?E． （1）若⊙O?的半徑為?5?，AC＝6，求?BN?的長(zhǎng)； 2 （2）求證：NE?與⊙O?相切． 中考沖刺 夯實(shí)基礎(chǔ) （ 1．?2019?無(wú)錫）如圖，PA?是⊙O?的切線，切點(diǎn)為?A，PO?的延長(zhǎng)線交⊙O?于點(diǎn)?B， 若∠?P＝40°，則∠?B?的度數(shù)為（ ）

10、 4 A．20° B．25° C．40° D．50° 2．如圖，AB?是⊙O?的直徑，AC?是⊙O?的切線，A?為切點(diǎn)，若∠?C＝40°，則∠?B 的度數(shù)為（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° （ 3．?2019?福建）如圖，PA、PB?是⊙O?切線，A、B?為切點(diǎn)，點(diǎn)?C?在⊙O?上，且∠?ACB ＝55°，則∠?APB?等于（ ） A．55° B．70° C．110° D．12

11、5° 4．（2019?包頭）如圖，BD?是⊙O?的直徑，A?是⊙O?外一點(diǎn)，點(diǎn)?C?在⊙O?上，AC 與⊙O?相切于點(diǎn)?C，∠?CAB＝90°，若?BD＝6，AB＝4，∠?ABC＝∠?CBD，則弦 BC?的長(zhǎng)為 ． 5．（2019?濟(jì)寧）如圖，O?為?Rt△ABC?直角邊?AC?上一點(diǎn)，以?OC?為半徑的⊙O?與 斜邊?AB?相切于點(diǎn)?D，交?OA?于點(diǎn)?E，已知?BC＝ 的面積是 ． ，AC＝3．則圖中陰影部分 5

12、 6．（2019?陜西）如圖，AC?是⊙O?的直徑，AB?是⊙O?的一條弦，AP?是⊙O?的切 線．作?BM＝AB?并與?AP?交于點(diǎn)?M，延長(zhǎng)?MB?交?AC?于點(diǎn)?E，交⊙O?于點(diǎn)?D，連 接?AD． （1）求證：AB＝BE； （2）若⊙O?的半徑?R＝5，AB＝6，求?AD?的長(zhǎng)． 7．（2019?赤峰）如圖，AB?為⊙O?的直徑，C、D?是半圓?AB?的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)?C 作?AD?延長(zhǎng)線的垂線?CE，垂足為?E． （

13、1）求證：CE?是⊙O?的切線； （2）若⊙O?的半徑為?2，求圖中陰影部分的面積． 能力提升 8．（2019?煙臺(tái)）如圖，AB?是⊙O?的直徑，直線?DE?與⊙O?相切于點(diǎn)?C，過(guò)?A，B 分別作?AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點(diǎn)?D，E，連接?AC，BC，若?AD＝ 則?AC?的長(zhǎng)為（ ） ，CE＝3， 6 3?????????? B． 3???????????? C． 2???

14、???????? D． A．?2?3 3  π 3  π 2?3 3  π 9．（2019?賀州）如圖，在△?ABC?中，O?是?AB?邊上的點(diǎn)，以?O?為圓心，OB?為半 徑的⊙O?與?AC?相切于點(diǎn)?D，BD?平分∠?ABC，AD＝?3?OD，AB＝12，CD?的長(zhǎng) 是（ ） A．2?3 B．2 C．3?3 D．4?3 10．（2019?齊齊哈爾）如圖，以△?ABC?的邊?BC?為直徑作⊙O，點(diǎn)?A?在⊙O?上， 點(diǎn)?D?在線段?BC?的延長(zhǎng)線上，A

15、D＝AB，∠?D＝30°． （1）求證：直線?AD?是⊙O?的切線； （2）若直徑?BC＝4，求圖中陰影部分的面積． 11．（2019?黃石）如圖，AB?是⊙O?的直徑，點(diǎn)?D?在?AB?的延長(zhǎng)線上，C、E?是⊙O 上的兩點(diǎn)，CE＝CB，∠?BCD＝∠?CAE，延長(zhǎng)?AE?交?BC?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?F． （1）求證：CD?是⊙O?的切線； （2）求證：CE＝CF； （3）若?BD＝1，CD＝ 2?，求弦?AC?的長(zhǎng)． 7

16、 第?23?課?圓的證明 課前小測(cè) 1．A． 2．A． 3．60°． 4．C． 5．C． 經(jīng)典回顧 考點(diǎn)一?圓的位置關(guān)系 【例?1】B． 考點(diǎn)二?切線的性質(zhì)與判定 【例?2】（1）證明：連接?OC， ∵?OE∥?AC， 8 OC??， ∴?∠?1＝∠?ACB， ∵?AB?是⊙O?的直徑， ∴?∠?1＝∠?ACB＝90°，

17、 ∴?OD⊥BC，由垂徑定理得?OD?垂直平分?BC， ∴?DB＝DC， ∴?∠?DBE＝∠?DCE， 又∵?OC＝OB， ∴?∠?OBE＝∠?OCE， 即∠?DBO＝∠?OCD， ∵?DB?為⊙O?的切線，OB?是半徑， ∴?∠?DBO＝90°， ∴?∠?OCD＝∠?DBO＝90°， 即?OC⊥DC， ∵?OC?是⊙O?的半徑， ∴?DC?是⊙O?的切線； （2）解：在?Rt△?ABC?中，∠?ABC＝30°， ∴?∠?3＝60°，又?OA＝OC， ∴?△?AOC?是等邊三角形， ∴?∠?COF＝

18、60°， 在?Rt△?COF?中，tan∠?COF＝?CF ∴?CF＝4 3?． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．C． 2．D． 3．D． 4．76． 5．解：（1）連接?DN，ON 9 ∵?⊙O?的半徑為?5?， 2 ∴?CD＝5 ∵?∠?ACB＝90°，CD?是斜邊?AB?上的中線， ∴?BD＝CD＝AD＝5， ∴?AB＝10， ∴?BC＝?102 62?＝8 ∵?CD?為直徑 ∴?∠?CN

19、D＝90°，且?BD＝CD ∴?BN＝NC＝4 （2）∵?∠?ACB＝90°，D?為斜邊的中點(diǎn)， ∴?CD＝DA＝DB＝?1?AB， 2 ∴?∠?BCD＝∠?B， ∵?OC＝ON， ∴?∠?BCD＝∠?ONC， ∴?∠?ONC＝∠?B， ∴?ON∥?AB， ∵?NE⊥AB， ∴?ON⊥NE， ∴?NE?為⊙O?的切線． 中考沖刺 夯實(shí)基礎(chǔ) 1．B． 10 2．B． 3．B． 4．2 6?． 5． 6?． 6．（1）證明：∵?A

20、P?是⊙O?的切線， ∴?∠?EAM＝90°， ∴?∠?BAE+∠?MAB＝90°，∠?AEB+∠?AMB＝90°． 又∵?AB＝BM， ∴?∠?MAB＝∠?AMB， ∴?∠?BAE＝∠?AEB， ∴?AB＝BE （2）解：連接?BC ∵?AC?是⊙O?的直徑， ∴?∠?ABC＝90° 在?Rt△ABC?中，AC＝10，AB＝6， ∴?BC＝8， ∵?BE＝AB＝BM， ∴?EM＝12， 由（1）知，∠?BAE＝∠?AEB， ∴?△?AB

21、C∽?△?EAM ∴?∠?C＝∠?AME，?EM?＝?AM?， AC BC 10??＝ 8????， 即?12 AM 11 ∴???AD?=?CD?=?BC?， ∴?AM＝?48 5 又∵?∠?D＝∠?C， ∴?∠?D＝∠?AMD ∴?AD＝AM＝?48?． 5 7．（1）證明：∵?點(diǎn)?C、D?為半圓?O?的三等分點(diǎn)， ? ? ∴?∠?BOC＝∠?A， ∴?OC∥?AD， ∵?CE⊥AD， ∴?CE⊥OC， ∴?CE?為⊙O?的切線； （2）解：連接?O

22、D，OC， ∴???AD?=?CD?=?BC?， ＝ COD， 360?? ＝ 3???． ? ? ∴?∠?COD＝?1?×180°＝60°， 3 ∵?CD∥?AB， ∴ ACD ∴?圖中陰影部分的面積＝S  扇形COD＝  60p?′?22??2p 能力提升 8．D． 9．A． 10．（1）證明：連接?OA，則∠?COA＝2∠?B，

23、 12 ＝ OA?AD＝??1 ∴ 2??×2×2???3?＝2???3?， 2 ∵?AD＝AB， ∴?∠?B＝∠?D＝30°， ∴?∠?COA＝60°， ∴?∠?OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴?OA⊥AD， 即?CD?是⊙O?的切線； （2）解：∵?BC＝4， ∴?OA＝OC＝2， 在?Rt△?OAD?中，OA＝2，∠?D＝30°， ∴?OD＝2OA＝4，AD＝2?3?， 1 OAD ∵∠?COA＝60°，

24、 360?? ＝ 3??π， ∴?S 扇形?COA＝ 60p?′?22??2 3??π． ∴?S  陰影 ＝?OAD﹣S 扇形?COA＝2?3?﹣ 2 11．解：（1）連接?OC， ∵?AB?是⊙O?的直徑， ∴?∠?ACB＝90°， 13 ∴?∠?CAD+∠?ABC＝90°， ∵?CE＝CB， ∴?∠?CAE＝∠?CAB， ∵?∠?BCD＝∠?CAE， ∴?∠?C

25、AB＝∠?BCD， ∵?OB＝OC， ∴?∠?OBC＝∠?OCB， ∴?∠?OCB+∠?BCD＝90°， ∴?∠?OCD＝90°， ∴?CD?是⊙O?的切線； （2）∵?∠?BAC＝∠?CAE，∠?ACB＝∠?ACF＝90°，AC＝AC， ∴?△?ABC≌?△?AFC（ASA）， ∴?CB＝CF， 又∵?CB＝CE， ∴?CE＝CF； （3）∵?∠?BCD＝∠?CAD，∠?ADC＝∠?CDB， ∴?△?CBD∽?△?DCA， ∴?CD?=?AD?=?AC?， BD CD BC 1???= 2??，

26、 ∴ 2 AD 3???， ∴?DA＝2， ∴?AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1， 設(shè)?BC＝a，AC＝ 2?a，由勾股定理可得： a2?+?(?2a)2?=?12?， 解得：a＝ 3 ∴?AC= 6?． 3 14 15