單調(diào)性與最大(小)值 習(xí)題(含答案)

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1、單調(diào)性與最大（?。┲?習(xí)題（含答案） 一、單選題 1．下列函數(shù)中，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是(　　) A． y=1-x B． y=x-1 C． y=x-2 D． y=x2+1 2．設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)x∈R的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf'x-fx<0則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　) A． (-∞,-1)∪(0,1) B． (0,1) C． (-1,0)∪(1,+∞) D． (-∞,-1) 3．關(guān)于函數(shù)y=ln(9x2+1-3x)有如下命題： ①f(a)>f(b)?a

2、點(diǎn)中心對(duì)稱； ③函數(shù)是定義域與值域相同； ④函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 4．已知函數(shù)y=fx是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R都有fx+6=fx+f3，當(dāng)x1,x2∈0,3，且x1≠x2時(shí)，fx1-fx2x1-x2>0，給出如下命題： ①f3=0； ②直線x=-6是函數(shù)y=fx的圖象的一條對(duì)稱軸； ③函數(shù)y=fx在-9,-6上為增函數(shù)； ④函數(shù)y=fx在-9,9上有四個(gè)零點(diǎn). 其中所有正確命題的序號(hào)為（ ） A． ①② B． ②④ C． ①②③ D． ①②

3、④ 5．函數(shù)fx=x2+lnx的圖象大致為（ ） A． B． C． D． 6．設(shè)函數(shù)fx=2x?，??x≥0x?，??x<0，則滿足fx+10 的解集是( ) A． (-3，-1) B． (-1，1)∪(1，3) C． (-3，0)∪(3，+∞) D． (-3，1)∪(2，+∞) 8．下列函數(shù)

4、既是增函數(shù)，圖象又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是( ) A． y=x|x| B． y=ex C． y=-1x D． y=log2x 9．已知函數(shù)fx=2a-1x+a,x≥2logax-1,1

5、上的零點(diǎn)有__________個(gè). 12．若f(x)+3f(1x)=x+3x-2log2x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，且存在x0∈2,4，使得f(x0)>m成立，則m的取值范圍為_(kāi)_________． 13．已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2sinx，則不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集為_(kāi)________. 14．已知函數(shù)f(x)=-2x2+mx+3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值為4，則m的值為_(kāi)_______________． 15．已知函數(shù)f(x)=-12x2-cosx，則不等式f(x+1)-f(1-3x)≥0的解集為_(kāi)_________． 三、解答題 16．已

6、知函數(shù)f(x)=logax+log4x(0＜a≠1)為增函數(shù)． （1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）當(dāng)a＝4時(shí)，是否存在正實(shí)數(shù)m，n(m＜n)，使得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇m2，n2]？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 17．已知函數(shù)fx=lnxx-1. （Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若a≤1，證明：f(x)>a(x+1)ex（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828?）． 18．已知函數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3) (I)若f(1)=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (II)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a

7、的值；若不存在，說(shuō)明理由． 19．已知函數(shù)fx=x2-2a+1x+2axlnx+2a+1a∈R. （1）a=-2時(shí)，求fx在0,2上的單調(diào)區(qū)間； （2）?x>0且x≠1， 2axlnxx-1>2a+1-x均恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 20．已知函數(shù)f(x)=(ax+1)lnx-x2+1． （1）令g(x)=f'(x)，判斷g(x)的單調(diào)性； （2）當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)<0，求a的取值范圍． 試卷第3頁(yè)，總3頁(yè) 參考答案 1．D 【解析】 【分析】 對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論． 【詳解】 根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)： 對(duì)于A，函數(shù)y=

8、1-x=-x+1為一次函數(shù)，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意． 對(duì)于B，函數(shù)y=x-1為反比例函數(shù)，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意． 對(duì)于C，函數(shù)y=x-2為冪函數(shù)，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意． 對(duì)于D，函數(shù)y=x2+1為二次函數(shù)，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意． 故選D． 【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是熟記一些常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 2．A 【解析】 【分析】 構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x，利用g(x)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性與奇偶性，再畫(huà)出函數(shù)g(x)的大致圖象，結(jié)合圖形求出不等式f(x)>0的解集． 【詳解】 解：

9、設(shè)g(x)=f(x)x，則g(x)的導(dǎo)數(shù)為： g'(x)=xf'(x)-f(x)x2， ∵當(dāng)x>0時(shí)總有xf'(x)0時(shí)，g'(x)恒小于0， ∴當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)x為減函數(shù)， 又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x)， ∴函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)， 又∵g(-1)=f(-1)-1=0， ∴函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示： 數(shù)形結(jié)合可得，不等式f(x)>0等價(jià)于x?g(x)>0， 即g(x)>0x>0或g(x)<0x<0， 解得00成立的x的取值范圍是(-∞

10、,-1)∪(0,1)． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)法，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解不等式.在解題過(guò)程中，首先根據(jù)題意構(gòu)造出與題目本身相對(duì)應(yīng)的函數(shù).如本題中的函數(shù)gx，在不同的題目中，構(gòu)造的函數(shù)是不相同的.構(gòu)造函數(shù)之后，利用導(dǎo)數(shù)，研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合所求不等式來(lái)解. 3．A 【解析】 【分析】 研究函數(shù)y=ln(9x2+1-3x)的奇偶性、單調(diào)性、圖形即可做出判定 【詳解】 函數(shù)y=ln(9x2+1-3x) ∵9x2+1-3x>0恒成立 故定義域?yàn)镽，則值域?yàn)镽，故③正確 f-x= ln(9x2+1+3x)， f-x+fx= ln9x2+1+3x+l

11、n9x2+1-3x=ln1=0， ∴f-x=-fx，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故②正確 9x2+1-3x=9x2+1-3x1=19x2+1+3x， 可知19x2+1+3x單調(diào)遞減 ∴y=ln(9x2+1-3x)單調(diào)遞減 故f(a)>f(b)?a

12、、周期性和單調(diào)性，然后逐一進(jìn)行判定 【詳解】 ①令x=3，則由fx+6=fx+f3，函數(shù)y=fx是定義在R上的偶函數(shù)， 可得：f3=f-3+f3=2f3，故f3=0，故①正確 ②由f3=0可得：fx+6=fx，故函數(shù)fx是周期等于6的周期函數(shù) ∵fx是偶函數(shù)，y軸是對(duì)稱軸，故直線x=-6是函數(shù)y=fx的圖象的一條對(duì)稱軸，故②正確 ③∵當(dāng)x1,x2∈0,3，且x1≠x2時(shí)，fx1-fx2x1-x2>0， 故fx在0，3上為增函數(shù) ∵fx是偶函數(shù)，故fx在-3，0上為減函數(shù) ∵函數(shù)fx是周期等于6的周期函數(shù) 故fx在-9，-6上為減函數(shù)，故③錯(cuò)誤 ④∵函數(shù)fx是周期等于6的周

13、期函數(shù) ∴f-9=f-3=f3=f9=0， 故函數(shù)y=fx在-9,9上有四個(gè)零點(diǎn)，故④正確 綜上所述，則正確命題的序號(hào)為①②④ 故選D 【點(diǎn)睛】 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、周期性以及單調(diào)性，在求解過(guò)程中熟練運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行解題，注意零點(diǎn)問(wèn)題的求解。 5．A 【解析】 【分析】 利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，再利用單調(diào)性（或特殊點(diǎn)）判斷即可． 【詳解】 函數(shù)fx=x2+lnx是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B，C； 當(dāng)x＞0時(shí)，fx=x2+lnx，f'x=2x+1x＞0 ∴fx在0，+∞上單調(diào)遞增，排除D 故選：A 【點(diǎn)睛】 函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域

14、，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象. 6．B 【解析】 【分析】 由分段函數(shù)的解析式以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得fx在R上單調(diào)遞増，原不等式等價(jià)于x+1<2x ,解不等式即可得到所求解集. 【詳解】 函數(shù)fx=2x,x≥0x,x<0, 可得fx在R上單調(diào)遞増， fx-1

15、泛，是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容．歸納起來(lái)，常見(jiàn)的命題探究角度有：（1）求函數(shù)的值域或最值；（2）比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大??；（3）解函數(shù)不等式；（4）求參數(shù)的取值范圍或值． 7．B 【解析】 【分析】 先根據(jù)函數(shù)f(x)的奇偶性以及函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性，判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性，再把不等式(x-1)f(x-1)>0變形為兩個(gè)不等式組，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分情況解兩個(gè)不等式組，所得解集求并集后即可得到結(jié)論． 【詳解】 ∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在(?∞,0)上單調(diào)遞減， ∴f(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞減， ∴不等式(x?1)f(x?1)>0可變形為x-

16、1>0f(x-1)>0①或x-1<0f(x-1)<0②， 又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(2)=0， ∴f(?2)=?f(2)=0， ∴不等式組①即為x-1>0f(x-1)>f(2)，所以x-1>0x-1<2，解得1-2，解得?1

17、 8．A 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)增減性與奇偶性進(jìn)行判斷選擇. 【詳解】 y=x|x|=x2,x≥0-x2,x<0是R上增函數(shù)，為奇函數(shù)，圖象又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， y=ex是R上增函數(shù)，無(wú)奇偶性, y=-1x在(-∞,0)和(0,+∞)上增函數(shù)，為奇函數(shù)，圖象又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， y=log2x在(0,+∞)上為增函數(shù)，無(wú)奇偶性, 選A. 【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)增減性與奇偶性,考查基本分析判斷能力,屬基礎(chǔ)題. 9．C 【解析】 【分析】 根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列不等式,解得結(jié)果. 【詳解】 又題意得2a-1<00

18、C. 【點(diǎn)睛】 本題考查分段函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題. 10．D 【解析】 【分析】 二次函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)，其對(duì)稱軸為1或是在1的左側(cè). 【詳解】 已知y=x2-2(a-1)x+5在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)， 則函數(shù)對(duì)稱軸x=a-1≤1 ，解得a≤2 ； 故選D 【點(diǎn)睛】 本題考查利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的范圍，是基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)集合間的關(guān)系求解參數(shù)的范圍. 11．5 【解析】 【分析】 令g(x)=x3-3x2+1,可得在0,2上遞減，在2，3上遞增，g(0)=1,g(2)=

19、-3,g(3)=1g12=38，令h(x)=x3-3x2+1-(13)x，其中x∈0,12 ,可得h'(x)在0,12 上遞減，且h'(0)=ln3>0,h'(12)=-3+34+13ln3<0，因?yàn)閔(0)=0，h(12)=38-33<0,h(x)在0,12上有兩個(gè)零點(diǎn),而g(x)在12,?3 上的圖象與函數(shù)y=(13)x 的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，從而可得結(jié)果. 【詳解】 由1-3x?x3-3x2+1=0 得，x3-3x2+1=3-x. 令g(x)=x3-3x2+1,則g'(x)=3x2-6x=0，x1=0,x2=2 .g(x) 在0,2 上單減， 在2，3 上單增.g(0)=1,g(2)

20、=-3,g(3)=1 g(12)=38. 令h(x)=x3-3x2+1-(13)x，其中x∈0,12 , 則h'(x)=3x2-6x+(13)xln3，h''(x)=6x-6-(13)x(ln3)2<0. h'(x)在0,12 上單減，且h'(0)=ln3>0,h'(12)=-3+34+13ln3<0，所以存在唯一的x0∈(0,12)，使得h'(x0)=0 ,因此函數(shù)h'(x)在0,?x0 上單增，在x0,12上單減,又因?yàn)閔(0)=0，h(12)=38-33<0,所以h(x)在0,12上有兩個(gè)零點(diǎn),而g(x)在12,?3 上的圖象與函數(shù)y=(13)x 的圖象有3個(gè)交點(diǎn). 函數(shù)fx=

21、1-3xx3-3x2+1在0,3上的零點(diǎn)有5個(gè)，故正確答案是5. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題. 函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)-g(x)在x軸的交點(diǎn)?方程f(x)-g(x)=0的根?函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn). 12．(-∞,6) 【解析】 【分析】 利用方程思想得到f(x)=x+log2x，利用單調(diào)性明確函數(shù)f(x)的最大值即可. 【詳解】 f

22、(x)+3f(1x)=x+3x-2log2x， 以1x代入x得f(1x)+3f(x)=1x+3x+2log2x， 消去f(1x)得f(x)=x+log2x， 若x∈2,4，則f(x)單調(diào)遞增，f(x)max=f(4)=6， 則m<6. 故答案為：(-∞,6) 【點(diǎn)睛】 本題考查了方程思想求函數(shù)的解析式，考查了不等式能成立問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題. 13．-1,12 【解析】 【分析】 先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式. 【詳解】 由題得f(-x)=e-x-ex-2sin(-x)=e-x-ex

23、+2sinx=-f(x), 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 設(shè)x＞0，則f'(x)=ex+e-x-2cosx,∵x>0,∴ex+e-x>2ex?e-x=2， 所以f'(x)>0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)， 所以f2x2-1≤-fx=f(-x), 所以2x2-1≤-x,∴-1≤x≤12. 故答案為：-1,12 【點(diǎn)睛】 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判定，考查函數(shù)的單調(diào)性的判定，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力. 14．22

24、 【解析】 【分析】 配方，fx=-2x2+mx+3=-2x-m42+m28+3 分析對(duì)稱軸x=m4與區(qū)間[0,1]的關(guān)系，求最大值，列方程求解． 【詳解】 fx=-2x2+mx+3=-2x-m42+m28+3 0≤m≤4,∴0≤m4≤1,∴當(dāng)x=m4時(shí)，f(x)取得最大值， ∴m28+3=4,解得，m=22． 【點(diǎn)睛】 本題考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題，常常討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系． 15．(-∞,0]∪[1,+∞) 【解析】 求導(dǎo)可得f'(x)=-x+sinx,f''(x)=-1+cosx≤0，所以f'(x)在R上單調(diào)遞減，且f'(0)=0，所以當(dāng)x<0,f'(

25、x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0。所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。f(x+1)-f(1-3x)≥0變形為f(x+1)≥f(1-3x)，只需|x+1|≤|1-3x|，解得(-∞,0]∪[1,+∞)，填(-∞,0]∪1,+∞。 【點(diǎn)睛】解復(fù)雜函數(shù)型不等式，可以先考慮函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性等，可以利用函數(shù)性質(zhì)解不等式。 16．：（1）14≤a<1或a>1（2）存在滿足條件的m，n，且m=2,n=4. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)題意得到f'(x)=1xlna+1xln4=1xln4a≥0恒成立，4a≥0又a≠1，進(jìn)而得

26、到參數(shù)值;(2)根據(jù)題意得到函數(shù)表達(dá)式為fx=2log4x，fx在m,n上單調(diào)遞增,∴2log4m=m22log4m=m2，進(jìn)而得到m、n是方程2log4x=x2的兩個(gè)根，求出m,n的值. 【詳解】 （1）由f'(x)=1xlna+1xln4=1xln4a≥0得：4a≥0又a≠1，所以 14≤a<1或a>1 （2）當(dāng)a=4時(shí)，fx=2log4x,∵fx在m,n上單調(diào)遞增,∴2log4m=m22log4m=m2 ∴m、n是方程2log4x=x2的兩個(gè)根.解得：m=2,n=4 ∴存在滿足條件的m，n，且m=2,n=4. 【點(diǎn)睛】 這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，判斷函數(shù)的單

27、調(diào)性常用的方法是：求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)函數(shù)為正的區(qū)間是增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間是減區(qū)間. 17．(1) f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上也單調(diào)遞減；(2)見(jiàn)解析. 【解析】 【分析】 （1）求導(dǎo)后分析導(dǎo)數(shù)的分子的正負(fù)，構(gòu)造u(x)=1-1x-lnx，利用導(dǎo)數(shù)可分析u(x)的正負(fù)，即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間（2）因a≤1故a(x+1)ex≤(x+1)ex，因此只需證明lnxx-1>x+1ex,x∈(0,1)∪(1,+∞)，先證明x∈(1,+∞)時(shí)的情況，構(gòu)造g(x)=lnx-x2-1ex可證明g(x)>g(1)=0，再證明x∈(0,1)時(shí)的情況,證明ln

28、xx-1>1>x+1ex即可. 【詳解】 （1）定義域x∈(0,1)∪(1,+∞)，f'(x)=1-1x-lnx(x-1)2 令u(x)=1-1x-lnx，則u'(x)=1-xx2，所以u(píng)(x)在(0,1]↑,[1,+∞)↓， 故x∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí)，u(x)x+1ex,x∈(0,1)∪(1,+∞)（記為） ①先證明x∈(1,+∞)時(shí)的情況： 此時(shí)??lnx-x2-1ex>0，令g(x)=

29、lnx-x2-1ex,g'(x)=ex+x3-2x2-xxex令h(x)=ex+x3-2x2-x,h'(x)=ex+3x2-4x-1,h″(x)=ex+6x-4>0(∵x>1)， 故h'(x)在(1,+∞)↑，故h'(x)>h'(1)=e-2>0?h(x)在(1,+∞)↑，于是h(x)>h(1)=e-2>0 ?g'(x)>0?g(x)在(1,+∞)↑， 因此，x∈(1,+∞)時(shí)g(x)>g(1)=0，即lnx-x2-1ex>0 ②下面證明x∈(0,1)時(shí)的情況： 令g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1>0，故g(x)在[0,1)↑， 于是x∈(0,1)時(shí)g(x)>g(0)=0

30、?x+1ex<1，令h(x)=lnx-x+1,h'=1-xx>0，故h(x)在(0,1]↑故x∈(0,1)時(shí)，h(x)1>x+1ex，證畢； 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.解決不等式的證明問(wèn)題，主要是構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求其最值，分析函數(shù)的正負(fù)，得到所研究的不等式. 18．（I）單調(diào)增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)；（II）存在實(shí)數(shù)a=12，使f(x)的最小值為0. 【解析】 【分析】 (I)根據(jù)f(1)=1代入函數(shù)表達(dá)式，解出a=-1，再代入原函數(shù)得f

31、(x)=log4(-x2+2x+3)，求出函數(shù)的定義域后，討論真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，再結(jié)合二次函數(shù)t=ax2+2x+3的性質(zhì)，可列出式子：a>0f(-1a)?=0，由此解出a=12，從而得到存在a的值，使f(x)的最小值為0． 【詳解】 (I)∵f(x)=log4(ax2+2x+3)且f(1)=1， ∴l(xiāng)og4(a?12+2×1+3)=1?a+5=4?a=-1 可得函數(shù)f(x)=log4(-x2+2x+3)

32、 ∵真數(shù)為-x2+2x+3>0?-11 ∴函數(shù)f(x)=log4(-x2+2x+3)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3) (II)設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0， 由于底數(shù)為4>1，可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立， 且真數(shù)t的最小值恰好是1， 即a為正數(shù)，且當(dāng)x=-22a=-1a時(shí)，t值為1． ∴a>0a(?-1a)2+2(-1a)+3?=1??a>0-1a+2

33、?=0?a=12 因此存在實(shí)數(shù)a=12，使f(x)的最小值為0． 【點(diǎn)睛】 本題借助于一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)，求單調(diào)性與最值的問(wèn)題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題． 19．（1）fx的單調(diào)增區(qū)間是0，1，單調(diào)減區(qū)間是1,2；（2）a∈-1. 【解析】 【分析】 （1）求出f'x，令f'x>0在0，2內(nèi)求得x的范圍，可得函數(shù)fx增區(qū)間，令f'x<0在0，2內(nèi)求得x的范圍，可得函數(shù)fx的減區(qū)間；（2）x>1時(shí)，2axlnx>2a+1-xx-1,即2alnx>-x+2a+2-2a+1x；0

34、2a+2-2a+1x, 設(shè)gx=2alnx+x-2a-2+2a+1xx>0,分兩種情況研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出gx的最值，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【詳解】 （1）a=-2時(shí)，f'x=2x-1-2lnx，設(shè)hx=f'x， 當(dāng)x∈0,2時(shí)，h'x=2x-2x<0，則hx在0，2上是單調(diào)遞減函數(shù)， 即則f'x在0，2上是單調(diào)遞減函數(shù)， ∵f'1=0∴10 ∴在0，2上fx的單調(diào)增區(qū)間是0，1，單調(diào)減區(qū)間是1,2； (2) x>1時(shí)，2axlnx>2a+1-xx-1,即2alnx>-x+2a+2-2a+1x， 0

35、nx<2a+1-xx-1,即2alnx<-x+2a+2-2a+1x 設(shè)gx=2alnx+x-2a-2+2a+1xx>0 則g'x=1+2ax-2a+1x2-x-1x+2a+1x2 a=-1時(shí)，-2a+1=1，∵g'x=x-12x2≥0，∴gx在0,+∞上單調(diào)遞增 ∴x>1時(shí)，gx>g1=0；01，11時(shí)， gx>0矛盾；舍 a>-1時(shí)，設(shè)M為-2a+1和0中的最大值，當(dāng)M

36、0， ∴gx在M，1上單調(diào)遞減，∴當(dāng)Mg1=0，與0

37、計(jì)綜合題. 20．（1）見(jiàn)解析；（2）(-∞,1] 【解析】 【分析】 （1）求出f'x，分兩種情況討論a的范圍，在定義域內(nèi)，分別令f'x>0求得x的范圍，可得函數(shù)fx增區(qū)間，f'x<0求得x的范圍，可得函數(shù)fx的減區(qū)間；（2）討論a的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)是否有最大值，當(dāng)函數(shù)f(x)=(ax+1)lnx-x2+1有最大值時(shí)，令其最大值小于零即可求得a的范圍. 【詳解】 （1）由f(x)=(ax+1)lnx-x2+1，則g(x)=f'(x)=alnx+1x-2x+a， 所以g'(x)=-2x2+ax-1x2（x＞0）． ①當(dāng)a≤0時(shí)，g'

38、(x)<0，g(x)為(0,+∞)的減函數(shù)； ②當(dāng)a＞0時(shí)， 若a2-8≤0，即00，即a>22時(shí)，由g'(x)=0有兩根x1=a-a2-84>0，x2=a+a2-84>0，得 在x∈(0,x1)上g'(x)<0，g(x)為減函數(shù)；在x∈(x1,x2)上g'(x)>0，g(x)為增函數(shù)； 在x∈(x2,+∞)上g'(x)<0，g(x)為減函數(shù)． 綜上：當(dāng)a≤22時(shí)，g(x)為(0,+∞)的減函數(shù)； 當(dāng)a>22時(shí)，在x∈(0,x1)上g'(x)<0，g(x)為減函數(shù)；在x∈(x1,x2)上g'(x)>0，

39、g(x)為增函數(shù)；在x∈(x2,+∞)上g'(x)<0，g(x)為減函數(shù)． （2）由（1）知，對(duì)a討論如下， ①當(dāng)a≤0時(shí)，g'(x)<0，則f'(x)為（1，＋∞）上的減函數(shù)， 則f'(x)

40、x)0，即a＞1，則由（1）知， 當(dāng)10，于是f(x)為(1,x0)的增函數(shù)， 因?yàn)閒(1)=(a+1)ln1-12+1=0， 所以f(x)>f(1)=0，即1＜a≤22時(shí)不滿足題意． 當(dāng)a>22時(shí)，由于x1<1，所以對(duì)x2與1的大小關(guān)系討論如下， 1)如果x2≤1，即22

41、'(ea)=-2ea+a+a2+1ea<0， 則存在x0∈(1,ea)，使得在x∈(1,x0)時(shí)，f'(x)>0，于是f(x)為(1,x0)的增函數(shù)， 又f(1)=0，則f(x)>f(1)=0，即221，即a>3，那么由（1）知，f'(x)為（1，x2）上的增函數(shù)， 則當(dāng)x∈(1,x2)時(shí)，f'(x)>0，于是f(x)為(1,x2)的增函數(shù)， 又f(1)=0，則f(x)>f(1)=0，即a>3時(shí)不滿足題意． 綜上所述，a的取值范圍為(-∞,1]． 【點(diǎn)睛】 本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于較難題，近來(lái)高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題. 答案第15頁(yè)，總15頁(yè)