2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題18二次函數(shù)函數(shù)綜合題含解析

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1、專題18 二次函數(shù)綜合題 考點(diǎn)分析 【例1】（2019·遼寧中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)E． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 （2）是否存在點(diǎn)D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）如圖2，F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．連接DF，F(xiàn)G，當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)． 【答案】（1）y

2、＝﹣x2+x+3；（2）存在．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3）或（，）；（3）G（，）． 【解析】 解：（1）在中，令，得，令，得， ，， 將，分別代入拋物線中，得：，解得：， 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：． （2）存在．如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，，； ，，，， 和相似， 或 ①當(dāng)時(shí)，， ，即： ，解得：（舍去），（舍去），， ， ②當(dāng)時(shí)， ， ，即： ，解得：（舍，（舍，， ，； 綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，； （3）如圖3，四邊形是平行四邊形 ， 設(shè)，，，， 則：，， ，即：， ，即： 過(guò)點(diǎn)作于，則 ，即： ，即： 周長(zhǎng) ， 當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最大

3、值， ，． 【點(diǎn)睛】 此題考查二次函數(shù)綜合題，綜合難度較大，解答關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖形進(jìn)行計(jì)算，再利用待定系數(shù)法求解析式，配合輔助線利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答. 【例2】（2019·山東中考模擬）如圖，已知直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，4），與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是． (1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)． (2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． (3）過(guò)線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長(zhǎng)度最大？最大值是

4、多少？ 【答案】（1）直線y=x+4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN+3PM的長(zhǎng)度的最大值是18． 【解析】 （1）∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2， ,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1）， 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b， 將（0，4），（-2，1）代入得 解得 ∴y＝x＋4 ∵直線與拋物線相交， 解得：x=-2或x=8， 當(dāng)x=8時(shí)，y=16， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）； （2）存在． ∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325 .設(shè)點(diǎn)C(

5、m，0)， 同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320， ①若∠BAC＝90°，則AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－； ②若∠ACB＝90°，則AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，則AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　 （3）設(shè)M(a，a2)， 則MN＝， 又∵點(diǎn)

6、P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同， ∴x＋4＝a2， ∴x= ， ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為， ∴MP＝a－， ∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18， ∵－2≤6≤8， ∴當(dāng)a＝6時(shí)，取最大值18， ∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN＋3PM的長(zhǎng)度的最大值是18 考點(diǎn)集訓(xùn) 1．（2019·湖南中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，． (1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)過(guò)點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形； (3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (4)若點(diǎn)Q為線段O

7、C上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)點(diǎn)；(4)存在，的最小值為． 【解析】 (1)函數(shù)的表達(dá)式為：， 即：，解得：， 故拋物線的表達(dá)式為：， 則頂點(diǎn)； (2)，， ∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1， ∴AB=2， ∴， 又∵D(2，-1)， ∴AD=BD=， ∴AM=MB=AD=BD， ∴四邊形ADBM為菱形， 又∵， 菱形ADBM為正方形； (3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n， 將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：， 解得：，

8、 所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3， 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N， 設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N， 則， ，故有最大值，此時(shí)， 故點(diǎn)； (4)存在，理由： 如圖，過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q， 此時(shí)， 則最小值， 在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=， ∴OF=， ∴F(-，0)， 利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①， ∵∠COF=90°，∠FOC=30°， ∴∠CFO=90°-30°=60°， ∵∠AHF=90°， ∴∠FAH=90°-60°=30°， ∴OQ

9、=AO?tan∠FAQ=， ∴Q(0,)， 利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②， 聯(lián)立①②并解得：， 故點(diǎn)，而點(diǎn)， 則， 即的最小值為． 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應(yīng)用，正方形的判定，最值問(wèn)題等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識(shí)，會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵. 2．（2019·遼寧中考模擬）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.

10、（1）求拋物線的解析式； （2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； （3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 （1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D， 由對(duì)稱性得：D（3，0）， 設(shè)拋

11、物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3； （2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式為：y=x， 過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG?AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m，

12、=（m-）2+， ∵-＜0， ∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是； （3）如圖3，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 則-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）； 如圖4，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 則-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐標(biāo)為（，）或（，）； 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）． 點(diǎn)睛：本題屬于二次函

13、數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問(wèn)題． 3．（2019·四川中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線都經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C． （1）求此拋物線和直線的解析式； （2）設(shè)直線與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，在射線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求面積的最大值．

14、 【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或．（3）當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為． 【解析】 解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)， ∴， ∴， ∴拋物線的解析式為， ∵直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)， ∴，解得：， ∴直線的解析式為， （2）∵， ∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為， ∵軸， ∴， ∴， ①如圖，若點(diǎn)M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則， 設(shè)，則， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ②如圖，若點(diǎn)M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則， 設(shè)，則， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為或． （3）如圖，作

15、軸交直線于點(diǎn)G， 設(shè)，則， ∴， ∴， ∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為． 【點(diǎn)睛】 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值問(wèn)題，以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關(guān)的問(wèn)題． 4．（2019·內(nèi)蒙古中考真題）已知，如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式和直線的解析式． （2）在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分（不包含兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

16、 【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由見(jiàn)解析；點(diǎn)或或或． 【解析】 解：（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：， 故拋物線的表達(dá)式為：…①， 則點(diǎn)， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得： 直線的表達(dá)式為：； （2）存在，理由： 二次函數(shù)對(duì)稱軸為：，則點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)， ∵， 則， 解得：或5（舍去5）， 故點(diǎn)； （3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，， ①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)， 點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到， 同理，點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位為，即為點(diǎn)， 即：，，而， 解得

17、：或﹣4， 故點(diǎn)或； ②當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)， 由中點(diǎn)公式得：，，而， 解得：， 故點(diǎn)或； 綜上，點(diǎn)或或或． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏． 5．（2019·青海中考真題）如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn),,． （1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸； （2）是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）； （3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理

18、由.（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索） 【答案】（1），函數(shù)的對(duì)稱軸為：；（2）點(diǎn)；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【解析】 解：根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：， ∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 則，解得：， 拋物線的表達(dá)式為： ， 函數(shù)的對(duì)稱軸為：； 連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值為最小， 設(shè)BC的解析式為：， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得： 解得： 直線的表達(dá)式為：， 當(dāng)時(shí)，， 故點(diǎn)； 存在，理由： 四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四邊形， 則 ， 點(diǎn)在第四象限，故：則， 將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得： ， 解得：或， 故點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 【點(diǎn)睛】 本題考查二次函數(shù)綜

19、合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中，求線段和的最小值，采取用的是點(diǎn)的對(duì)稱性求解，這也是此類題目的一般解法． 6．（2019·遼寧中考模擬）如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G． （1）求拋物線的解析式； （2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)； （3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得

20、以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形． 【解析】 解：（1）∵拋物線（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4）， ∴，解得． ∴拋物線的解析式為． （2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b， ∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4）， ∴，解得． ∴直線AC的解析式為． ∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上， ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）． ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

21、m，點(diǎn)P在拋物線上， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）． ∴PM=PE－ME=（）－（）=． ∴PM=（0＜m＜3）． （3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似．理由如下： 由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==， 若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況： ①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（）， ∵m≠0且m≠3，∴m=． ∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠

22、CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°． ∴△PCM為直角三角形． ②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM． ∴△PCM為等腰三角形． 綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形． 7．（2019·貴州中考真題）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，它們相交于O，C

23、兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB． （1）求拋物線C2的解析式； （2）在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由； （3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MO，MC，M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MOC面積最大？并求出最大面積． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段AC′的長(zhǎng)度；（3）S△MOC最大值為． 【解析】 （1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點(diǎn)B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反，則a＝﹣1， 則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2

24、的表達(dá)式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4， 故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x； （2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x＝0或3， 故點(diǎn)C（3，3）， 作點(diǎn)C關(guān)于C1對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（﹣1，3）， 連接AC′交函數(shù)C2的對(duì)稱軸與點(diǎn)P， 此時(shí)PA+PC的值最小為：線段AC′的長(zhǎng)度； （3）直線OC的表達(dá)式為：y＝x， 過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H， 設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+4x），則點(diǎn)H（x，x）， 則S△MOCMH×xC（﹣x2+4x﹣x）x2， ∵0，故x， S△MOC最大值為． 【點(diǎn)睛】 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要

25、注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)． 8．（2019·山東中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、，且過(guò)點(diǎn). （1）求二次函數(shù)表達(dá)式； （2）若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且,求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）在拋物線上（下方）是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)到軸的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（l） ；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)到軸的距離為 . 【解析】 （l）因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，∴， 又因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)， ∴ 解，得 所以，拋物線表達(dá)式為 （2）連接，設(shè)點(diǎn). 則 由題意得 ∴或（舍） ∴ ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

26、 （3）設(shè)直線的表達(dá)式為，因直線過(guò)點(diǎn)、 ， ∴ 解，得 所以的表達(dá)式為 設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，作軸交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，，. 又軸 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴. 在中 解得： 所以點(diǎn)到軸的距離為 【點(diǎn)睛】 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問(wèn)題，難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識(shí)點(diǎn),應(yīng)當(dāng)熟練地掌握. 9．（2019·江蘇中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值； （3）拋物線對(duì)稱

27、軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，. 【解析】 （1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得：， 所以二次函數(shù)的解析式為：y=； （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=， 過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖， 設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，）， ∴DF=﹣（）=， ∴S△ADE=S△ADF+S

28、△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（） =， ∴當(dāng)m=時(shí)，△ADE的面積取得最大值為． （3）y=的對(duì)稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論： 當(dāng)PA=PE時(shí)，=，解得：n=1，此時(shí)P（﹣1，1）； 當(dāng)PA=AE時(shí)，=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）； 當(dāng)PE=AE時(shí)，=，解得：n=﹣2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2

29、）． 點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，會(huì)求拋物線解析式，會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會(huì)分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問(wèn)題時(shí)解決此題的關(guān)鍵． 10．（2019·四川中考真題）如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B在該圖象上，交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接、． （1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式． （2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題： ①連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)． ②求證：． 【答案】（1）二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為；②見(jiàn)解析 【解析】 解：（1）∵二次函數(shù)頂

30、點(diǎn)為 ∴設(shè)頂點(diǎn)式 ∵二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn) ∴，解得： ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為 （2）設(shè) ∴直線解析式為： ∵交對(duì)稱軸l于點(diǎn)M ∴當(dāng)時(shí)， ∴ ∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱 ∴， ∴，即 ①∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴， ∴，，B ∴， ∴是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為． ②證明：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D ∵、 設(shè)直線解析式為 ∴ 解得： ∴直線： 當(dāng)時(shí)，，解得： ∴ ∵，軸 ∴垂直平分 ∴ ∴ 【點(diǎn)睛】 本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，再由題意得到等式進(jìn)行計(jì)算. 11．（2019·山西中考真題）綜合與探究

31、 如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC， (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求的值； (3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)；(2)3；(3). 【解析】 (1)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)， ∴， 解得， ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為； (2)作直線

32、DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2， 由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6， ∴S△OAC=， ∵S△BCD=S△AOC， ∴S△BCD =， 設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為， 由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得， ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為， ∴， ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4， ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=， ∴S△BCD =， ∴， 解得(舍)，， ∴的值為3； (3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖， 以BD為邊時(shí)，有3種情況

33、， ∵D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±， 當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N2， 此時(shí)，解得：(舍)， ∴，∴； 當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N3，N4， 此時(shí)，解得： ∴，， ∴，； 以BD為對(duì)角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合， ∵，D(3，)， ∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)， 綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 1

34、2．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為． （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的最小值； （3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、． 【解析】 解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入， ， ∴B的坐標(biāo)為， 將，代入， 解得，， ∴拋物線的解析式； （2）設(shè)，則， ， ∴當(dāng)時(shí)，有最大值為2， 此時(shí)，

35、 作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P． ，此時(shí)最小， ∵， ∴， ， 即的最小值為； （3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、， ∵拋物線的解析式， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 可知外接圓的圓心為H， ∴ 設(shè)， 則， 或 ∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、． 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵． 13．（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面

36、積的最大值． (3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)點(diǎn)或． 【解析】 解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：， 故拋物線的表達(dá)式為：…①； (2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)， 將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得： 直線PD的表達(dá)式為：，則， ， ∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為； (3)∵，∴， ∵，故與相似時(shí)，分為兩種情況： ①當(dāng)時(shí)， ，，， 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H， ，解得：， 則，則， 則直線OQ的表達(dá)式為：…②

37、， 聯(lián)立①②并解得：(舍去負(fù)值)， 故點(diǎn) ②時(shí)， ， 則直線OQ的表達(dá)式為：…③， 聯(lián)立①③并解得：， 故點(diǎn)； 綜上，點(diǎn)或． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏． 14．（2019·山東中考模擬）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？ （3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P做PE∥x軸交

38、拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；（3）點(diǎn)P（4，6）． 【解析】 （1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2）， 將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣， 所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6； （2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G， 設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

39、將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得： ， 解得：， 則直線AB解析式為y=﹣x+6， 設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6， 則N（t，﹣t+6）， ∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM） =PN?OB =×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+， ∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值； （3）△PDE為等腰直角三角形， 則PE=PD， 點(diǎn)P（m，-m2+2m+6）， 函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：4-m， 則PE=|2m-4|， 即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+） 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，6）或（5-，3-5）． 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.