人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題五 與平行四邊形的判定有關(guān)的證明

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題五 與平行四邊形的判定有關(guān)的證明 1. 如圖，平行四邊形 ABCD 的對角線 AC，BD 相交于點 O，E，F(xiàn) 是 AC 上的兩點，并且 AE=CF．求證：四邊形 BFDE 是平行四邊形． 2. 如圖，在平行四邊形 ABCD 的對角線 BD 上取兩點 E，G，使 BE=DG．在對角線 AC 的延長線上取兩點 F，H，使 AH=CF．求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形． 3. 已知：如圖，A，B，C，D 在同一直線上，且 AB=CD，AE=DF，AE∥DF．求證：四邊形 EBFC 是平行四邊形． 4. 如圖

2、，在 △ABC 中，D 是 BC 邊的中點，分別過點 B，C 作射線 AD 的垂線，垂足分別為 E，F(xiàn) 連接 BF，CE． (1) 求證：四邊形 BECF 是平行四邊形； (2) 若 AF=FD，在不添加輔助線的條件下，直接寫出與 △ABD 面積相等的所有三角形， 5. 如圖，BD 是平行四邊形 ABCD 的對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為 E，F(xiàn)，AM 與 CN 分別是 ∠BAE 與 ∠DCF 的平分線，AM 交 BE 于點 M，CN 交 DF 于點 N，連接 AN，CM．求證：四邊形 AMCN 是平行四邊形． 6. 如圖，在四邊形 ABCD 中，對角線

3、 AC 與 BD 相交于點 O，在① AB∥CD；② AO=CO；③ AD=BC 中，任意選取兩個作為條件，以“四邊形 ABCD 是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)成命題． (1) 以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是．請舉出反例； (2) 寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明（命題請寫成“如果 ?，那么 ?”的形式）． 7. 如圖，D 是 △ABC 的邊 AB 上一點，CN∥AB，DN 交 AC 于點 M，若 MA=MC． (1) 求證：CD=AN； (2) 若 AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四邊形 ADCN 的面積．

4、 8. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AF 平分 ∠BAD 交 BC 于點 F，CE 平分 ∠BCD 交 AD 于點 E． (1) 若 AD=12，AB=8，求 CF 的長； (2) 連接 BE 和 AF 相交于點 G，DF 和 CE 相交于點 H，求證：EF 和 GH 互相平分． 9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A0,12，Ba,c，Cb,0，并且 a，b 滿足 b=a-21+21-a+16．一動點 P 從點 A 出發(fā)，在線段 AB 上以每秒 2 個單位長度的速度向點 B 運動；動點 Q 從點 O 出發(fā)在線段 OC 上以每秒 1 個單位長度的速度向點 C 運

5、動，點 P，Q 分別從點 A，O 同時出發(fā)，當(dāng)點 P 運動到點 B 時，點 Q 隨之停止運動．設(shè)運動時間為 t（秒）． (1) 求 B，C 兩點的坐標(biāo)； (2) 當(dāng) t 為何值時，四邊形 PQCB 是平行四邊形？并求出此 時 P，Q 兩點的坐標(biāo)； (3) 當(dāng) t 為何值時，△PQC 是以 PQ 為腰的等腰三角形？并求出 P，Q 兩點的坐標(biāo)． 答案 1. 【答案】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF， ∴EO=FO， 又 ∵BO=DO， ∴ 四邊形 BFDE 是平行四邊形．

6、2. 【答案】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD． 又 ∵BE=DG，AH=CF， ∴OB-BE=OD-DG，OA+AH=OC+CF， ∴OE=OG，OH=OF， ∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形． 3. 【答案】方法一：連接 AF，ED，EF； ∵AE=DF，AE∥DF， ∴ 四邊形 AEDF 為平行四邊形； ∴EO=FO，AO=DO； 又 ∵AB=CD， ∴AO-AB=DO-CD， ∴BO=CO； 又 ∵EO=FO， ∴ 四邊形 EBFC 是平行四邊形． 【解析】方法二：采用全等三角形證明，證出 △A

7、EB≌△DFC； 得到：BE=CF； 得到：BE∥CF，或者通過全等得到 EC=BF； ∴ 四邊形 EBFC 是平行四邊形． 4. 【答案】 (1) ∵D 是 BC 中點， ∴BD=CD． ∵BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在 △BED 與 △CFD 中，∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BED≌△CFDAAS， ∴ED=FD， ∵BD=CD， ∴ 四邊形 BECF 是平行四邊形； (2) 與 △ABD 面積相等的三角形有 △ACD，△CEF，△BEF，△BEC，△BFC． 5.

8、 【答案】連接 AC 交 BD 于 O，答圖略． ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABM=∠CDN， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴∠ABM+∠BAE=90°，∠CDN+∠DCF=90°， ∴∠BAE=∠DCF， ∵AM 與 CN 分別是 ∠BAE 與 ∠DCF 的平分線， ∴∠BAM=∠DCN， 在 △ABM 和 △CDN 中， ∠BAM=∠DCN,AB=CD,∠ABM=∠CDN, ∴△ABM≌△CDNASA， ∴BM=DN， ∴OM=ON，

9、 又 ∵OA=OC， ∴ 四邊形 AMCN 是平行四邊形． 6. 【答案】 (1) 以①②作為條件的命題是真命題． 證明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO， 又 ∵∠AOB=∠COD，AO=CO， ∴△ABO≌△CDOAAS， ∴AB=CD， ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形； (2) 假命題：①在四邊形 ABCD 中，如果 AB∥CD，AD=BC，那么四邊形 ABCD 是平行四邊形； ②在四邊形 ABCD 中，AC 交 BD 于點 O，如果 AO=CO，AD=BC，那么四邊形 ABCD 是平行四邊形． 反例略． 7. 【答案】 (1

10、) ∵AB∥CN， ∴∠DAM=∠NCM． 在 △AMD 和 △CMN 中，∠DAM=∠NCM,AM=CM,∠AMD=∠CMN. ∴△AMD≌△CMNASA， ∴AD=CN． 又 ∵AD∥CN， ∴ 四邊形 ADCN 是平行四邊形． ∴CD=AN． (2) ∵AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1， ∴AN=2MN=2，則 AM=AN2-MN2=22-12=3， ∴S△AMN=12AM?MN=12×3×1=32． ∵ 四邊形 ADCN 是平行四邊形， ∴S平行四邊形ADCN=4S△AMN=4×32=23． 8. 【答案】 (1)

11、 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC，BC=AD=12，∠BAD=∠BCD，∠ABF=∠CDE，AB=CD， ∴∠DAF=∠AFB， ∵AF 平分 ∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∴∠AFB=∠BAF， ∴BF=AB=8， ∴CF=BC-BF=12-8=4． (2) ∵∠BAD=∠BCD，AF 平分 ∠BAD，CE 平分 ∠BCD， ∴∠BAF=∠DAF=∠FCE=∠DCE， ∵∠DAF=∠AFB， ∴∠FCE=∠AFB， ∴AF∥CE， ∵ 平行四邊形 ABCD 中，AE∥CF， ∴ 四邊形 AFCE 是平行四邊形

12、， ∴AE=CF， ∴DE=BF， ∵AD∥BC， ∴ 四邊形 BFDE 是平行四邊形， ∴BE∥DF， ∵AF∥CE， ∴ 四邊形 EGFH 是平行四邊形， ∴EF 和 GH 互相平分． 9. 【答案】 (1) 因為 b=a-21+21-a+16， 所以 a=21，b=16， 故 B21,12，C16,0． (2) 根據(jù)題意得：QP=2t，QO=t， 則：PB=21-2t，QC=16-t， 因為當(dāng) PB=QC 時，四邊形 PQCB 是平行四邊形， 所以 21-2t=16-t， 計算得出：t=5， 所以 P10,12，Q5,0． (3) 當(dāng) PQ=CQ 時，過 Q 作 QN⊥AB，如圖所示， 根據(jù)題意得：122+t2=16-t2， 計算得出：t=72， 故 P7,12，Q72,0， 當(dāng) PQ=PC 時，過 P 作 PM⊥x 軸，如圖所示， 根據(jù)題意得：QM=t，CM=16-2t， 則 t=16-2t， 計算得出：t=163，2t=323， 故 P323,12，Q163,0．