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1、課時知能訓練
一、選擇題
1．(2011·濰坊模擬)設a，b，c都是正數，則a＋，b＋，c＋三個數( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2
2．設f(x)＝x2＋bx＋c是[－1,1]上的增函數，且f(－)·f()<0，則方程f(x)＝0在[－1,1]內( )
A．可能有3個實根 B．可能有2個實根
C．有唯一實根 D．沒有實根
3．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為( )
A．a，b，c中至少有兩個偶數
B．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數
2、C．a，b，c都是奇數
D．a，b，c都是偶數
4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P、Q的大小關系是( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值確定
5．已知函數f(x)＝()x，a，b是正實數，A＝f()，B＝f()，C＝f()，則A、B、C的大小關系為( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
二、填空題
6．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝(n∈N*，n＞2)，則f(n)，g(n)，φ(n)的大小關系是________．
7．已知函數f(
3、x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其導數f′(x)有最小值，則a與0的大小關系為________．
8．凸函數的性質定理為：如果函數f(x)在區(qū)間D上是凸函數，則對于區(qū)間D內的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函數y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________．
三、解答題
9．(2012·珠海模擬)已知函數y＝f(x)是R上的增函數．
(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)寫出(1)中的命題的逆命題，判斷真假并證明你的結論．
10．已知正數a
4、，b，c成等差數列且公差d≠0，求證：，，不可能成等差數列．
11．已知a>0，求證： －≥a＋－2.
答案及解析
1．【解析】 ∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)，
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6，
當且僅當a＝b＝c時取等號，
∴三個數中至少有一個不小于2.
【答案】 D
2．【解析】 ∵f(－)f()<0，
∴方程f(x)＝0在(－，)內有根．
又∵f(x)是[－1,1]上的增函數．
∴方程f(x)＝0在[－1,1]內有唯一的實根．
【答案】 C
3．【解析】 “自然數a，b，c中恰有一個偶數”的否定為“a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數”．
【答案】
5、 B
4．【解析】 ∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，
∴P2＜Q2，
∴P＜Q.
【答案】 C
5．【解析】 ∵≥≥，
又f(x)＝()x在R上是減函數，
∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.
【答案】 A
6．【解析】 ∵f(n)＝－n＝＜，
g(n)＝n－＝＞，
∴f(n)＜φ(n)＜g(n)．
【答案】 f(n)＜φ(n)＜g(n)
7．【解析】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c為二次函數，且有最小值，則a＞0.
【答案】 a＞0
8．【解析】 ∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數，
且A、
6、B、C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為.
【答案】
9．【解】 (1)∵函數y＝f(x)是R上的增函數，
又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命題：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
則a＋b≥0.真命題．
證明如下：
假設a＋b<0，∵y＝f(x)是R上的增函數，
∴當a<－b時，f(a)0，故只要證2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，
從而只要證2 ≥(a＋)，
只要證4(a2＋) ≥2(a2＋2＋)，
即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，
故原不等式成立．
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