2013年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 不等式選講 文

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1、選修4—5　不等式選講 真題試做 1．(2012·天津高考，文9)集合A＝中的最小整數(shù)為__________． 2．(2012·上海高考，文2)若集合A＝{x|2x－1＞0}，B＝{x||x|＜1}，則A∩B＝__________. 3．(2012·江西高考，理15)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集為__________． 4．(2012·課標(biāo)全國高考，理24)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍． 5．(2012·遼寧高考，文2

2、4)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}． (1)求a的值； (2)若≤k恒成立，求k的取值范圍． 考向分析 該部分主要有三個(gè)考點(diǎn)，一是帶有絕對值的不等式的求解；二是與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題；三是不等式的證明與運(yùn)用．對于帶有絕對值符號的不等式的求解，主要考查形如|x|＜a或|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c或|x－a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考查絕對值的幾何意義及零點(diǎn)分區(qū)間去絕對值符號后轉(zhuǎn)化為不等式組的方法．試題多以填空題或解答題的形式出現(xiàn)．對于與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題，此類問題常與絕對值不等式的解法、函數(shù)的值

3、域等問題結(jié)合，試題多以解答題為主．對于不等式的證明問題，此類問題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，方法靈活，主要考查比較法、綜合法等在證明不等式中的應(yīng)用，試題多以解答題的形式出現(xiàn)． 預(yù)測在今后高考中，對該部分的考查如果是帶有絕對值符號的不等式往往在解不等式的同時(shí)考查參數(shù)取值范圍、函數(shù)與方程思想等；如果是不等式的證明與運(yùn)用，往往運(yùn)用均值不等式．試題難度中等． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　絕對值不等式的解法 【例1】不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集為__________． 規(guī)律方法 1．絕對值不等式的解法 (1)|x|＜a?－a＜x＜a；|x|＞a?x＞a或x＜－a； (2)|ax＋b|≤c

4、?－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c的解法有三種：一是根據(jù)絕對值的意義結(jié)合數(shù)軸直觀求解；二是用零點(diǎn)分區(qū)間去絕對值，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組求解；三是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解． 2．絕對值三角不等式 (1)|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|； (2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 變式訓(xùn)練1 不等式|2x－1|＜3的解集為__________． 熱點(diǎn)二　與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題 【例2】不等式|2x＋1|＋|x＋a|＋|3x－3|＜5的解集非空，

5、則a的取值范圍為__________． 規(guī)律方法 解決含參數(shù)的絕對值不等式問題，往往有以下兩種方法： (1)對參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分類函數(shù)來處理； (2)借助于絕對值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，進(jìn)一步求解參數(shù)的范圍． 變式訓(xùn)練2 設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果關(guān)于x的不等式f(x)≤2有解，求a的取值范圍． 熱點(diǎn)三　不等式的證明問題 【例3】(1)若|a|＜1，|b|＜1，比較|a＋b|＋|a－b|與2的大小，并說明理由； (2)設(shè)m是|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|＞

6、m時(shí)，求證：＜2. 規(guī)律方法 證明不等式的基本方法： (1)證明不等式的基本方法有：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法． (2)不等式證明還有一些常用方法，如拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、換元法、逆代法、判別式法、函數(shù)的單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法等． 其中換元法主要有三角代換、均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性． 變式訓(xùn)練3 設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|＜1，求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． 1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　)． A．M＜N B．M＞N C．M＝N

7、 D．不能確定 2．若存在實(shí)數(shù)x滿足不等式|x－4|＋|x－3|＜a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(3,4) 3．已知集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，則集合A∩B＝__________. 4．不等式|2x＋1|＋|3x－2|≥5的解集是__________． 5．(2012·河北唐山三模，24)設(shè)f(x)＝|x－3|＋|x－4|， (1)解不等式f(x)≤2； (2)若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)≤ax－1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真

8、題試做 1．－3　解析：∵|x－2|≤5，∴－5≤x－2≤5， ∴－3≤x≤7，∴集合A中的最小整數(shù)為－3. 2．　解析：A＝，B＝{x|－1＜x＜1}，則A∩B＝. 3． 4．解：(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，f(x)＝ 當(dāng)x≤2時(shí)，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f(x)≥3無解； 當(dāng)x≥3時(shí)，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1，或x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ?4－x－(2－x)≥|x＋a| ?

9、－2－a≤x≤2－a. 由條件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故滿足條件的a的取值范圍為[－3,0]． 5．解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}， 所以當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意． 當(dāng)a＞0時(shí)，－≤x≤，得a＝2. (2)記h(x)＝f(x)－2f， 則h(x)＝ 所以|h(x)|≤1，因此k≥1. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】{x|x≥1}　解析：原不等式可化為： 或或 ∴x∈或1≤x＜2或x≥2.∴不等式的解集為{x|x≥1}． 【變式訓(xùn)練1】{x|－1＜x＜2}　解析：由|2x－1|＜3

10、得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2. 【例2】－3＜a＜1　解析：不等式|2x＋1|＋|x＋a|＋|3x－3|＜5的解集非空，即|2x＋1|＋|3x－3|＜5－|x＋a|有解．令f(x)＝|2x＋1|＋|3x－3|，g(x)＝5－|x＋a|，畫出函數(shù)f(x)的圖象知：當(dāng)x＝1時(shí)f(x)min＝3，∴g(x)＝g(1)＝5－|1＋a|＞3即可，解得－3＜a＜1. 【變式訓(xùn)練2】解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 故f(x)＝ 當(dāng)x＜－1時(shí)，由－2x≥3，得x≤－. 當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝2，無解． 當(dāng)x＞1時(shí)，由2x≥3，得x≥. 綜上可得，f(x)

11、≥3的解集為∪. (2)f(x)＝|x－1|＋|x－a|表示數(shù)x到1的距離與到a的距離和．由f(x)≤2有解可得－1≤a≤3. 故a的取值范圍為[－1,3]． 【例3】(1)解：|a＋b|＋|a－b|＜2. 理由：(|a＋b|＋|a－b|)2－4＝2|a|2＋2|b|2＋2|a2－b2|－4 ＝2(|a|2＋|b|2＋|a2－b2|－2)． 設(shè)|a|2＋|b|2＋|a2－b2|＝2t，其中t＝max{|a|2，|b|2}， ∵|a|＜1，|b|＜1，∴2t＜2，∴2(|a|2＋|b|2＋|a2－b2|－2)＜0. 所以|a＋b|＋|a－b|＜2. (2)證明：因?yàn)閨x|＞m≥

12、|b|且|x|＞m≥1，所以|x|2＞|b|. 又因?yàn)閨x|＞m≥|a|，所以≤＋＝＋＜＋＝2.故原不等式成立． 【變式訓(xùn)練3】證明：∵f(x)＝x2－x＋13， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|. 又∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1| ≤|x－a|＋|2a－1| ＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)， ∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練 1．B　2．B 3．{x|－2≤x≤5}　解析：∵A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9} ＝{x|－4≤x≤5}， B＝ ＝＝{x

13、|x≥－2}， ∴A∩B＝{x|－4≤x≤5}∩{x|x≥－2}＝{x|－2≤x≤5}． 4．∪　解析：當(dāng)x≤－時(shí)，不等式為－(2x＋1)－(3x－2)≥5，解得x≤－； 當(dāng)－＜x≤時(shí)，不等式為(2x＋1)－(3x－2)≥5，解得x≤－2，此時(shí)無解； 當(dāng)x＞時(shí)，不等式為(2x＋1)＋(3x－2)≥5，解得x≥. 故原不等式的解集為∪. 5．解：(1)f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝ 作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，它與直線y＝2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和.由圖象知f(x)≤2的解集為. (2)函數(shù)y＝ax－1的圖象是過點(diǎn)(0，－1)的直線． 當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝ax－1有公共點(diǎn)時(shí)，存在題設(shè)中的x.由圖象易知，a的取值范圍為(－∞，－2)∪.