2013年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)及解三角形第2講 三角恒等變換及解三角形 文

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1、專題三　三角函數(shù)及解三角形第2講　三角恒等變換及解三角形 真題試做 1．(2012·廣東高考，文6)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，則AC＝(　　)． A．4 B．2 C． D． 2．(2012·上海高考，文17)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　)． A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定 3．(2012·江西高考，文4)若＝，則tan 2α＝(　　)． A．－ B． C．－ D． 4．(2012·重慶高考，

2、文5)＝(　　)． A．－ B．－ C． D． 考向分析 本部分主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識．近幾年高考題目中每年有1～2個小題，一個大題，解答題以中低檔題為主，很多情況下與平面向量綜合考查，有時也與不等式、函數(shù)最值結(jié)合在一起，但難度不大，而三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合，更是考向的主要趨勢．三角恒等變換是高考的熱點內(nèi)容，主要考查利用各種三角函數(shù)進行求值與化簡，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點，切化弦、角的變換是常考的三角變換思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：①邊和角的計算；②三角形形狀的判斷；③面積的計

3、算；④有關(guān)的范圍問題．由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，與實際問題結(jié)合起來命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可小視． 熱點例析 熱點一　三角恒等變換及求值 【例1】(2012·山東淄博一模，17)已知函數(shù)f(x)＝2cos2－sin x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若α為第二象限角，且f＝，求的值． 規(guī)律方法 明確“待求和已知三角函數(shù)間的差異”是解決三角函數(shù)化簡、求值、證明問題的關(guān)鍵．三角恒等變換的常用策略有： (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項的分拆與角的配湊： ①二倍角只是個相對概念，如是的二倍角，α＋

4、β是的二倍角等； ②＝－，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特點，正用或逆用都要靈活，特別對以下幾種變形更要牢記并會靈活運用： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝等． (3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪． (4)角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 變式訓(xùn)練1 (2012·山東濟寧模擬，17)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期為6π. (1)求f的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求co

5、s(α＋β)的值． 熱點二　三角函數(shù)、三角形與向量等知識的交會 【例2】(2012·山東煙臺適用性測試一，理17)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n. (1)求角A的大小； (2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos的值域． 規(guī)律方法 以解三角形為命題形式考查三角函數(shù)是“眾望所歸”：正、余弦定理的應(yīng)用，難度適中，運算量適度，方向明確(化角或化邊)．(1)利用正弦定理，將角化為邊時，實際上是把角的正弦替換為所對邊與外接圓直徑的比值．(2)求角的大小一定要有兩個條件：①是角的范圍；②是角的某一三角函數(shù)值．用三

6、角函數(shù)值判斷角的大小時，一定要注意角的范圍及三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．(3)三角形的內(nèi)角和為π，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性．在三角形中，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余．銳角三角形?三內(nèi)角都是銳角?三內(nèi)角的余弦值均為正值?任意兩角的和都是鈍角?任意兩邊的平方和大于第三邊的平方． 變式訓(xùn)練2 (2012·湖北武漢4月調(diào)研，18)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－. (1)求cos C的值； (2)若a＝5，求△ABC的面積． 熱點三　正、余弦定理的實際應(yīng)用 【例3】某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到

7、市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB．現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段．現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A，B分別設(shè)在公路上離市中心O多遠處才能使A，B之間的距離最短？并求最短距離．(結(jié)果保留根號) 規(guī)律方法 (1)三角形應(yīng)用題主要是解決三類問題：測高度、測距離和測角度． (2)在解三角形時，要根據(jù)具體的已知條件合理選擇解法，同時，不可將正弦定理與余弦定理割裂開來，有時需綜合運用． (3)在解決與三角形有關(guān)的實際問題時，首先要明確題意，正確畫出平面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點將問題歸納到三角形中解決．要明確先用哪個公式或定

8、理，先求哪些量，確定解三角形的方法．在演算過程中，要算法簡練、算式工整、計算正確，還要注意近似計算的要求． (4)在畫圖和識圖過程中要準(zhǔn)確理解題目中所涉及的幾種角，如仰角、俯角、方位角，以防出錯． (5)有些時候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等． 變式訓(xùn)練3 如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α，前進m km后在B處測得該島的方位角為北偏東β，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．當(dāng)α與β滿足條件__________時，該船沒有觸礁危險． 思想滲透 化歸轉(zhuǎn)化思想——解答三角恒等變換問題 求解恒

9、等變換問題的思路： 一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化的思想“去異求同”的過程，具體分析如下： (1)變角：首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心； (2)變名：其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇保T導(dǎo)公式的運用； (3)結(jié)構(gòu)：再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，降冪與升冪，巧用“1”的代換等． (2012·福建高考，文20)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos2

10、12°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解法一：(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α

11、)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 解法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋

12、(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 1．已知cos x－sin x＝－，則sin＝(　　)． A． B．－ C． D．－ 2．在△ABC中，如果0＜tan Atan B＜1，那么△ABC是(　　)． A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 3．(2012·山東煙臺適用性測試一，5)已知傾斜角為α的直線l與直線x－2y＋2＝0

13、平行，則tan 2α的值為(　　)． A． B． C． D． 4．(2012·江西南昌二模，5)已知cos＝－，則cos x＋cos的值是(　　)． A．－ B．± C．－1 D．±1 5．(2012·山東淄博一模，10)在△ABC中，已知bcos C＋ccos B＝3acos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，則cos B的值為(　　)． A． B．－ C． D．－ 6．(原創(chuàng)題)已知sin x＝，則sin 2＝______. 7．(2012·湖南長沙模擬，18)已知函數(shù)f(x)＝3

14、sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x. (1)若f(α)＝5，求tan α的值； (2)設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝，求f(x)在(0，B]上的值域． 8．(2012·廣東廣州二模，16)已知函數(shù)f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在某一個周期內(nèi)的圖象的最高點和最低點的坐標(biāo)分別為，. (1)求A和ω的值； (2)已知α∈，且sin α＝，求f(α)的值． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2. 2．A　解析：由sin2A＋sin2B＜sin2C，得a2＋b2＜c2， 所以cos C

15、＝＜0，所以∠C為鈍角， 即△ABC為鈍角三角形． 3．B　解析：因為＝， 所以＝，解方程得tan α＝－3. 于是根據(jù)倍角公式可得tan 2α＝＝，故選B. 4．C　解析：因為sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝＝sin 30°＝，故選C. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】解：(1)∵f(x)＝1＋cos x－sin x ＝1＋2cos， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. 又∵－1≤cos≤1， ∴函數(shù)f(x)的值域為[－1,3]． (2)∵f＝， ∴1＋2cos α＝，即cos

16、α＝－. ∵＝ ＝＝， 又∵α為第二象限角，且cos α＝－， ∴sin α＝. ∴原式＝＝＝. 【變式訓(xùn)練1】解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx ＝2 ＝2sin. ∵函數(shù)f(x)的最小正周期為6π， ∴T＝＝6π，即ω＝. ∴f(x)＝2sin. ∴f＝2sin＝2sin＝. (2)f＝2sin＝2sin α＝－， ∴sin α＝－. f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cos β＝， ∴cos β＝. ∵α，β∈， ∴cos α＝＝， sin β＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.

17、 【例2】解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0， ∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0， 2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C ＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B. 在銳角三角形ABC中，sin B＞0， ∴cos A＝，故A＝. (2)在銳角三角形ABC中，A＝， 故＜B＜. ∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B ＝1＋sin 2B－cos 2B＝1＋sin. ∵＜B＜，∴＜2B－＜. ∴＜sin≤1，＜y≤2. ∴函數(shù)y＝2sin2

18、B＋cos的值域為. 【變式訓(xùn)練2】解：(1)在△ABC中，由cos(B＋C)＝－，得 sin(B＋C)＝＝＝， ∴cos C＝cos [(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cos B＋sin(B＋C)sin B ＝－×＋×＝. (2)由(1)，得sin C＝＝＝， sin A＝sin(B＋C)＝. 在△ABC中，由正弦定理＝，得 ＝，∴c＝8. 故△ABC的面積為S＝acsin B＝×5×8×＝10. 【例3】解：在△AOB中，設(shè)OA＝a，OB＝b. 因為OA為正西方向，OB為東北方向， 所以∠AOB＝135°. 又O到AB的距離為10， 所以S△ABO＝absin

19、 135°＝|AB|·10，得|AB|＝ab. 設(shè)∠OAB＝α，則∠OBA＝45°－α. 因為a＝，b＝， 所以ab＝·＝ ＝＝ ＝≥. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝22°30′時，“＝”成立． 所以|AB|≥×＝20(＋1)． 當(dāng)且僅當(dāng)α＝22°30′時，“＝”成立． 所以，當(dāng)a＝b＝＝10時， A，B之間的距離最短，且最短距離為20(＋1)km. 即當(dāng)A，B分別在OA，OB上離市中心O 10km處時，能使A，B之間的距離最短，最短距離為20(＋1)km. 【變式訓(xùn)練3】mcos αcos β＞nsin(α－β)　解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝

20、90°－α＋∠AMB， 所以∠AMB＝α－β. 由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝.要使船沒有觸礁危險，需要BMsin(90°－β)＝＞n，所以α與β滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，該船沒有觸礁危險． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練 1．B　解析：由cos x－sin x＝2 ＝2＝2sin， 可得sin＝－. 2．C　解析：由題意0＜A＜π，0＜B＜π，tan Atan B＞0，則A，B兩角為銳角， 又tan(A＋B)＝＞0，則A＋B為銳角，則角C為鈍角，故選C. 3．B　解析：已知傾斜角為α的直線l與直線x－2y＋2＝0平行， 則tan α＝，t

21、an 2α＝＝＝. 4．C　解析：cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1. 5．A　解析：因為bcos C＋ccos B＝3acos B， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B，即cos B＝. 6．2－　解析：sin 2＝sin＝－cos 2x ＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1 ＝2×2－1＝3－－1＝2－. 7．解：(1)由f(α)＝5，得3sin2α＋2sin αcos α＋5cos2α＝5， ∴3·＋sin

22、 2α＋5·＝5. ∴sin 2α＋cos 2α＝1，即sin 2α＝1－cos 2α?2sin αcos α＝2sin2α，∴sin α＝0或tan α＝. ∴tan α＝0或tan α＝. (2)由＝，得＝， 則cos B＝，即B＝. 又f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋4＝2sin＋4， 由0＜x≤，可得≤sin≤1， 故5≤f(x)≤6，即所求值域是[5,6]． 8．解：(1)∵函數(shù)f(x)的圖象的最高點坐標(biāo)為， ∴A＝2. 依題意，得函數(shù)f(x)的周期T＝2＝π， ∴ω＝＝2. (2)由(1)得f(x)＝2sin. ∵α∈，且sin α＝， ∴cos α＝＝. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝， cos 2α＝1－2sin2α＝－. ∴f(α)＝2sin ＝2＝.