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1、課時知能訓練
一、選擇題
1.(2012·陽江模擬)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象向左平移個單位,若所得圖象與原圖象重合,則ω的值不可能等于( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】 f(x)平移后,得y=sin(ωx+φ+)的圖象,
依題意=2kπ,∴ω=4k(k∈Z),因此ω=6不滿足.
【答案】 B
2.如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關于點(,0)中心對稱,那么|φ|的最小值為( )
A. B. C. D.
【解析】 由題意得3cos(2×+φ)=0,∴cos(+φ)=0,
2、
即+φ=kπ+,φ=kπ-,k∈Z.
取k=0得|φ|的最小值為.
【答案】 A
3.將函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象的函數(shù)解析式是( )
A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)
C.y=sin(x-) D.y=sin(x-)
【答案】 C
4.(2011·課標全國卷)設函數(shù)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則( )
A.y=f(x)在(0,)單調遞增,其圖象關于直線x=對稱
B.y=f(x)在(0,)單調遞增,其圖象關于直線x=對稱
C
3、.y=f(x)在(0,)單調遞減,其圖象關于直線x=對稱
D.y=f(x)在(0,)單調遞減,其圖象關于直線x=對稱
【解析】 ∵f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)
=sin(2x++)=cos 2x,
當0<x<時,0<2x<π,
故f(x)=cos 2x在(0,)單調遞減.
又當x=時,cos(2×)=-,
因此x=是f(x)圖象的一條對稱軸.
【答案】 D
5.(2011·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分圖象如圖3-4-6,則f()=( )
圖3-4-6
A.2+ B. C
4、. D.2-
【解析】 由圖形知,T==2(π-)=,∴ω=2,
又x=是漸近線,且|φ|<,
∴2×+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=,
又f(0)=1,從而可求A=1,
∴f(x)=tan(2x+),
因此f()=tan(+)=tan =.
【答案】 B
二、填空題
6.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤)的圖象如圖3-4-7所示,則點(ω,φ)的坐標是________.
圖3-4-7
【解析】 由圖象可得周期T=2×(-)=π=,
∴ω=2,
將點(,0)代入y=sin(2x+φ),得sin(+φ)=0,
令+φ=π,得φ=.∴(ω,
5、φ)的坐標為(2,).
【答案】 (2,)
7.函數(shù)f(x)=tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y=所得線段長為,則f()=________.
【解析】 依題意=,∴ω=4,f(x)=tan 4x,
所以f()=tan π=0.
【答案】 0
8.設定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)y=6cos x的圖象與y=5tan x的圖象交于點P,過點P作x軸的垂線,垂足為P1,直線PP1與函數(shù)y=sin x的圖象交于點P2,則線段P1P2的長為________.
【解析】 設點P的橫坐標為x0(0<x0<),
則P1(x0,0),P2(x0,sin x0),
依題設,6cos x0
6、=5tan x0,即6cos2x0-5sin x0=0.
∴(3sin x0-2)(2sin x0+3)=0.
因此sin x0=,故|P1P2|=.
【答案】
三、解答題
圖3-4-8
9.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的圖象的一部分如圖3-4-8所示:
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程.
【解】 (1)由題圖知A=2,T=8,
∵T==8,∴ω=.
又圖象經過點(1,2),
∴2sin(+φ)=2.
∵|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=2sin(x+).
(2)令x+=kπ+,
7、k∈Z.
∴x=4k+1(k∈Z).
故f(x)圖象的對稱軸x=4k+1(k∈Z).
10.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=sin 2x-.
(1)函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)的圖象經過怎樣的變化得出?
(2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使h(x)取得最小值的x的集合.
【解】 (1)f(x)=cos 2x=sin(2x+)
=sin 2(x+),
所以要得到f(x)的圖象只需要把g(x)的圖象向左平移個單位長度,再將所得的圖象向上平移個單位長度.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-sin 2x+
=cos(2x+)+,
當2x+=
8、2kπ+π(k∈Z)時,h(x)取最小值-+.
h(x)取得最小值時,x的集合為{x|x=kπ+,k∈Z}.
11.(2012·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.
(1)求f()的值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)的單調遞減區(qū)間.
【解】 (1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)
=2[sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)]
=2sin(ω
9、x+φ-).
∵y=2sin(ωx+φ-)是偶函數(shù),
∴φ-=kπ+,k∈Z.
又0<φ<π,∴φ-=.
∴f(x)=2sin(ωx+)=2cos ωx.
由題意得=2·,所以ω=2.
故f(x)=2cos 2x.
因此f()=2cos =.
(2)將f(x)的圖象向右平移個單位后,得到f(x-)的圖象,再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到f(-)的圖象.
所以g(x)=f(-)=2cos[2(-)]
=2cos(-).
當2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)時,g(x)單調遞減.
因此g(x)的遞減區(qū)間為[4kπ+,4kπ+](k∈Z).