2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)列不等式 理

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1、數(shù)列不等式三個(gè)考察點(diǎn)：①通項(xiàng)公式②求和③證不等式 一、 通項(xiàng)公式 學(xué)校的訓(xùn)練較多這里不詳細(xì)介紹。 要熟練掌握： 1、 待定系數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根法（連續(xù)兩年中有考差） 2、 熟悉變形。包括：兩邊同時(shí)除以如、平方、變倒數(shù)、因式分解、取對數(shù)、換元 若不熟悉可以找講義，或者高妙上有介紹 3、累加累乘法 但是高考一般不會(huì)直白地給出關(guān)系，或者給出常見的通項(xiàng)公式。 高考題大多這樣出題： 1、 與函數(shù)、解析幾何結(jié)合 這個(gè)范圍太泛了不好歸納，難度一般不會(huì)太大，見招拆招即可 2、 給出不常規(guī)的通項(xiàng)公式，但有提示 比如：=1，8-16+2+5=0（0），=,求｛｝通項(xiàng)公式

2、 現(xiàn)在不可能把通項(xiàng)公式求出再求，那么顯然需先求出，故變形為=，代入遞推關(guān)系即可得，再乘以即可。 還有一種情況便是先讓考生得出、、后猜想用數(shù)學(xué)歸納證明，有時(shí)不會(huì)提示考生要猜想，但別的常規(guī)方法得不出通項(xiàng)公式時(shí)要果斷大膽猜想 總之，這種題一定要順著提示做 通項(xiàng)公式中一定要重視的是累加累乘法 看上去似乎很簡單： 但是這卻是解決不等式證明最原始也是最重要的方法。原因很簡單：高考考的是靈活，除了通項(xiàng)公式的變形，不動(dòng)點(diǎn)法等方法靈活度不大，所以大多所謂的很難想的題目大多歸根到底是遞推。比如： 1、 奇偶項(xiàng)不同的數(shù)列。奇項(xiàng)間或者偶項(xiàng)間的遞推（后會(huì)介紹） 2、 數(shù)歸。證明的核心便是 3

3、、 通過通過與間的關(guān)系得出或或，這是解決（為常數(shù)）。這種對的運(yùn)用是解決大多數(shù)絕對值不等式的核心。對也能靈活運(yùn)用 具體后面會(huì)介紹。 二、 求和 要求等差、等比數(shù)列求和公式、掌握裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減 一模的裂項(xiàng)需要引起重視，湖南2010文科題考查到這一點(diǎn)： 三、 不等式證明 大多數(shù)考生認(rèn)為不等式無從下手，其實(shí)熟悉每種證明方法的使用情況、學(xué)會(huì)用逆向思維，絕大多數(shù)不等式可以迎刃而解 基本方法有： 1、 二項(xiàng)式定理 2、 構(gòu)造函數(shù) 3、 數(shù)學(xué)歸納法（加強(qiáng)命題） 4、 不等式 5、 遞推 6、 上下聯(lián)系 7、 放縮 現(xiàn)具體介紹： 一、 二項(xiàng)式定理 雖

4、然以前習(xí)題有出現(xiàn)，但廣東高考應(yīng)該不會(huì)出現(xiàn)公式的考查 側(cè)重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理：，運(yùn)用如下： 1、 證明: 2、 證明: 若出現(xiàn)求（k為常數(shù)），萬不得已才可考慮用洛必達(dá)法則，因?yàn)槿?shù)后求導(dǎo)比較難（可考慮用貝努力不等式證明單調(diào)性） 一般可以用放縮代勞 二、 構(gòu)造函數(shù) 1、經(jīng)常運(yùn)用在上下聯(lián)系的題目中。這種情況下題目會(huì)提示如何構(gòu)造函數(shù)，難度不大 2、構(gòu)造函數(shù)在探究存在性問題中可以用于討論單調(diào)性從而得出結(jié)論 3、含指數(shù)、對數(shù)的不等式可以通過貝努力不等式變換與函數(shù)構(gòu)造結(jié)合使用。Eg：證明：時(shí)， 4、含的不等式可能用到函數(shù)構(gòu)造。Eg：證明：（） 三、數(shù)學(xué)歸納法 證明：能用

5、數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是： 、易于推得且或 證明時(shí)要充分利用已知條件，比如：除已知條件外假設(shè)成立時(shí)的不等式是可用的條件；更多時(shí)候直接證明：或 在數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)經(jīng)常碰到這個(gè)問題：若則，這就有不動(dòng)點(diǎn)的感覺了。有一種加強(qiáng)命題就是用這種方法確定出的上下確界的。 Eg：，，，證明：對于一切自然數(shù)n都有 令，則（不要糾結(jié)的話是多少），故加強(qiáng)命題為： 一方面，，另一方面 給出一題較為特殊的考查數(shù)學(xué)歸納法的題目：十年P(guān)160 22題，特殊值法與數(shù)歸的結(jié)合。后有另一種解法（充分利用已知條件） Ex：加強(qiáng)命題 如果有明確的通項(xiàng)公式，那么加強(qiáng)命題可以解決大部分

6、題目，很不幸的是這種提醒其實(shí)在高考中很少見。 因?yàn)榉趴s的最后一步大多為，所以大多情況可用直接加強(qiáng)命題解決問題。遇到問題首選應(yīng)是放縮后裂項(xiàng)或者轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 如果通項(xiàng)公式中含有，則加強(qiáng)命題為，首先必須保證，通過分離變量得出a取值范圍后再去考慮數(shù)學(xué)歸納法第一步對a取值的要求，因?yàn)槿粢獣r(shí)加強(qiáng)命題就成立，對a的取值范圍要求比較高，不一定有合適的數(shù)值，因此可以從、…開始加強(qiáng)命題。但是加強(qiáng)命題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力，建議在平時(shí)熟悉這種方法加快破題速度 下面給出三道習(xí)題（答案見后）： 1、 證明： 2、 證明： 3、 證明： 4、 試做四校聯(lián)考（華附省實(shí)深中廣雅）壓軸題（想辦法用加強(qiáng)命題去掉）

7、 最后強(qiáng)調(diào)下數(shù)學(xué)歸納法的格式： 和假設(shè)前要加序號①② 證明成功后要寫由①②可知不等式（ ）成立。 四、不等式 注意：數(shù)學(xué)歸納法解是證明不了重要不等式的，因此必須基本不等式解決的題不能用數(shù)歸代勞。 11年廣東數(shù)列題就是例子 不等式真正廣東大題會(huì)考查的就是基本不等式與各種變形（柯西不等式的考查在弱化，雖然一些高考題可以運(yùn)用柯西不等式巧解但技巧性較高，較難想到）： （時(shí)取等） 它取自均值不等式，均值不等式是： 基本不等式的運(yùn)用于收尾項(xiàng)的放縮，需要注意的是： 證明：時(shí)，若用基本不等式首尾并項(xiàng)則需要討論項(xiàng)數(shù)奇偶性，若直接運(yùn)用均值不等式就快多了。 Ex:

8、 不等式首尾相加遇到奇偶性問題時(shí)可以考慮用倒敘相加 還有就是絕對值不等式了，后面會(huì)介紹 五、遞推 我們證明不等式時(shí)有個(gè)誤區(qū)，總覺得必須得到通項(xiàng)公式拉開架勢去證明心理才有底，其實(shí)有時(shí)即使能得到復(fù)雜的通項(xiàng)公式，對與證明不等式反而會(huì)加大難度。 而我們看到與是不等關(guān)系或者通項(xiàng)公式求不出時(shí)就會(huì)特別緊張，其實(shí)這種題方向極好把握 Eg：已知0，，，記：=，= 求證：當(dāng)時(shí)，（1）（2）（3）3 第一問作商法、作差法、數(shù)學(xué)歸納法都可以得出，數(shù)歸最容易想到。 對于證明（2）（3）問，顯然前面介紹的四種方法在這里都失靈了。這就回到證明時(shí)應(yīng)首先考慮的問題：（1）放縮后裂項(xiàng)或者（2）轉(zhuǎn)化為等

9、比數(shù)列 第二問有兩種解法，都是運(yùn)用了前一種思想。第一種方法較為靈活： 欲證，只需證：，而 由（1）知，故，所以得證 第二種解法較容易想到：=，因而從遞推關(guān)系得到，就得出，通過（1）的結(jié)論得證 第三問也有兩種方法，都運(yùn)用了第二種思想： 若化為等比數(shù)列（），則，即為題中的3的3.所以確定與就是要確定的。而通過與的遞推關(guān)系得出：想辦法從通項(xiàng)公式中湊出或者：，這時(shí)就聯(lián)想，想到用重要不等式降次：，接下來通過與3之間的推敲接順利得出，著就知道需要保留第一項(xiàng)后化為等比數(shù)列： 第二種方法非常巧妙：，則只需證3即可。 雖然這兩小問都是同一題，但是以較高的難度體現(xiàn)出解決相鄰項(xiàng)數(shù)間

10、有不等關(guān)系的題的精髓：逆向思維。想辦法用遞推關(guān)系得出與，把這一點(diǎn)解決了一切都好辦了。第二問的方法二、第三問的方法一看似復(fù)雜，其實(shí)是循規(guī)蹈矩得出的。 大致思路為：①確認(rèn)用哪種遞推；確定②通過已知條件逐漸迫近 如果把這兩小題都吃透了，那么就可以看回以前所謂的許多壓軸題了： 套卷17壓軸（只需小于1即可） 套卷14壓軸（運(yùn)用已知條件中的得出） 試做：若，（），，證： （已知：對任意成立的充要條件是） 六、上下聯(lián)系 上面題目有提示時(shí)優(yōu)先考慮這個(gè)。高考題與奧賽題的區(qū)別就是高考題可以拾級而上。不等式證明如果不順著出題人的思維走往往容易繞彎子（這不是函數(shù)的特殊值法）。例子

11、：套卷12壓軸題 七、放縮 這個(gè)課堂上講的最多，補(bǔ)充幾個(gè)少見的不等式即可 1、 2、 3、 4、 5、 6、，證明：令 介紹兩種熱門題型： 一、絕對值不等式 可以和不等式證明、反證法、函數(shù)（拉格朗日中值定理）相結(jié)合 解題誤區(qū)就是老是看絕對值不順眼想將改為，其實(shí)是自找苦吃。 絕對值不等式本來挺多的： 1、 2、、 3、 高考題其實(shí)都基本考的是第三個(gè)兩種變形： 題目分析：湖南09年壓軸題是需要用第一種遞推思想而且它隱藏了一個(gè)條件：就是是有限的 廣東11年一模題最后一問計(jì)算量思維量都比較大，膽子大的人才能完全做出來，當(dāng)長見識吧。第二問還是

12、可以很輕松做出來的。 試做： 是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有. (I)設(shè) ，證明： (II)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的； (III) 設(shè)，任取，令，，證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，成立不等式 二、 奇偶項(xiàng)問題 最經(jīng)典最難的便是天津2010（十年P(guān)160 17題）、2011的兩題 這兩題可以吸取的經(jīng)驗(yàn)有： 1、凡是求通項(xiàng)公式中存在就分奇偶項(xiàng)（可能不用求通項(xiàng)公式，直接并項(xiàng)） 2、遞推是解決奇偶項(xiàng)數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵方法 3、奇偶項(xiàng)數(shù)列求和證明不等式要分類討論 4、11年那題更為復(fù)雜，從第二小問

13、的代換可以看出奇偶項(xiàng)數(shù)列僅憑一對相鄰項(xiàng)不能完全解決問題，通過3項(xiàng)間的代換才能徹底解決問題 5、看似=增加了討論范圍，將變?yōu)?，其?shí)有降次的方法。可試做：十年 P160 27題 再給出一道經(jīng)典的題：，求證：時(shí)， 先看答案：通過逆向思維得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有： 則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 啟示： 1、 證明奇偶項(xiàng)求和不等式也可以化為等比數(shù)列（通過并項(xiàng)） 2、 證明部分奇偶項(xiàng)求和不等式可先證明n為奇數(shù)（或偶數(shù)）時(shí)成立，再利用證明n為偶數(shù)（或奇數(shù)）時(shí)成立。 總結(jié)（不一定齊全，自己可繼續(xù)積累經(jīng)驗(yàn)）： 1、 第一原則是上下聯(lián)系 2、 盡量化簡原不等式至方便分析、解決的形態(tài)

14、3、 存在考慮取對數(shù)后求導(dǎo)或者二項(xiàng)式 4、 存在可考慮求導(dǎo)或者去指數(shù)或者直接運(yùn)算 5、 存在可以求導(dǎo)或者通過值域定義域的關(guān)系去掉 6、 證明或者可考慮：或者；證明：時(shí)可考慮并項(xiàng) 7、 如果對于證明一個(gè)不等式不確定用哪個(gè)方法，多試幾次遇到這種情況總結(jié)出適合自己的方法試用順序 例子： 一、2012年一模題壓軸題： 證明： 思路：因?yàn)閮蛇吳蠛突蛘吡秧?xiàng)都不太容易，所以果斷試證： 即證： 若構(gòu)造函數(shù)因?yàn)榈拇嬖诤茈y求導(dǎo)；若用不等式也因?yàn)榈拇嬖诤茈y運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明得出，重要不等式就更難運(yùn)用了；顯然這個(gè)不等式?jīng)]什么好上下聯(lián)系的；放縮其實(shí)自己沒底，于是試試數(shù)歸先 直接在草稿紙上算

15、第二步：要證：，現(xiàn)在顯然二項(xiàng)式定理就適用了 所以思路就出來了：要證，只需證，再通過數(shù)歸和二項(xiàng)式定理的結(jié)合即可證出 二、，（），已知，求證： （上題證得：） 題目都有提示了，于是取對數(shù)，即證： 顯然容易遞推后裂項(xiàng)求和，而就變得礙事了，為了遞推求和怎么辦呢？由于上題有，于是將遞推關(guān)系改為：，接下來通過遞推后求和問題便迎刃而解了。 總之，證不等式一定要運(yùn)用好逆向思維，學(xué)會(huì)預(yù)判。這種思維通過熟悉各種方法使用范圍后，做幾題陌生題，按這種思維應(yīng)該能提供比較明確的思路。 答案： 數(shù)學(xué)歸納法（全國題）： 先特殊值法：若要?jiǎng)t 然后巧妙利用已知條件證明單調(diào)性：（數(shù)歸第二步）： 接下來就是要證明：，而，分離變量得 再次運(yùn)用數(shù)歸證明即為所求即可 加強(qiáng)放縮： 1、右邊增加后數(shù)歸 2、右邊增加，從n2起開始數(shù)歸 3、右邊增加，其中常數(shù)可在[,2]間，從n2起開始數(shù)歸 遞推： 顯然為，接下來的就是遞推，變形通項(xiàng)公式： 由已知條件得 絕對值不等式： 第一問：運(yùn)用拉格朗日中值定理，注意對應(yīng)①②的性質(zhì)證明，明確寫出 二三問直接上答案： （2）設(shè)存在兩個(gè)使得,則 由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。 （3），所以 +… 最后祝大家高考順利，考到理想的大學(xué)^ ^