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1、第66課 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1．（2012湖南高考）已知雙曲線 ：的焦距為 ，點(diǎn)在 的漸近線上，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，．
又∵的漸近線為，
點(diǎn)在 的漸近線上，
∴，即．
又∵，∴，
∴的方程為．
2．（2012浙江高考） 如圖，中心均為原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，是雙曲線的兩頂點(diǎn)．若將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（ ）
A． B． C．
2、 D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為，雙曲線的長(zhǎng)軸為，
由將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則，即，
∵雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，設(shè)焦距均為，
∴雙曲線的離心率為，，．
3．（2012惠州一模）設(shè)和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴．
4．（2012汕頭一模）已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，若，且的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B．
3、 C． D．
【答案】C
【解析】不妨設(shè)是雙曲線右支上的一點(diǎn)， 設(shè)，
∵的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，，
∴， ，
∴，
∴，∴，
∴，或（舍去）．
5．（2012湛江二模）已知橢圓: 的左、右頂點(diǎn)分別是、，是雙曲線: 右支軸上方的一點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)．
（1）若，求橢圓及雙曲線的離心率；
（2）若和的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)(用，表示）．
【解析】（1）∵，
∴在橢圓中，，
∴橢圓的離心率為，
∴在雙曲線中，，
∴橢圓的離心率為．
（2）設(shè)、的坐標(biāo)分別為、，
依題意：、的坐標(biāo)分別為、，
∵和的面積相等，∴，
∴，
代人橢
4、圓方程，得
，
即，①
由在雙曲線的右支上，
得，②
將②代人①化簡(jiǎn)得：，
∴或（舍去），
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
6．（2012上海高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線．
（1）設(shè)是的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)． 若，求過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)的左頂點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設(shè)斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：．
【解析】（1）雙曲線：，左焦點(diǎn)．
設(shè)，則，
由是右支上一點(diǎn)，知，
∴，得． ∴．
（2）左頂點(diǎn)，漸近線方程：．
過(guò)與漸近線平行的直線方程為．
解方程組，得．
所求平行四邊形的面積為．
（3）設(shè)直線的方程是．
∵直線與已知圓相切，∴，即 (*)．
由，得．
設(shè)，則．
，
∴，
．
由(*)知，∴．
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