微專題34 雙星或多星模型

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1、1 2 1 1 1 1 2 L 2 2 2 2 1 2 合 r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ＝ m 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 5 5 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 雙星或多星模型 微專題 34 1 ．“雙星模型”如圖，各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即  Gm m L2  ＝m ω 2r ， Gm m ＝m ω 2r ，其中 r ＋r ＝L.2.“雙星問題”的隱含條件是兩者受到的向心力相等，周期 相等，角速度相同；雙

2、星軌道半徑與質量成反比.3.多星問題中，每顆星做圓周運動所需的向 v2 心力由它們之間的萬有引力的合力提供，即 F ＝m ，以此列向心力方程進行求解． 1.如圖 1 所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的 O 點做周 期相同的勻速圓周運動．現測得兩顆星之間的距離為 L，質量之比為 m ∶m ＝3∶2，下列說 法中正確的是( ) 圖 1 A．m 、m 做圓周運動的線速度之比為 2∶3 B．m 、m 做圓周運動的角速度之比為 3∶2 3 C．m 做圓周運動的半徑為 L 1 5 2 D．m 做圓周運動的半徑為 L

3、2 5 答案 A 解析 設雙星 m 、m 距轉動中心 O 的距離分別為 r 、r ，雙星繞 O 點轉動的角速度均為 ω， 據萬有引力定律和牛頓第二定律得 m m G L2  r ω2  ＝m  r ω2  ，又 r ＋r ＝L，m ∶m ＝3∶2 所以可解得 r 1  2 3 ＝ L，r ＝ L m 、m 運動的線速度分別為 v ＝r ω，v ＝r ω， 故 v  ∶v ＝r ∶r ＝2∶3. ＝ M( L 2 T 1 1 2 則 有 ＝m( 2 L 2 ) 2r

4、 ，得到恒星的質量 M＝ 4 π2L3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ＝ m 和 G ＝m 1 2 1 2 L 2 T L2 T 1 1 2 2 綜上所述，選項 A 正確． 2．(2020· 吉林長春市二模)2019 年諾貝爾物理學獎授予了三位天文學家，以表彰他們對人類 對宇宙演化方面的了解所做的貢獻．其中兩位學者的貢獻是首次發(fā)現地外行星，其主要原理 是恒星和其行星在引力作用下構成一個“雙星系統”，恒星在周期性運動時，可通過觀察其 光譜的周期性變化知道其運動周期，從而證實其附近存在行星．若觀測到的某恒星運動

5、周期 為 T，并測得該恒星與行星的距離為 L，已知引力常量為 G，則由這些物理量可以求得( ) A．行星的質量 B．恒星的質量 C．恒星與行星的質量之和 D．恒星與行星圓周運動的半徑之比 答案 C 解析 恒星與行星組成雙星，設恒星的質量為 M，行星的質量為 m.以恒星為研究對象，行星 對它的引力提供了向心力，假設恒星的軌道半徑為 r 1  GMm 2π ，由 )2r 得到行星的質量 m ＝  4π2L2r GT2  ，以行星為研究對象，恒星對它的引力提供了向心力，假設行星的軌道半徑為 r ， GMm 2π 4π2

6、L2r T 2 GT2  ，則有 M＋m＝ ，故 A、B、D 錯誤， GT2 C 正確． 3．(2020· 湖北隨州市 3 月調研)2019 年 12 月 20 日，國防科技大學領銜研制的我國天基網絡 低軌試驗雙星在太原衛(wèi)星發(fā)射中心搭載 CZ－4B 火箭成功發(fā)射，雙星順利進入預定軌道．假 設兩個質量分別為 m 和 m (m >m )的星體 A 和 B 組成一雙星系統，二者中心之間的距離為 L ， 運動的周期為 T，萬有引力常量為 G，下列說法正確的是( ) A．因為 m >m ，所以星體 A 對星體 B 的萬有引力大于星體 B 對星體 A 的萬有引力 m

7、B．星體 A 做圓周運動的半徑為 L m ＋m 2πm L C．星體 B 的線速度大小為 (m＋m )T 4π2L3 D．兩星體的質量之和為 GT2 答案 D 解析 兩者之間的萬有引力提供彼此的向心力，此為相互作用力，大小相等，方向相反，故 m m 2π m m 2π A 錯誤；對 A、B 兩星體，根據牛頓第二定律有 G r ( )2 r ( )2  ，又 2 1 2 1 2 1 2 1 2 故 B 錯誤；星體 B 的線速度大小為 v＝ 2 ＝ ，故 C 錯誤；將 G ＝ m 1 1 2

8、 ( m＋m )T 和 G ＝ m 1 2 4 π2L3 GT2 1 2 1 2 ＝ M( L 2 T 2 π T r 地 m r 2 π L 2 T ′ T ′ P Q 2 速 率 v＝ 2 π v T P T T ′ v 因為 r 1  m m ＋r ＝L，聯立解得星體 A 和星體 B 的運動半徑分別為 r ＝ L，r ＝ L， m ＋m m ＋m 2πr 2πm L m m 2π r ( )2 T L2 1 1 T 1 2 m m 2π r ( )2 L2 2 2

9、 T  簡化后相加，結合 r ＋r ＝L，可得 m ＋m ＝ ，D 正確． 4．(2020· 河北保定市調研)把地球和月球看作繞同一圓心做勻速圓周運動的雙星系統，質量分 別為 M、m，相距為 L，周期為 T，若有間距也為 L 的雙星 P、Q，P、Q 的質量分別為 2M、 2m，則( ) M A．地、月運動的軌道半徑之比為 m M B．地、月運動的加速度之比為 m C．P 運動的速率與地球的相等 2 D．P、Q 運動的周期均為 T 2 答案 D Mm 2π 解析 對地、月有 G )2r  ＝m( )2r 地  月

10、  ，故軌道半徑與質量成反比，即 ＝ ，A M 月 錯誤；加速度 a＝( )2 T  r，正比于軌道半徑，反比于質量，B 錯誤；設 P、Q 的周期為 T′， 2M×2m 2π 2π 則有 G ＝2M( )2r ＝2m( )2r ，軌道半徑與質量成反比且地、月間距跟 P、Q 間 距均等于 L，故地球與 P 的軌道半徑 r 相等，于是 2T′  2  ＝T  2，解得 T′＝  2 T，D 正確；由 r 得 ＝ ＝ 2，C 錯誤． 地 5．由三個星體構成的系統，叫作三星系統．有這樣一種簡單的三星系統，質量

11、剛好都相同的 三個星體甲、乙、丙在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上， 繞某一共同的圓心 O 在三角形所在的平面內做相同周期的圓周運動．若三個星體的質量均為 m，三角形的邊長為 a，萬有引力常量為 G，則下列說法正確的是( ) A．三個星體做圓周運動的半徑均為 a B．三個星體做圓周運動的周期均為 2πa C．三個星體做圓周運動的線速度大小均為  a 3Gm 3Gm a Gm2 3Gm2 4π2 a 2πr Gm F 3Gm mm′ Gm m 2 m2 Gm2 1 L 2 L 2 2 n

12、3Gm D．三個星體做圓周運動的向心加速度大小均為 a2 答案 B 解析 質量相等的三星系統的位置關系構成一等邊三角形，其中心 O 即為它們的共同圓心， 由幾何關系可知三個星體做圓周運動的半徑 r＝  3 3  a，故選項 A 錯誤；每個星體受到的另外 兩星體的萬有引力的合力提供向心力，其大小  F ＝ 3· ，則 ＝ m a2 a2 T2  r，得 T＝ 2πa  ，故選項 B 正確；由線速度公式 v＝ 得 v＝ 3Gm T  a  ，故選項 C 錯誤；向心加速 度 a＝ ＝ ，故選項 D 錯

13、誤． m a2 6．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統．若某個四星系統中每個星體的 質量均為 m，半徑均為 R，忽略其他星體對它們的引力作用，忽略星體自轉，則可能存在如 下運動形式：四顆星分別位于邊長為 L 的正方形的四個頂點上(L 遠大于 R)，在相互之間的萬 有引力作用下，繞某一共同的圓心做角速度相同的圓周運動．已知引力常量為 G，則關于此 四星系統，下列說法正確的是( ) L A．四顆星做圓周運動的軌道半徑均為 2 m B．四顆星表面的重力加速度均為 G R2 Gm2 C．四顆星做圓周運動的向心力大小為 (2 2＋1) L2

14、 D．四顆星做圓周運動的角速度均為  (4－ 2)Gm 2L3 答案 B 解析 任一顆星體在其他三顆星體的萬有引力的作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞 正方形對角線的交點做勻速圓周運動，軌道半徑均為 r＝  2 2  L，故 A 錯誤；星體表面的物體 受到的萬有引力等于它受到的重力，即 G ＝m′g，解得 g＝ ，故 B 正確；由萬有引 R2 R2 力定律可得四顆星做圓周運動的向心力大小為 F ＝G ＋2G cos 45°＝ ( ( 2L)2  ＋ 2)，選 ＋ 2)＝mω L 2 2 2 n 項 C 錯誤；由牛頓第二定律得 F 錯誤．  Gm2 1 2 ＝ ( 2( L)，解得 ω＝  (4＋ 2)Gm ，故 D 2L3