【提優(yōu)教程】江蘇省2012高中數(shù)學(xué)競賽 第63講 極限教案

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1、 極限及其運算 相關(guān)知識 1.數(shù)列極限的定義： 一般地，如果當(dāng)項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)（即無限趨近于0），那么就說數(shù)列以為極限，或者說是數(shù)列的極限．記作，讀作“當(dāng)趨向于無窮大時，的極限等于” 2.幾個重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3）無窮等比數(shù)列（）的極限是0，即 3.函數(shù)極限的定義: (1)當(dāng)自變量x取正值并且無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于正無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a. 記作：f(x)=a，或者當(dāng)x→+∞時，f(x)→a. (2)當(dāng)自變量x取負值并且絕對值無限

2、增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于負無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a. 記作f(x)=a或者當(dāng)x→－∞時，f(x)→a. (3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就說當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a， 記作：f(x)=a或者當(dāng)x→∞時，f(x)→a. 4 數(shù)列極限的運算法則: 與函數(shù)極限的運算法則類似, 如果那么 　　 　　 5 對于函數(shù)極限有如下的運算法則： 如果，那么, , 當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時:, 這些法則對于的情況仍然適用 6 函數(shù)在一點連續(xù)的定義: 如果函數(shù)f(x)在點x=x0處有定義，f(x)存在，且f(x

3、)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù). 7.函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義： 如果函數(shù)f(x)在某一開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點處連續(xù)，就說函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 8 函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)的定義： 如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點x=a處有f(x)=f(a)，在右端點x=b處有f(x)=f(b),就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù). 9 最大值 f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么

4、f(x)在點x1處有最大值f(x1). 10 最小值 f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在點x2處有最小值f(x2). 11.最大值最小值定理 如果f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間［a，b］上有最大值和最小值. A類例題 例1 （1）等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.不能確定 分析 因為當(dāng)||＜1即a＜時，=0， 當(dāng)||＞1時，不存在. 當(dāng)=1即a=時，=1 當(dāng)=－1時，也不存在. 答案 D. 例2 已知|a|＞|b|，且 (n

5、∈N*)，那么a的取值范圍是( ) A.a＜－1 B.－1＜a＜0　　　C.a＞1 D.a＞1或－1＜a＜0 分析 左邊= 右邊= ∵|a|＞|b|，∴||＜1.　　∴()n=0 ∴不等式變?yōu)椋糰，解不等式得a＞1或－1＜a＜0. 答案：D. 說明 在數(shù)列極限中，極限qn=0要注意這里|q|＜1.這個極限很重要. 例3 (1). (2) (1)分析 先因式分解法，然后約分代入即得結(jié)果。 解：. (2)分析 分子、分母同除x的最高次冪. 解： 例4 . 分析 進行分子有理化. 解：. = 鏈接 有限個函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)的和（

6、或積）；兩個（或幾個）函數(shù)的極限至少有一個不存在時，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在. 在求幾個函數(shù)的和（或積）的極限時，一般要化簡，再求極限.求函數(shù)的極限要掌握幾種基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x的最高次冪；④分子有理化法. 情景再現(xiàn) 1 已知數(shù)列{log2(an－1)}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5，則 　　）= （　 ） 　　A．2　　 B．　　 C．1　　 D． 2 =8，試確定a，b的值. B類習(xí)題 例5　已知下列極限，求a與b. (1) (2) (3) 分析 此題屬于已知x趨向于x0(或無窮大)時，函數(shù)的極

7、限存在且等于某個常數(shù)，求函數(shù)關(guān)系式的類型.上邊三個小題都不能簡單地將x=x0直接代入函數(shù)的解析式中，因為(1)(2)中的x不趨于確定的常數(shù)，(3)雖然趨于1，但將x=1代入函數(shù)關(guān)系式中，分母為零.因此，解決此類問題的關(guān)鍵，是先要確定用哪種方法求極限，再將函數(shù)的解析式進行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后根?jù)所給的條件進行分析，進而確定a，b的值. 解 (1) 1° 如果1－a≠0， ∵ ∴不存在. 2° 如果 1－a=0， ∵ =－(a+b)=0 即a+b=0 ∴ 解：(2) 要使極限存在1－a2=0. ∴ 即1+2ab=0，a+1≠0. ∴ 解：(3) 當(dāng)x→1時

8、極限存在，則分子、分母必有公因式x－1.　　∴a－b2=－1 ∴原式= ∴ 鏈接 我們求極限的一種方法是分子、分母同除x的最高次冪，但像第(1)題，因為分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，如果分子除以x2，則分子極限為0，不符合，所以通分后，應(yīng)除以分子分母中x的較低次冪.并且x的次數(shù)比分子x的最高次冪大的項的系數(shù)應(yīng)該等于0，這樣極限才存在. 例6已知　f(x)=求a，使f(x)存在. 解：要使f(x)存在，則f(x)與f(x)要存在且相等. f(x)= (2x2－3)=2·22－3=5. f(x)= (3x2+a)=3·22+a=12+a. ∴5=12+a.∴a=－7

9、 例7設(shè)函數(shù)f(x)=，在x=0處連續(xù)，求a，b的值. 分析：要使f(x)在x=0處連續(xù)，就要使f(x)在x=0處的左、右極限存在，并且相等，等于f(x)在x=0處的值a. 解：f(x)=·(－1) f(x)= (2x+1)=2·0+1=1 ∴ 鏈接 這類連續(xù)的題目，關(guān)鍵是求在一點處的左、右極限存在并都等于在這點的函數(shù)值，與函數(shù)在這點的極限存在的方法是相同的 情景再現(xiàn) 3 求下列函數(shù)在X＝0處的極限 （1）?。?）?。?）　 4 求 C類習(xí)題 例8 設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項的和Sn和an的關(guān)系是Sn=1－ban－,其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b≠－

10、1 (1)求an和an－1的關(guān)系式； (2)寫出用n和b表示an的表達式； (3)當(dāng)0＜b＜1時，求極限Sn 解 (1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－ =－b(an－an－1)+ (n≥2) 解得an= (n≥2) 說明 歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項公式，前n項和Sn等有緊密的聯(lián)系 有時題目是先依條件確定數(shù)列的通項公式再求極限，或先求出前n項和Sn再求極限，本題考查學(xué)生的綜合能力 解答本題的關(guān)鍵點是分析透題目中的條件間的相互關(guān)系 技巧與方法是 抓住第一步的遞推關(guān)系式，去尋找規(guī)律 例9 已知數(shù)列｛an｝滿足條件：a1=1

11、，a2=r（r＞0）且｛an·an+1｝是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n－1+a2n（n=1，2，…） （Ⅰ）求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+2（n∈N*）成立的q的取值范圍； （Ⅱ）求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn； （Ⅲ）設(shè)r=219．2－1，q=，求數(shù)列｛｝的最大項和最小項的值. 解：（Ⅰ）由題意得rqn－1+rqn＞rqn+1 由題設(shè)r＞0，q＞0，故上式q2－q－1＜0 所以， 由于q＞0，故0＜q＜ （Ⅱ）因為 所以=q≠0 b1=1+r≠0，所以｛bn｝是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列， 從而bn=（1+r）

12、qn－1 當(dāng)q=1時，Sn=n（1+r） 當(dāng)0＜q＜1時，Sn= 當(dāng)q＞1時，Sn= 綜上所述 （Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=（1+r）qn－1 從上式可知當(dāng)n－20.2＞0時n≥21（n∈N）時，cn隨n的增大而減小，故 1＜cn＜c21=1+=2.25 ① 當(dāng)n－20.2＜0，即n≤20（n∈N）時，cn也隨著n的增大而減小，故 1＞cn＞c20=1+ ② 綜合①、②兩式知對任意的自然數(shù)n有c20≤cn≤c21 故｛cn｝的最大項c21=2.25，最小項c20＝－4． 例10 已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是 （Ⅰ）求的表達式，并求出f（

13、1）、f（2）的值； （Ⅱ）數(shù)列{an}，{bn}，若對任意的實數(shù)x都滿足， 其中是定義在實數(shù)R上的一個函數(shù)，求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； （Ⅲ）設(shè)圓，若圓Cn與圓Cn+1外切，{rn}是各項都是正 數(shù)的等比數(shù)列，記Sn是前n個圓的面積之和，求. 解：（I）由已知得 （II） ① ② 由①②得 （III），設(shè)數(shù)列{rn}的公比為q，則 情景再現(xiàn) 5在數(shù)列{an}中，已知a1=,a2=,且數(shù)列{an+1－an}是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列{lg(an+1－an}是公

14、差為－1的等差數(shù)列 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求Sn 6 已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，d≠0且a1=0,bn=2 (n∈N*),Sn是{bn}的前n項和，Tn= (n∈N*) (1)求{Tn}的通項公式； (2)當(dāng)d＞0時，求Tn 本章習(xí)題 1．已知數(shù)列的值為 （ ） A． B． C．1 D．－2 2．設(shè)數(shù)列的通項公式為,它們的前項和依次為,則( ) 3 =_________ 4 若=1,則ab的值是_________

15、 5． 6． 7． (m，n為自然數(shù)) 8．求 9.計算(r＞0) 10． 已知數(shù)列的前n項和為，且、等差中項為1． 　?。?）寫出、、； 　?。?）猜想的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； （3）設(shè)，求的值． 11． 設(shè)f(x)是x的三次多項式，已知=1,試求的值 (a為非零常數(shù)) 12．已知數(shù)列{an},{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、q,其中p＞q,且p≠1,q≠1,設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列{cn}的前n項和，求的值 參考答案 情景再現(xiàn)答案 1解 由題意得：,求得d=1, 則

16、 又由 所以 = 所以 故選C。 2 解： ∴由題意 3 解：（1） 　（2）不存在．　 （3）　 ． 4 5 解 (1)由{an+1－an}是公比為的等比數(shù)列，且a1=,a2=, ∴an+1－an=(a2－a1)()n-1=(－×)()n-1=, ∴an+1=an+ ① 又由數(shù)列{lg(an+1－an)}是公差為－1的等差數(shù)列， 且首項lg(a2－a1)=lg(－×)=－2, ∴其通項lg(an+1－an)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1), ∴an+1－an=10－(n+1),即an+1=a

17、n+10－(n+1) ② ①②聯(lián)立解得an=［()n+1－()n+1］ (2)Sn= 6 解 (1)an=(n－1)d,bn=2=2(n－1)d Sn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n－1)d 由d≠0,2d≠1,∴Sn= ∴Tn= (2)當(dāng)d＞0時，2d＞1 本章習(xí)題答案 1（C） 2（A） 3 解 答案 4 解 原式= ∴a·b=8 5．解： 6． 解： 7． 解： 當(dāng)n－m＞0時，即n＞m =0 當(dāng)n－m=0時，即n=m =1 當(dāng)n－m＜0時，即n＜m 不存在.

18、 ∴當(dāng)n＞m時，=0；當(dāng)n=m時，=1； 當(dāng)n＜m時，不存在. 8解： 　　 9.解：1° 0＜r＜1，∵rx=0，∴. 2° r=1，rx=1，∴ 3° r＞1，0＜＜1，∴. ∴ 10 解：（1）依題意：，計算得　，， 　?。?）猜想以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　當(dāng)n＝1時，，，猜想成立 　　假設(shè)當(dāng)n＝k時，猜想成立，即，則當(dāng)時， 　　∵　，兩式相減得 　　即，∴　 　　∴　當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立，綜上所述，對時， 　?。?）∵　，∴　 　　 　　　 　　∴　 11． 解 由于=1，可知，f(2a)=0 ① 同理f(4a)=0 ② 由①②可知f(x)必含有(x－2a)與(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多項式，故可設(shè)f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),這里A、C均為待定的常數(shù)， ,即4a2A－2aCA=－1 ③ 同理，由于=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a2A－2aCA=1 ④ 由③④得C=3a,A=,因而f(x)= (x－2a)(x－4a)(x－3a), 12． 由數(shù)列{an}、{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p＞0,q＞0 當(dāng)p＜1時,q＜1, - 18 - 用心 愛心 專心