線性代數(shù)-課程學(xué)習(xí)必備的教材.ppt

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1、線性代數(shù) 專題課,一、重點(diǎn)和難點(diǎn),行列式的性質(zhì)及其計(jì)算 矩陣的運(yùn)算、可逆矩陣、分塊矩陣、初等變換與初等矩陣、矩陣的秩、方陣的特征值與特征向量、矩陣相似對(duì)角化 n維向量的線性運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性、向量組的極大線性無關(guān)組 齊次、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型,二、行列式,1n階行列式的定義,2n階行列式的性質(zhì),3 行列式按行和列展開,4 Cramer 法則,5 行列式的求法,1）、定義法,2）、展開法,3）、加邊法,4）、拆分法,5）、遞推法,6）、三角法,7）、Laplace展開定理,9）、綜合法,8）、Vander monde行列式,10）、降階法 （略）,11）、定

2、義證明,證明,12）、數(shù)學(xué)歸納法,三、矩陣,1、矩陣的定義,注：實(shí)矩陣、復(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、階方陣、方陣的行列式、兩矩陣同型、兩矩陣相等.,2、幾種特殊的矩陣,零矩陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、三角矩陣、 負(fù)矩陣、對(duì)合矩陣、正交矩陣、冪等矩陣、階梯形、 行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形,3、矩陣的運(yùn)算,行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成矩陣的轉(zhuǎn)置.,）、伴隨矩陣,記作,4、逆矩陣的概念和性質(zhì),5、矩陣的分塊及運(yùn)算規(guī)則,分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)律與普通矩陣規(guī)律運(yùn)算相類似.,1）,2）,3）若,則有,若 ，則有,分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)：,4）若,則,均為可逆方陣.,5）若,則,6、矩陣的初等變換（Eleme

3、ntary Transformation）,等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：反身性、對(duì)稱性、傳遞性.,2）、初等矩陣的概念,、對(duì)調(diào),、數(shù)乘,、倍加,定義,所有與等價(jià)的矩陣的集合稱為一個(gè)等價(jià)類.,8、初等矩陣的應(yīng)用,矩陣方程,解,,,,,,,,,,,9、方陣的特征值與特征向量,定義,若,則稱為的特征值，,稱為的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組,特征向量 ，特征值問題只針對(duì)于方陣；,有非零解的值，即滿足,的都是方陣的特征值,定義,稱以為未知數(shù)的一元次方程,為的特征方程,定義,稱以為變量的一元次多項(xiàng)式,為的特征多項(xiàng)式,定理,設(shè)階方陣的特征值為,則,的特征值與特征向量的求法,(

4、1)由特征方程,求出矩陣的全部特征值,1, 2, , n，其中r重根對(duì)應(yīng)的r個(gè)數(shù)值相同的特征根。,(2) 把特征值代入(I-)X=0，求其特征向量。,10、矩陣相似對(duì)角化,1） 定義,設(shè)、都是階矩陣，若有可逆矩陣，,使得,則稱是的相似矩陣，或者說矩陣,與相似,稱為對(duì)進(jìn)行相似變換，,對(duì)進(jìn)行運(yùn)算,可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣,記作：,,2） 矩陣相似對(duì)角化,若能尋得相似變換矩陣使,對(duì)階方陣，,稱之為把方陣對(duì)角化,的主對(duì)角線上的元素就是的全部特征值；,是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量。,四、維向量空間,）、定義,個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組,稱為一個(gè)維向量，其中稱為第個(gè)分量（坐標(biāo)）.,記作,維向量寫成一行稱為行向

5、量，,記作,維向量寫成一列稱為列向量，,）、幾種特殊向量,實(shí)向量，復(fù)向量，零向量，單位向量，向量同型， 向量相等.,注意什么是向量的個(gè)數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清.,）、矩陣與向量的關(guān)系,、維向量,若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組,）、向量組,）、向量空間,設(shè)為維非空向量組，且滿足,對(duì)加法封閉,對(duì)數(shù)乘封閉,那么就稱集合為向量空間.,）、向量的運(yùn)算,向量的運(yùn)算采用與矩陣相同的運(yùn)算規(guī)律.,2、向量的線性相關(guān)性,1）、基本概念,定義給定向量組,，對(duì)于任何一組數(shù),，稱向量,為向量組的,一個(gè)線性組合（Linear Combination）.,為組合的組合系數(shù)(Comb

6、ination Coefficient).,定義設(shè)向量組,及向量有關(guān)系,則稱為向量組的一個(gè)線性組合，或稱可由向量組,線性表示（Linear Expression）.,稱為在該線性組合下的組合系數(shù).,定義設(shè)兩向量組,若向量組中每一個(gè)向量皆可由向量組線性表示，,則稱向量組可以由向量組線性表示.,若兩個(gè)向量組可以互相線性表示，則稱這兩向量組等價(jià).,向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性.,定義設(shè)維向量組,為零的數(shù),，使得,則稱向量組,，如果存在不全,線性相關(guān)(Linear Dependent).,反之，若當(dāng)且僅當(dāng),，才有,則稱向量組,線性無關(guān)(Linear Independent).,即存在

7、矩陣,3、向量組的秩,)、極大線性無關(guān)組,線性相關(guān).,若滿足：,設(shè)是一個(gè)向量組，它的某一個(gè)部分組,)、向量組的秩,向量組的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩,記作：()或,線性無關(guān)；,則稱為的一個(gè)極大線性無關(guān)組.,)、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系,定義,矩陣,的列向量組的秩稱為列秩，記為：,的行向量組的秩稱為行秩，記為：,定理,結(jié)論,，則所在行（列）向量組線性無關(guān).,，則的任行（列）向量組線性相關(guān).,，且含有的，則.,定理,有相同的線性關(guān)系.,相同的線性關(guān)系是指：,已知維列向量組,向量組,,線性表示，且表達(dá)式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相同.,4、向量空間,1)定義,線性相關(guān).,若滿足：,設(shè)是一個(gè)向量空間，它的

8、某個(gè)向量,中的任一向量均可以表示成基向量的線性組合，,記作：dim.,線性無關(guān)；,則稱為的一個(gè)基.稱為的維數(shù).,且表達(dá)式唯一，其組合系數(shù)稱為向量在該基下的坐標(biāo).,2)向量空間的坐標(biāo),設(shè)為向量空間的一個(gè)基，則任取，可 唯一地表示為, =x11+x2 2++xr r,=,3） 坐標(biāo)變換,對(duì)任意向量V，設(shè)在兩組基下坐標(biāo)分別為X和Y，即, = 1 2 rY,則,X=CY,定理3.9,設(shè)向量空間V的一組基1, 2, , r到另一組基,1, 2, , r的過渡矩陣為C。且V中一個(gè)向量在兩組 基下的坐標(biāo)分別為X和Y，則,X=CY,坐標(biāo)變換公示,5、歐式空間Rn,1）、內(nèi)積,設(shè)維實(shí)向量,稱實(shí)數(shù),為向量與的內(nèi)

9、積，記作,2）、長度,令,為維向量,的長度（模或范數(shù)）.,3)、夾角,設(shè)與為維空間的兩個(gè)非零向量，與的夾,角的余弦為,因此與的夾角為,4)、正交向量組,5)、施密特（Schmidt）正交化法,向量空間的基標(biāo)準(zhǔn)正交化.,,,,,非奇次線性方程有解.,,的極大線性無關(guān)組.,向量組可由線性表示，則,若，則線性相關(guān).,線性無關(guān)，則.,() () .,等價(jià)向量組必有同秩（反之則不然）,存在矩陣,定理,如果向量組,線性相關(guān)，則可由唯一線性表示.,線性無關(guān)，而向量組,定理,設(shè)向量組,若線性相關(guān),則向量組也線性相關(guān)；反之，若,向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).,定理,設(shè)向量組,若線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)

10、；反之，若,向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān).,其中,設(shè)元線性方程組的系數(shù)矩陣為，增廣,）線性方程組 有唯一解,矩陣為，則,）線性方程組 有無窮解,）線性方程組 無解,五、線性方程組,1、線性方程組的解,定義4.2 對(duì)線性方程組施行的下列三種變換,(1) 交換兩個(gè)方程的位置,(2) 用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程,(3) 把某個(gè)方程的若干倍加到另外一個(gè)方程上。,稱為線性方程組的初等變換。,用三種初等變換將一個(gè)線性方程組化成增廣矩陣是階梯型 的線性方程組的過程稱為Gauss消元法。,A|b,,C|d(行階梯型或行標(biāo)準(zhǔn)型),行初等變換,2、Gauss消元法,3、齊次線性方程組的解,1）、基礎(chǔ)解系

11、,基礎(chǔ)解系，則方程組的通解可表示為：,方程組的解空間中，它的某一個(gè)部分組,線性相關(guān).,線性無關(guān)；,則稱為齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系.,滿足：,如果為齊次線性方程組的,其中為任意實(shí)數(shù).,定理,元齊次線性方程組的全體解所構(gòu)成的,集合是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為時(shí)，解空,間的維數(shù)為-.,當(dāng)時(shí)，線性方程組必有含-個(gè)向量的基,解系（此時(shí)解空間只含有零向量，稱為維向量空間）,當(dāng)時(shí)，線性方程組只有零解，故沒有基礎(chǔ),礎(chǔ)解系，此時(shí)線性方程組的解可以表示為,其中為任意實(shí)數(shù)，解空間可以表示為,2）、基礎(chǔ)解系的求法,、對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，將其化為最簡形,、得出，同時(shí)也可知方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解,系含有個(gè)線性無關(guān)

12、的解向量,故,為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,就為方程組的通解.,其中為其導(dǎo)出組的通解，,4、非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組的通解為,為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.,線性方程組 有解，則以下命題等價(jià)：,六、元二次型,1、二次型定義,的二次齊次多項(xiàng)式,含有個(gè)變量,,稱為二次型,或記為,、二次型的矩陣表示,,則二次型,其中矩陣為對(duì)稱矩陣.,定義1,只含有平方項(xiàng)的二次型,稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或法式,定義2,特別地，稱,為二次型的規(guī)范形,3、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,4、矩陣的合同,1）定義,設(shè),為階方陣，若存在階可逆陣，使得,則稱合同于,記為,反身性,對(duì)稱性,傳遞性,2） 性質(zhì),合同矩陣具有相

13、同的秩.,與對(duì)稱矩陣合同的矩陣也是對(duì)稱矩陣.,等價(jià),5、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法有,拉格朗日配方法 行列對(duì)稱初等變換 正交變換法,P1TAP表示對(duì)A作一次列初等變換的同時(shí)還必須對(duì)A作一 次同類型行初等變換，即對(duì)A作行列對(duì)稱初等變換。,6、行列對(duì)稱初等變換,設(shè)對(duì)稱矩陣A可由可逆矩陣P合同于對(duì)角矩陣，即,7、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟,8、正定二次型,1）定義6.8 設(shè)n元實(shí)二次型f(x1, x2, , xn)=XTAX，如果對(duì)任意0 xRn，都有f(x1, x2, , xn)=XTAX0，則稱f(x1, x2, , xn)為正定二次型。稱二次型矩陣A為正定矩陣.,2）定理6.11 n元實(shí)二次型正定的充要條件是它的正慣性 指數(shù)等于n。,3）定理6.12 n元實(shí)二次型f(x1, x2, , xn)=XTAX正定的充 要條件是A的全部特征值都是正數(shù)。,4) 定理6.13 實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充要條件是存在可逆矩陣 P，使 PTAP=E,推論 正定矩陣A的行列式大于零。,5) 定理6.14(Sylvester定理) 實(shí)二次型 f(x1, x2, xn) =XTAX= 正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于零。,七、習(xí)題,1、課本習(xí)題及作業(yè) 2、課件例題,八、考核形式與考試成績,考試采用閉卷形式。 平時(shí)成績共占40%，期末考試占60%。,聯(lián)系方式：,