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1、線性代數(shù)是最有趣最有價(jià)值的 大學(xué)數(shù)學(xué)課程 ----David C. Lay,廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)，物理學(xué)，數(shù)學(xué)，生物學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，力學(xué)，信號與信號處理，系統(tǒng)控制，通信，航空等學(xué)科和領(lǐng)域。 應(yīng)用于理工類的后繼課程，如電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理、機(jī)械振動(dòng)、機(jī)器人學(xué)等課程。,線性方程組的應(yīng)用,劍橋減肥食譜問題,一種在20世紀(jì)80年代很流行的食譜，稱為劍橋食譜，是經(jīng)過多年研究編制出來的。這是由Alan H. Howard博士領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)家團(tuán)隊(duì)經(jīng)過8年對過度肥胖病人的臨床研究，在劍橋大學(xué)完成的。這
2、種低熱量的粉狀食品精確地平衡了碳水化合物、高質(zhì)量的蛋白質(zhì)和脂肪、配合維生素、礦物質(zhì)、微量元素和電解質(zhì)。為得到所希望的數(shù)量和比例的營養(yǎng)，Howard博士在食譜中加入了多種食品。每種食品供應(yīng)了多種所需要的成分，然而沒有按正確的比例。例如，,脫脂牛奶是蛋白質(zhì)的主要來源但包含過多的鈣，因此大豆粉用來作為蛋白質(zhì)的來源，它包含較少量的鈣。然而大豆粉包含過多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪較少，然而乳清又含有過多的碳水化合物 在這里我們把問題簡化，看看這個(gè)問題小規(guī)模的情形。表1是該食譜中的3種食物以及100克每種食物成分含有某些營養(yǎng)素的數(shù)量。,如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多
3、少才能全面準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)這個(gè)營養(yǎng)要求？,以100克為一個(gè)單位，為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，設(shè)每日需食用的脫脂牛奶x1個(gè)單位，大豆面粉x2個(gè)單位，乳清x3個(gè)單位，則由所給條件得,MATLAB代碼如下：Untitled2.m,clear; A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1; b=33;45;3; U=rref(A,b),網(wǎng)絡(luò)流問題 當(dāng)科學(xué)家、工程師或者經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究一些數(shù)量在網(wǎng)絡(luò)中的流動(dòng)時(shí)自然推導(dǎo)出線性方程組。例如，城市規(guī)劃和交通工程人員監(jiān)控一個(gè)網(wǎng)絡(luò)狀的市區(qū)道路的交通流量模式；電氣工程師計(jì)算流經(jīng)電路的電流；以及經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析通過分銷商和零售商的網(wǎng)絡(luò)從制造商到顧客的產(chǎn)品銷售。許多網(wǎng)
4、絡(luò)中的方程組涉及成百甚至上千的變量和方程。 一個(gè)網(wǎng)絡(luò)包含一組稱為接合點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)集，并由稱為分支的線或弧連接部分或全部的節(jié)點(diǎn)。流的方向在每個(gè)分支上有標(biāo)示，流量（速度）也有顯示或用變量標(biāo)記。,網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)是全部流入網(wǎng)絡(luò)的總流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的總流量，且全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量。于是，對于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量可以用一個(gè)方程來描述。網(wǎng)絡(luò)分析的問題就是確定當(dāng)局部信息（如網(wǎng)絡(luò)的輸入）已知時(shí)，求每一分支的流量。,,電路問題,在工程技術(shù)中所遇到的電路，大多數(shù)是很復(fù)雜的，這些電路是由電器元件按照一定方式互相連接而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。在電路中，含有元件的導(dǎo)線稱為支路，而三條或三條以上的支路的會(huì)
5、合點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。電路網(wǎng)絡(luò)分析，粗略地說，就是求出電路網(wǎng)絡(luò)種各條支路上的電流和電壓。對于這類問題的計(jì)算，通常采用基爾霍夫（Kirchhoff）定律來解決。以圖3-2所示的電路網(wǎng)絡(luò)部分為例來加以說明。,于是求各個(gè)支路的電流就歸結(jié)為下面齊次線性方程組的求解,相應(yīng)MATLAB代碼為：dianliu.m clear A=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0; b=0;0;0;0; R,s=rref(A,b); r=length(s); disp(對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：) x=null(A,r),解之，得其解為,交通流問題 圖3
6、-3給出了某城市部分單行街道在一個(gè)下午早些時(shí)候的交通流量（每小時(shí)車輛數(shù)目）。計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的車流量。,,,,由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，有 對于節(jié)點(diǎn)A： 對于節(jié)點(diǎn)B： 對于節(jié)點(diǎn)C： 對于節(jié)點(diǎn)D： 對于節(jié)點(diǎn)E：,于是，所給問題可以歸結(jié)為如下線性方程組的求解。,,求解該問題的相應(yīng)MATLAB代碼：wangluo.m clear A=-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1; 1,0,-1,0,0,0; b=50;0;-60;50;-40; R,s=rref(A,b); m,n=size(A); x0=zeros(n,1); r=length(s);
7、 x0(s,:)=R(1:r,end); disp(非齊次線性方程組的特解為：) x0 disp(對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：) x=null(A,r),解這個(gè)方程組，得,,,其中：,馬爾科夫鏈,馬爾科夫鏈在許多學(xué)科如生物學(xué)、商業(yè)、化學(xué)、工程學(xué)及物理學(xué)等領(lǐng)域中被用來做數(shù)學(xué)模型。在每種情形中，該模型習(xí)慣上用來描述用同一種方法進(jìn)行多次的實(shí)驗(yàn)或測量，實(shí)驗(yàn)中每次測試的結(jié)果屬于幾個(gè)指定的可能結(jié)果之一，每次測試結(jié)果依賴于最近的前一次測試。,例如，若每年要統(tǒng)計(jì)一個(gè)城市及其郊區(qū)的人口，像 這樣的向量可以顯示60%的人口住在這個(gè)城市中，40%的人口住在郊區(qū)。 中的分量加起來等于1，是說明這個(gè)地區(qū)的總?cè)?/p>
8、口。,下面我們先看一個(gè)數(shù)值的例子,例 令 考慮系統(tǒng)：它的狀態(tài)由馬爾科夫鏈 描述，隨著時(shí)間的流逝，這個(gè)系統(tǒng)將有什么結(jié)果？,解 后面向量中的數(shù)值保留4位或5位有效數(shù)字。,,,繼續(xù)可得,,這些向量似乎是逼近 的。注意到下面,,,定義2 若P是隨機(jī)矩陣， 則滿足 的概率向量q稱為隨機(jī)矩陣P的穩(wěn)態(tài)向量。若隨機(jī)矩陣P的冪 僅包含正的數(shù)值，稱P是一個(gè)正則隨機(jī)矩陣。 在上例中，向量q是隨機(jī)矩陣P的穩(wěn)態(tài)向量。又,,,,,關(guān)于馬爾科夫鏈我們有下面的定理 定理 若P是一個(gè) 正則隨機(jī)矩陣，則P具有惟一的穩(wěn)態(tài)向量q。進(jìn)一步，若x0是任一個(gè)起始狀態(tài)，
9、且 ，則當(dāng) 時(shí)，馬爾科夫鏈 收斂到q。 這個(gè)定理的證明在有關(guān)馬爾科夫鏈的教科書可找到，這里不做證明。這個(gè)定理的奇妙之處在于初始狀,由于P2中每個(gè)數(shù)是嚴(yán)格正的，故P是一個(gè)正則隨機(jī)矩陣。,狀態(tài)對馬爾科夫鏈的長期行為沒有影響。下面舉一例說明求解隨機(jī)矩陣的穩(wěn)態(tài)向量的一種方法。,,,,例 設(shè) ，求P的穩(wěn)態(tài)向量。,對應(yīng)的MATLAB代碼為：weitai.m P=0.6,0.3;0.4,0.7; E=1,0;0,1; R,s=rref(P-E); r=length(s); x=null(P-E,r),聯(lián)合收入問題,已知三家公司X,Y,Z具有圖2-1所示的股份關(guān)系， 即X公
10、司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另兩家公司控制等等。,現(xiàn)設(shè)X，Y和Z公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬 元、10萬元、8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入 加上在其他公司的股份按比例的提成收入、試確定各 公司的聯(lián)合收入及實(shí)際收入。,現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計(jì)例,把飛行器的外形分成若干大的部件，每個(gè)部件沿著其表面又用三維的細(xì)網(wǎng)格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機(jī)身表面以及此表面內(nèi)外的空氣。對每個(gè)立方體列寫出空氣動(dòng)力學(xué)方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡化為線性方程。對一個(gè)飛行器，小立方體的數(shù)目可以多達(dá)400,000個(gè)，而要解
11、的聯(lián)立方程可能多達(dá)2,000,000個(gè)。,向量組的線性相關(guān)性的應(yīng)用,,藥方配制問題 通過中成藥藥方配制問題，理解向量組的線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量的線性表示以及向量空間等線性代數(shù)的知識。 問題：某中藥廠用9種中草藥A-I，根據(jù)不同的 比例配制成了7種特效藥，各用量成分見表1（單位：克）。,試解答： （1）某醫(yī)院要購買這7種特效藥，但藥廠的第3 號藥和第6號藥已經(jīng)賣完，請問能否用其他 特效藥配制出這兩種脫銷的藥品。 （2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新的特效藥，表2給出了三種新的特效藥的成分， 請問能否配制？如何配制？,解：（1）把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量: u1, u
12、2, u3, u4, u5 ,u6, u7 分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量 組的線性相關(guān)性。 若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的特效藥；若向量組線性相關(guān)，且能將 u3, u6 用其余向 量線性表示，則可以配制3號和6號藥品,問題（1）的分析與求解,Matlab代碼 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;5
13、5;0;35;6;50;25;10;20; U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 U0,r=rref(U) 計(jì)算結(jié)果為,,,特征值、特征向量的應(yīng)用,,下面的例子說明當(dāng) 時(shí)，(2)會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果。,項(xiàng) 表示由于貓頭鷹的捕食所引起的老鼠的死亡數(shù)量（事實(shí)上，一個(gè)貓頭鷹每月平均吃掉1000p只老鼠）。當(dāng)p=0.325時(shí)，預(yù)測該系統(tǒng)的發(fā)展趨勢。,也就是說，對應(yīng)每6只貓頭鷹，大約有13000只老鼠。,二次型的應(yīng)用,工程師、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家常常要尋找在一些特定集合內(nèi)的x值，使得二次型xTAx取最大值或最小值。具有代表性的是，這類問題可化為x是在一組單位向量中的變量的優(yōu)化問題。下面我
14、們將看到，這類條件優(yōu)化問題有一個(gè)有趣且精彩的解。我們還是從一個(gè)簡單的例子開始我們的討論。,,例 在下一年度，某縣政府計(jì)劃用一筆資金修x百公里的公路，修整y百平方公里的公園，政府部門必須確定在兩個(gè)項(xiàng)目上如何分配它的資金，如果可能的話，可以同時(shí)開始兩個(gè)項(xiàng)目，而不是僅開始一個(gè)項(xiàng)目。假設(shè)x和y必須滿足下面限制條件,,見圖5-12。每個(gè)陰影可行集合的點(diǎn)(x,y)表示一個(gè)可能的年度工作計(jì)劃，求在限制曲線 上的點(diǎn)，使資金利用達(dá)到最大。,,,,,,,,,,,,于是，最優(yōu)的工作計(jì)劃是修建 百公里的公路，修整 百平方公里的公園。最優(yōu)工作計(jì)劃是限制曲線和無差異曲線的切點(diǎn)，具有更大
15、效用的點(diǎn)(x,y)位于和限制曲線不相交的無差異曲線上，見圖5-13。,可逆矩陣的應(yīng)用,密碼問題,矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是 基于利用可逆矩陣的方法。先在26個(gè)英文字母與數(shù)字 間建立起一一對應(yīng)，例如可以是,若要發(fā)出信息“SEND MONEY”，使用上述代碼，則此信息的編碼是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸的是，這種編碼很容易被別人破譯。在一個(gè)較長的信息編碼中，人們會(huì)根據(jù)那個(gè)出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值而猜出它代表的是哪個(gè)字母，比如上述編碼中出現(xiàn)最多次的數(shù)值時(shí)5，人們自,為了構(gòu)造“密鑰”矩陣A，我們可以從單位陣I開始，有 限次地使用第三類初等行變換，
16、而且只用某行的整數(shù) 倍加到另一行，當(dāng)然，第一類初等行變換也能使用。 這樣得到的矩陣A，其元素均為整數(shù)，而且由于|A|= 1可知， A-1的元素必然均為整數(shù)。,矩陣對角化的應(yīng)用,行業(yè)就業(yè)人數(shù)預(yù)測,設(shè)某中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有30萬人從事農(nóng)、工、 商工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社 會(huì)調(diào)查表明： （1）在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事 農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè)，6萬人經(jīng)商。 （2）在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10% 改為經(jīng)商。 （3）在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10% 改為經(jīng)商。 （4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10% 改為務(wù)工。 現(xiàn)欲預(yù)
17、測一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及 經(jīng)過多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢。,解 若用3維向量 表示第i年后從事這三種職業(yè) 的人員總數(shù)，則已知 而欲求 ， 并考察在 時(shí) 的發(fā)展趨勢。 依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為,即,人口遷徙問題,設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ摹?人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變 化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的 郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時(shí)有30%的居民住在市 區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居 民人口比例是多少？30年、50年后又如何？,分析與求解,這個(gè)問題可以用矩陣乘法
18、來描述。把人口變量用市區(qū) 和郊區(qū)兩個(gè)分量表示，設(shè)市區(qū)和郊區(qū)初始人口數(shù)量分 別為：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后， 市區(qū)人口為 xc1 (10.06) xc00.02xs0， 郊區(qū)人口 xs1 0.06xc0 (10.02)xs0 用矩陣乘法來描述，可寫成：,建立模型并用MATLAB求解,從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式 可寫為 輸入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 得到：,人口分布趨勢分析,無限增加時(shí)間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。 為了弄清為什么這個(gè)過程趨向于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值。先求A的特征值和特征向量，得到,將A對角化,,,人口分布的趨勢 式中的第二項(xiàng)會(huì)隨著k的增大趨向于零。如果只取小數(shù)點(diǎn)后兩位，則只要k27，這第二項(xiàng)就可以忽略不計(jì)，從而得到 。,THANKS,
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