人教版九年級(jí)上冊(cè) 期末試卷(1)
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人教版九年級(jí)上冊(cè) 期末試卷(1) 一、精心選一選(本大題共10小題,每小題3分,共30分.每小題給出四個(gè)答案,其中只有一個(gè)是正確的) 1.(3分)下列方程中,關(guān)于x的一元二次方程是( ?。? A.3(x+1)2=2(x+1) B. C.a(chǎn)x2+bx+c=0 D.x2+2x=x2﹣1 2.(3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將其折疊,使AB邊落在對(duì)角線AC上,得到折痕AE,則點(diǎn)E到點(diǎn)B的距離為( ) A. B.2 C. D.3 3.(3分)在一個(gè)四邊形ABCD中,依次連接各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是菱形,則對(duì)角線AC與BD需要滿足條件是( ) A.垂直 B.相等 C.垂直且相等 D.不再需要條件 4.(3分)已知點(diǎn)A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(3,y3)都在反比例函數(shù)y=的圖象上,則( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 5.(3分)學(xué)生冬季運(yùn)動(dòng)裝原來每套的售價(jià)是100元,后經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià),現(xiàn)在的售價(jià)是81元,則平均每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是( ) A.9% B.8.5% C.9.5% D.10% 6.(3分)甲、乙兩地相距60km,則汽車由甲地行駛到乙地所用時(shí)間y(小時(shí))與行駛速度x(千米/時(shí))之間的函數(shù)圖象大致是( ) A. B. C. D. 7.(3分)二次三項(xiàng)式x2﹣4x+3配方的結(jié)果是( ?。? A.(x﹣2)2+7 B.(x﹣2)2﹣1 C.(x+2)2+7 D.(x+2)2﹣1 8.(3分)函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(1,﹣1),則函數(shù)y=kx﹣2的圖象是( ?。? A. B. C. D. 9.(3分)如圖,矩形ABCD,R是CD的中點(diǎn),點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng),E,F(xiàn)分別是AM,MR的中點(diǎn),則EF的長隨著M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)( ?。? A.變短 B.變長 C.不變 D.無法確定 10.(3分)如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=上,且OA=4,過A作AC⊥x軸,垂足為C,OA的垂直平分線交OC于B,則△ABC的周長為( ) A. B.5 C. D. 二、你能填得又快又準(zhǔn)嗎?(共8小題,每題4分,共32分) 11.(4分)反比例函數(shù)的圖象在一、三象限,則k應(yīng)滿足 . 12.(4分)把一個(gè)三角形改做成和它相似的三角形,如果面積縮小到原來的倍,那么邊長應(yīng)縮小到原來的 倍. 13.(4分)已知一元二次方程(a﹣1)x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一個(gè)根為零,則a的值為 . 14.(4分)已知==,則 = ?。? 15.(4分)如圖,雙曲線上有一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,△AOB的面積為2,則該雙曲線的表達(dá)式為 ?。? 16.(4分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,則CD= ?。? 17.(4分)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD交于點(diǎn)O,S△AOD:S△COB=1:9,則S△DOC:S△BOC= . 18.(4分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,DE∥BC.若AD=4,DB=2,則的值為 ?。? 三、解答題:(共9道題,總分88分) 19.(8分)解方程 (1)2x2﹣2x﹣5=0; (2)(y+2)2=(3y﹣1)2. 20.(8分)已知,如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱,AB=5m,某一時(shí)刻AB在陽光下的投影BC=3m. (1)請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在陽光下的投影; (2)在測量AB的投影時(shí),同時(shí)測量出DE在陽光下的投影長為6m,請(qǐng)你計(jì)算DE的長. 21.(10分)如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF. (1)線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?并說明理由. 22.(10分)已知甲同學(xué)手中藏有三張分別標(biāo)有數(shù)字,,1的卡片,乙同學(xué)手中藏有三張分別標(biāo)有1,3,2的卡片,卡片外形相同.現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片,并將它們的數(shù)字分別記為a,b. (1)請(qǐng)你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果. (2)現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則:若所選出的a,b能使得ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則稱甲獲勝;否則稱乙獲勝.請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則公平嗎?請(qǐng)你用概率知識(shí)解釋. 23.(10分)如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF. (1)試說明AC=EF; (2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形. 24.(10分)如圖,已知A (﹣4,n),B (2,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn); (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; (2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積; (3)求不等式的解集(請(qǐng)直接寫出答案). 25.(10分)某商場禮品柜臺(tái)元旦期間購進(jìn)大量賀年卡,一種賀年卡平均每天可售出500張,每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元,那么商場平均每天可多售出100張,商場要想平均每天盈利120元,每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元? 26.(10分)如圖,P1、P2是反比例函數(shù)(k>0)在第一象限圖象上的兩點(diǎn),點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0),若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形. (1)求此反比例函數(shù)的解析式; (2)求A2點(diǎn)的坐標(biāo). 27.(12分)如圖,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,動(dòng)點(diǎn)E(與點(diǎn)A,C不重合)在AC邊上,EF∥AB交BC于F點(diǎn). (1)當(dāng)△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí),求CE的長; (2)當(dāng)△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時(shí),求CE的長; (3)試問在AB上是否存在點(diǎn)P,使得△EFP為等腰直角三角形?若不存在,請(qǐng)簡要說明理由;若存在,請(qǐng)求出EF的長. 參考答案與試題解析 一、精心選一選(本大題共10小題,每小題3分,共30分.每小題給出四個(gè)答案,其中只有一個(gè)是正確的) 1.(3分)下列方程中,關(guān)于x的一元二次方程是( ?。? A.3(x+1)2=2(x+1) B. C.a(chǎn)x2+bx+c=0 D.x2+2x=x2﹣1 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義. 【分析】一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn): (1)只含有一個(gè)未知數(shù); (2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2; (3)是整式方程. (4)二次項(xiàng)系數(shù)不為0. 【解答】解: A、3(x+1)2=2(x+1)化簡得3x2+4x﹣4=0,是一元二次方程,故正確; B、方程不是整式方程,故錯(cuò)誤; C、若a=0,則就不是一元二次方程,故錯(cuò)誤; D、是一元一次方程,故錯(cuò)誤. 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程: 首先要看是不是整式方程; 然后看化簡后是不是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 這是一個(gè)需要識(shí)記的內(nèi)容. 2.(3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將其折疊,使AB邊落在對(duì)角線AC上,得到折痕AE,則點(diǎn)E到點(diǎn)B的距離為( ?。? A. B.2 C. D.3 【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);勾股定理;矩形的性質(zhì). 【專題】幾何圖形問題. 【分析】由于AE是折痕,可得到AB=AF,BE=EF,設(shè)出未知數(shù),在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程,通過解方程可得答案. 【解答】解:設(shè)BE=x, ∵AE為折痕, ∴AB=AF,BE=EF=x,∠AFE=∠B=90°, Rt△ABC中,AC===5, ∴Rt△EFC中,F(xiàn)C=5﹣3=2,EC=4﹣X, ∴(4﹣x)2=x2+22, 解得x=. 故選A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問題、勾股定理和矩形的性質(zhì);解題中,找準(zhǔn)相等的量是正確解答題目的關(guān)鍵. 3.(3分)在一個(gè)四邊形ABCD中,依次連接各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是菱形,則對(duì)角線AC與BD需要滿足條件是( ?。? A.垂直 B.相等 C.垂直且相等 D.不再需要條件 【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形. 【分析】因?yàn)榱庑蔚乃倪呄嗟?,再根?jù)三角形的中位線定理可得,對(duì)角線AC與BD需要滿足條件是相等. 【解答】解:∵四邊形EFGH是菱形, ∴EH=FG=EF=HG=BD=AC,故AC=BD. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題很簡單,考查的是三角形中位線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于牢記有關(guān)的判定定理,難度不大. 4.(3分)已知點(diǎn)A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(3,y3)都在反比例函數(shù)y=的圖象上,則( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可. 【解答】解:∵k>0,函數(shù)圖象在一,三象限,由題意可知,點(diǎn)A、B在第三象限,點(diǎn)C在第一象限, ∵第三象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)總小于第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo), ∴y3最大, ∵在第三象限內(nèi),y隨x的增大而減小, ∴y2<y1. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】在反比函數(shù)中,已知各點(diǎn)的橫坐標(biāo),比較縱坐標(biāo)的大小,首先應(yīng)區(qū)分各點(diǎn)是否在同一象限內(nèi).在同一象限內(nèi),按同一象限內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)來比較,不在同一象限內(nèi),按坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)來比較. 5.(3分)學(xué)生冬季運(yùn)動(dòng)裝原來每套的售價(jià)是100元,后經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià),現(xiàn)在的售價(jià)是81元,則平均每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是( ) A.9% B.8.5% C.9.5% D.10% 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用. 【專題】增長率問題. 【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是x,則第一次降價(jià)后的價(jià)格是100(1﹣x),第二次降價(jià)后的價(jià)格是100(1﹣x)(1 ﹣x),根據(jù)“現(xiàn)在的售價(jià)是81元”作為相等關(guān)系列方程求解. 【解答】解:設(shè)平均每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是x,依題意得100(1﹣x)2=81, 解方程得x1=0.1,x2=1.9(舍去) 所以平均每次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是10%. 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用增長率(下降率)的模型解題.若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b.(當(dāng)增長時(shí)中間的“±”號(hào)選“+”,當(dāng)降低時(shí)中間的“±”號(hào)選“﹣”) 6.(3分)甲、乙兩地相距60km,則汽車由甲地行駛到乙地所用時(shí)間y(小時(shí))與行駛速度x(千米/時(shí))之間的函數(shù)圖象大致是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)實(shí)際意義,寫出函數(shù)的解析式,根據(jù)函數(shù)的類型,以及自變量的取值范圍即可進(jìn)行判斷. 【解答】解:根據(jù)題意可知時(shí)間y(小時(shí))與行駛速度x(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為:y=(x>0),所以函數(shù)圖象大致是B. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際意義列出函數(shù)關(guān)系式從而判斷它的圖象類型,要注意自變量x的取值范圍,結(jié)合自變量的實(shí)際范圍作圖. 7.(3分)二次三項(xiàng)式x2﹣4x+3配方的結(jié)果是( ?。? A.(x﹣2)2+7 B.(x﹣2)2﹣1 C.(x+2)2+7 D.(x+2)2﹣1 【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用. 【分析】在本題中,若所給的式子要配成完全平方式,常數(shù)項(xiàng)應(yīng)該是一次項(xiàng)系數(shù)﹣4的一半的平方;可將常數(shù)項(xiàng)3拆分為4和﹣1,然后再按完全平方公式進(jìn)行計(jì)算. 【解答】解:x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=(x﹣2)2﹣1. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】在對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方時(shí),一般要將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后將常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行拆分,使得其中一個(gè)常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方. 8.(3分)函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(1,﹣1),則函數(shù)y=kx﹣2的圖象是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 【專題】待定系數(shù)法. 【分析】先根據(jù)函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(1,﹣1)求出k的值,然后求出函數(shù)y=kx﹣2的解析式,再根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)解答. 【解答】解:∵圖象經(jīng)過(1,﹣1), ∴k=xy=﹣1, ∴函數(shù)解析式為y=﹣x﹣2, 所以函數(shù)圖象經(jīng)過(﹣2,0)和(0,﹣2). 故選A. 【點(diǎn)評(píng)】主要考查一次函數(shù)y=kx+b的圖象.當(dāng)k<0,b<0時(shí),函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限. 9.(3分)如圖,矩形ABCD,R是CD的中點(diǎn),點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng),E,F(xiàn)分別是AM,MR的中點(diǎn),則EF的長隨著M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)( ?。? A.變短 B.變長 C.不變 D.無法確定 【考點(diǎn)】三角形中位線定理;矩形的性質(zhì). 【專題】壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型. 【分析】易得EF為三角形AMR的中位線,那么EF長恒等于定值A(chǔ)R的一半. 【解答】解:∵E,F(xiàn)分別是AM,MR的中點(diǎn), ∴EF=AR, ∴無論M運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置EF的長不變,故選C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線等于第三邊的一半的性質(zhì). 10.(3分)如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=上,且OA=4,過A作AC⊥x軸,垂足為C,OA的垂直平分線交OC于B,則△ABC的周長為( ) A. B.5 C. D. 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題. 【專題】綜合題;壓軸題;數(shù)形結(jié)合. 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB,由此推出△ABC的周長=OC+AC,設(shè)OC=a,AC=b,根據(jù)勾股定理和函數(shù)解析式即可得到關(guān)于a、b的方程組,解之即可求出△ABC的周長. 【解答】解:∵OA的垂直平分線交OC于B, ∴AB=OB, ∴△ABC的周長=OC+AC, 設(shè)OC=a,AC=b, 則:, 解得a+b=2, 即△ABC的周長=OC+AC=2. 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象性質(zhì)和線段中垂線性質(zhì),以及勾股定理的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵是一個(gè)轉(zhuǎn)換思想,即把求△ABC的周長轉(zhuǎn)換成求OC+AC即可解決問題. 二、你能填得又快又準(zhǔn)嗎?(共8小題,每題4分,共32分) 11.(4分)反比例函數(shù)的圖象在一、三象限,則k應(yīng)滿足 k>﹣2?。? 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì). 【分析】由于反比例函數(shù)的圖象在一、三象限內(nèi),則k+2>0,解得k的取值范圍即可. 【解答】解:由題意得,反比例函數(shù)的圖象在二、四象限內(nèi), 則k+2>0, 解得k>﹣2. 故答案為k>﹣2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì),重點(diǎn)是注意y=(k≠0)中k的取值,①當(dāng)k>0時(shí),反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限;②當(dāng)k<0時(shí),反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限. 12.(4分)把一個(gè)三角形改做成和它相似的三角形,如果面積縮小到原來的倍,那么邊長應(yīng)縮小到原來的 倍. 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可. 【解答】解:∵改做的三角形與原三角形相似,且面積縮小到原來的倍, ∴邊長應(yīng)縮小到原來的倍. 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 13.(4分)已知一元二次方程(a﹣1)x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一個(gè)根為零,則a的值為 ﹣4 . 【考點(diǎn)】一元二次方程的解;一元二次方程的定義. 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立;將x=0代入原方程即可求得a的值. 【解答】解:把x=0代入一元二次方程(a﹣1)x2+7ax+a2+3a﹣4=0, 可得a2+3a﹣4=0, 解得a=﹣4或a=1, ∵二次項(xiàng)系數(shù)a﹣1≠0, ∴a≠1, ∴a=﹣4. 故答案為:﹣4. 【點(diǎn)評(píng)】本題逆用一元二次方程解的定義易得出a的值,但不能忽視一元二次方程成立的條件a﹣1≠0,因此在解題時(shí)要重視解題思路的逆向分析. 14.(4分)已知==,則 = ?。? 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì). 【分析】根據(jù)已知比例關(guān)系,用未知量k分別表示出a、b和c的值,代入原式中,化簡即可得到結(jié)果. 【解答】解:設(shè)===k, ∴a=5k,b=3k,c=4k, ∴===, 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 15.(4分)如圖,雙曲線上有一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,△AOB的面積為2,則該雙曲線的表達(dá)式為 y=﹣?。? 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義. 【專題】壓軸題;數(shù)形結(jié)合. 【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限判斷出k的符號(hào),再根據(jù)S△AOB=2求出k的值即可. 【解答】解:∵反比例函數(shù)的圖象在二、四象限,∴k<0, ∵S△AOB=2,∴|k|=4,∴k=﹣4,即可得雙曲線的表達(dá)式為:y=﹣, 故答案為:y=﹣. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例系數(shù)k的幾何意義,即在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)象坐標(biāo)軸作垂線,這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是,且保持不變. 16.(4分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,則CD= 2?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì). 【分析】首先證△ACD∽△CBD,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD的長. 【解答】解:Rt△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB; ∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A; 又∵∠ADC=∠CDB=90°, ∴△ACD∽△CBD; ∴CD2=AD?BD=4,即CD=2. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì). 17.(4分)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD交于點(diǎn)O,S△AOD:S△COB=1:9,則S△DOC:S△BOC= 1:3 . 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);梯形. 【專題】壓軸題. 【分析】根據(jù)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC,易得△AOD∽△COB,且S△AOD:S△COB=1:9,可求=,則S△AOD:S△DOC=1:3,所以S△DOC:S△BOC=1:3. 【解答】解:根據(jù)題意,AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∵S△AOD:S△COB=1:9 ∴= 則S△AOD:S△DOC=1:3 所以S△DOC:S△BOC=3:9=1:3. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),相似三角形面積的比等于相似比的平方. 18.(4分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,DE∥BC.若AD=4,DB=2,則的值為 ?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì). 【分析】由AD=3,DB=2,即可求得AB的長,又由DE∥BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得DE:BC=AD:AB,則可求得答案. 【解答】解:∵AD=4,DB=2, ∴AB=AD+BD=4+2=6, ∵DE∥BC, △ADE∽△ABC,∴=, 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線分線段成比例定理.此題比較簡單,注意掌握比例線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵. 三、解答題:(共9道題,總分88分) 19.(8分)解方程 (1)2x2﹣2x﹣5=0; (2)(y+2)2=(3y﹣1)2. 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法. 【分析】(1)利用求根公式計(jì)算即可; (2)利用因式分解可得到(4y+1)(3﹣2y)=0,可求得方程的解. 【解答】解: (1)∵a=2,b=﹣2,c=﹣5, ∴△=(﹣2)2﹣4×2×(﹣5)=48>0, ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, ∴x==, 即x1=,x2=, (2)移項(xiàng)得(y+2)2﹣(3y﹣1)2=0, 分解因式得(4y+1)(3﹣2y)=0, 解得y1=﹣,y2=. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵. 20.(8分)已知,如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱,AB=5m,某一時(shí)刻AB在陽光下的投影BC=3m. (1)請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在陽光下的投影; (2)在測量AB的投影時(shí),同時(shí)測量出DE在陽光下的投影長為6m,請(qǐng)你計(jì)算DE的長. 【考點(diǎn)】平行投影;相似三角形的性質(zhì);相似三角形的判定. 【專題】計(jì)算題;作圖題. 【分析】(1)根據(jù)投影的定義,作出投影即可; (2)根據(jù)在同一時(shí)刻,不同物體的物高和影長成比例;構(gòu)造比例關(guān)系.計(jì)算可得DE=10(m). 【解答】解:(1)連接AC,過點(diǎn)D作DF∥AC,交直線BC于點(diǎn)F,線段EF即為DE的投影. (2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE. ∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF. ∴,∴∴DE=10(m). 說明:畫圖時(shí),不要求學(xué)生做文字說明,只要畫出兩條平行線AC和DF,再連接EF即可. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行投影特點(diǎn):在同一時(shí)刻,不同物體的物高和影長成比例.要求學(xué)生通過投影的知識(shí)并結(jié)合圖形解題. 21.(10分)如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF. (1)線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?并說明理由. 【考點(diǎn)】矩形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì). 【專題】證明題. 【分析】(1)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量代換即可得證; (2)先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形,再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC. 【解答】解:(1)BD=CD. 理由如下:依題意得AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE, ∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE, 在△AEF和△DEC中, , ∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD, ∵AF=BD,∴BD=CD; (2)當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時(shí),四邊形AFBD是矩形. 理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四邊形AFBD是平行四邊形, ∵AB=AC,BD=CD(三線合一),∴∠ADB=90°,∴?AFBD是矩形. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,是基礎(chǔ)題,明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵. 22.(10分)已知甲同學(xué)手中藏有三張分別標(biāo)有數(shù)字,,1的卡片,乙同學(xué)手中藏有三張分別標(biāo)有1,3,2的卡片,卡片外形相同.現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片,并將它們的數(shù)字分別記為a,b. (1)請(qǐng)你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果. (2)現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則:若所選出的a,b能使得ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則稱甲獲勝;否則稱乙獲勝.請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則公平嗎?請(qǐng)你用概率知識(shí)解釋. 【考點(diǎn)】游戲公平性;根的判別式;列表法與樹狀圖法. 【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后根據(jù)樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果; (2)利用一元二次方程根的判別式,即可判定各種情況下根的情況,然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率,比較概率大小,即可確定這樣的游戲規(guī)是否公平. 【解答】解:(1)畫樹狀圖得: ∵(a,b)的可能結(jié)果有(,1)、(,3)、(,2)、(,1)、(,3)、(,2)、(1,1)、(1,3)及(1,2), ∴(a,b)取值結(jié)果共有9種; (2)∵當(dāng)a=,b=1時(shí),△=b2﹣4ac=﹣1<0,此時(shí)ax2+bx+1=0無實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=,b=3時(shí),△=b2﹣4ac=7>0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=,b=2時(shí),△=b2﹣4ac=2>0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=,b=1時(shí),△=b2﹣4ac=0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=,b=3時(shí),△=b2﹣4ac=8>0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=,b=2時(shí),△=b2﹣4ac=3>0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=1,b=1時(shí),△=b2﹣4ac=﹣3<0,此時(shí)ax2+bx+1=0無實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=1,b=3時(shí),△=b2﹣4ac=5>0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)a=1,b=2時(shí),△=b2﹣4ac=0,此時(shí)ax2+bx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, ∴P(甲獲勝)=P(△>0)=>P(乙獲勝)=, ∴這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲有利,不公平. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率,概率相等就公平,否則就不公平. 23.(10分)如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF. (1)試說明AC=EF; (2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形. 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定;等邊三角形的性質(zhì). 【分析】(1)首先由Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又由△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后證得△AFE≌△BCA,繼而證得結(jié)論; (2)根據(jù)(1)知道EF=AC,而△ACD是等邊三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形. 【解答】證明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°, ∴AB=2BC, 又∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB, ∴AB=2AF ∴AF=BC, 在Rt△AFE和Rt△BCA中, , ∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL), ∴AC=EF; (2)∵△ACD是等邊三角形, ∴∠DAC=60°,AC=AD, ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB, ∴EF∥AD, ∵AC=EF,AC=AD, ∴EF=AD, ∴四邊形ADFE是平行四邊形. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意證得Rt△AFE≌Rt△BCA是關(guān)鍵. 24.(10分)如圖,已知A (﹣4,n),B (2,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn); (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; (2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積; (3)求不等式的解集(請(qǐng)直接寫出答案). 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題. 【專題】計(jì)算題;壓軸題;待定系數(shù)法. 【分析】(1)把A(﹣4,n),B(2,﹣4)分別代入一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=,運(yùn)用待定系數(shù)法分別求其解析式; (2)把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進(jìn)行計(jì)算; (3)由圖象觀察函數(shù)y=的圖象在一次函數(shù)y=kx+b圖象的上方,對(duì)應(yīng)的x的范圍. 【解答】解:(1)∵B(2,﹣4)在y=上, ∴m=﹣8. ∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣. ∵點(diǎn)A(﹣4,n)在y=﹣上, ∴n=2. ∴A(﹣4,2). ∵y=kx+b經(jīng)過A(﹣4,2),B(2,﹣4), ∴. 解之得 . ∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣2. (2)∵C是直線AB與x軸的交點(diǎn), ∴當(dāng)y=0時(shí),x=﹣2. ∴點(diǎn)C(﹣2,0). ∴OC=2. ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6. (3)不等式的解集為:﹣4<x<0或x>2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k,求出函數(shù)解析式;要能夠熟練借助直線和y軸的交點(diǎn)運(yùn)用分割法求得不規(guī)則圖形的面積.同時(shí)間接考查函數(shù)的增減性,從而來解不等式. 25.(10分)某商場禮品柜臺(tái)元旦期間購進(jìn)大量賀年卡,一種賀年卡平均每天可售出500張,每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元,那么商場平均每天可多售出100張,商場要想平均每天盈利120元,每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元? 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用. 【專題】經(jīng)濟(jì)問題;壓軸題. 【分析】等量關(guān)系為:(原來每張賀年卡盈利﹣降價(jià)的價(jià)格)×(原來售出的張數(shù)+增加的張數(shù))=120,把相關(guān)數(shù)值代入求得正數(shù)解即可. 【解答】解:設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元,現(xiàn)在的利潤是(0.3﹣x)元,則商城多售出100x÷0.1=1000x張. (0.3﹣x)(500+1000x)=120, 解得x1=﹣0.3(降價(jià)不能為負(fù)數(shù),不合題意,舍去),x2=0.1. 答:每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元. 【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用;得到每降價(jià)x元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決本題的難點(diǎn);根據(jù)利潤得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵. 26.(10分)如圖,P1、P2是反比例函數(shù)(k>0)在第一象限圖象上的兩點(diǎn),點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0),若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形. (1)求此反比例函數(shù)的解析式; (2)求A2點(diǎn)的坐標(biāo). 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;等邊三角形的性質(zhì). 【分析】(1)首先作P1B⊥OA1于點(diǎn)B,由等邊△P1OA1中,OA1=2,可得OB=1,P1B=,繼而求得點(diǎn)P1的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的解析式; (2)首先作P2C⊥A1A2于點(diǎn)C,由等邊△P2A1A2,設(shè)A1C=a,可得P2C=,OC=2+a,然后把P2點(diǎn)坐標(biāo)(2+a,)代入,繼而求得a的值,則可求得A2點(diǎn)的坐標(biāo). 【解答】解:(1)作P1B⊥OA1于點(diǎn)B, ∵等邊△P1OA1中,OA1=2, ∴OB=1,P1B=, 把P1點(diǎn)坐標(biāo)(1,)代入, 解得:, ∴; (2)作P2C⊥A1A2于點(diǎn)C, ∵等邊△P2A1A2,設(shè)A1C=a, 則P2C=,OC=2+a, 把P2點(diǎn)坐標(biāo)(2+a,)代入, 即:, 解得,(舍去), ∴OA2=2+2a=, ∴A2(,0). 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式以及等邊三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用. 27.(12分)如圖,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,動(dòng)點(diǎn)E(與點(diǎn)A,C不重合)在AC邊上,EF∥AB交BC于F點(diǎn). (1)當(dāng)△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí),求CE的長; (2)當(dāng)△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時(shí),求CE的長; (3)試問在AB上是否存在點(diǎn)P,使得△EFP為等腰直角三角形?若不存在,請(qǐng)簡要說明理由;若存在,請(qǐng)求出EF的長. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì). 【專題】壓軸題. 【分析】(1)因?yàn)镋F∥AB,所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題; (2)根據(jù)周長相等,建立等量關(guān)系,列方程解答; (3)先畫出圖形,根據(jù)圖形猜想P點(diǎn)可能的位置,再找到相似三角形,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答. 【解答】解:(1)∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等 ∴S△ECF:S△ACB=1:2 又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB == ∵AC=4, ∴CE=; (2)設(shè)CE的長為x ∵△ECF∽△ACB ∴= ∴CF= 由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等, 得x+EF+x=(4﹣x)+5+(3﹣x)+EF 解得 ∴CE的長為; (3)△EFP為等腰直角三角形,有兩種情況: ①如圖1,假設(shè)∠PEF=90°,EP=EF 由AB=5,BC=3,AC=4,得∠C=90° ∴Rt△ACB斜邊AB上高CD= 設(shè)EP=EF=x,由△ECF∽△ACB,得: = 即= 解得x=,即EF= 當(dāng)∠EFP′=90°,EF=FP′時(shí),同理可得EF=; ②如圖2,假設(shè)∠EPF=90°,PE=PF時(shí),點(diǎn)P到EF的距離為EF 設(shè)EF=x,由△ECF∽△ACB,得: =,即= 解得x=,即EF= 綜上所述,在AB上存在點(diǎn)P,使△EFP為等腰直角三角形,此時(shí)EF=或EF=. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì),有一定的開放性,難點(diǎn)在于作出輔助線就具體情況進(jìn)行分類討論. 第29頁(共29頁)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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