課時作業(yè)(二十) 立體幾何

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1、課時作業(yè)(二十) 一、選擇題 1．若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為(　　) A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均不對 【解析】　l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且異面直線所成角的范圍為.應(yīng)選A. 【答案】　A 2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為(　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】　＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴直線AB、CD所成角

2、的余弦值為. 【答案】　A 3．正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝1.則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)． 取PD中點為E， 則E， ∴＝， 易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos，＝， ∴平面PAB與平面PCD的夾角為45°. 【答案】　B 4．(2014·陜西師大附中高二檢測)如圖3-2-29，在空間直角坐標(biāo)系Dxyz

3、中，四棱柱ABCD—A1B1C1D1為長方體，AA1＝AB＝2AD，點E、F分別為C1D1、A1B的中點，則二面角B1-A1B-E的余弦值為(　　) 圖3-2-29 A．－ B．－ C. D. 【解析】　設(shè)AD＝1，則A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因為E、F分別為C1D1、A1B的中點，所以E(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，設(shè)m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，則所以所以取x＝1，則y＝z＝1，所以平面A1BE的一個法向量為m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一個法向量，所

4、以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1-A1B-E為銳二面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值為，故選C. 【答案】　C 二、填空題 5．棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1、BB1的中點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是________． 【解析】　依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0,0)， M，C(0,1,0)，N， ∴＝，＝， ∴cos〈，〉＝＝， 故異面直線AM與CN所成角的余弦值為. 【答案】　 6．(2014·臨沂高二檢測)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，－2,0)、B(2,1，)，則向量與平面xOz的法向量

5、的夾角的正弦值為________． 【解析】　設(shè)平面xOz的法向量為n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3，)，所以cos〈n，〉＝＝，因為〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝. 【答案】　 7．已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于________． 【解析】　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2＝(x，y，z)． 所以A(1,0,0)，E，F(xiàn)， 所以＝，＝， 則即 取

6、x＝1，則y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝. 所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角α滿足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝. 【答案】　 三、解答題 8. 如圖3-2-30所示，在四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. 圖3-2-30 (1)求證：AO⊥平面BCD； (2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值． 【解】　　(1)證明：連結(jié)OC， 由題意知BO＝DO，AB＝AD， ∴AO⊥BD. 又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD. 在△AOC中，

7、由已知可得AO＝1，CO＝， 又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC. ∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)， E， ∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)， ∴cos〈，〉＝＝. ∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為. 9．四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上． (1)求證：平面AEC⊥平面PDB； (2)當(dāng)PD＝AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大?。? 【解】如圖

8、，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)AB＝a，PD＝h，則 A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)， (1)∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)， ∴·＝0，·＝0， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D， ∴AC⊥平面PDB， 又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB. (2)當(dāng)PD＝AB且E為PB的中點時，P(0,0，a)，E， 設(shè)AC∩BD＝O，O，連結(jié)OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角， ∵＝，＝， ∴cos∠AEO＝＝， ∴∠AE

9、O＝45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°. 1．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側(cè)棱BB1的中點，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為(　　) A．60° B．90° C．45° D．以上都不對 【解析】　以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 由題意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)． 設(shè)平面A1ED1的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則?

10、 令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)， cos〈n，〉＝＝＝－1. 所以〈n，〉＝180°. 所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90°. 【答案】　B 2．在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0，a)(a＞0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________. 【解析】　平面xOy的法向量為n＝(0,0,1)，設(shè)平面α的法向量為u＝(x，y，z)，則 即3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝. 而cos〈n，u〉＝＝， 又∵a＞0，∴a＝. 【答案】　 3. 三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，

11、則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(　　) 圖3-2-31 A. B. C. D. 【解析】　不妨設(shè)CA＝CC1＝2CB＝2， 則＝(－2,2,1)，＝(0，－2,1)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－. 因為直線BC1與直線AB1夾角為銳角，所以所求角的余弦值為. 【答案】　A 4. 如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點． 圖3-2-32 (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值． 【解】　(1)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的

12、空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4). 因為cos〈，〉＝＝＝， 所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因為＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個法向量．取平面AA1B的一個法向量為n2＝(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ. 由|cos θ|＝＝＝， 得sin θ＝. 因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.