全國各地名校2013年中考數(shù)學(xué)5月試卷分類匯編 判定說理型問題

判定說理型問題 一、選擇題 1、(2013年湖北荊州模擬6)甲乙丙丁四人一起到冷飲店買紅豆和桂園兩種雪糕，四個人購買的數(shù)量和總價分別如表所示，若其中一人的總價計算錯了，則此人是（ ▲） 甲 乙 丙 丁 紅豆雪糕（枝） 18 15 24 27 桂園雪糕（枝） 30 25 40 45 總價 396 330 528 585 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 答案：D 二、填空題 1、 三、解答題 1．（2013年北京順義區(qū)一模） 如圖1，在四邊形中，，分別是的中點，連結(jié) 并延長，分別與的延長線交于點，則（不需證明）． 小明的思路是：在圖1中，連結(jié)，取的中點，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì)，可證得． 問題：如圖2，在中，，點在上，，分別是的中點，連結(jié)并延長，與的延長線交于點，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明． 答案：判斷是直角三角形 證明：如圖連結(jié)，取的中點，連結(jié)，………………1分 是的中點， ∴，，………………… 2分 A B C D F G H E 1 2 3 ∴． 同理，， ∴． ∴， ∴． …………………………………………3分 ， ∴， ∴是等邊三角形．………………………………4分 ， ∴， ∴ ∴ 即是直角三角形．…………………………… 5分 2. 已知：半徑為1的⊙O1與軸交、兩點，圓心O1的坐標(biāo)為（2, 0)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點，與軸交于點 第2題圖 （1）求這個二次函數(shù)的解析式； （2）經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線與⊙O1相切，求直線的解析式； （3）若為二次函數(shù)的圖象上一點，且橫坐標(biāo)為2，點是軸上的任意一點，分別聯(lián)結(jié)、．試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由 答案：解：（1）由題意可知
---------- 1分 因為二次函數(shù)
的圖象經(jīng)過點
，
兩點 ∴
解得：
∴二次函數(shù)的解析式
--------------------------2分 （2）如圖，設(shè)直線與⊙O相切于點E，∴O1E⊥ ∵O1O=2, O1E=1 ，∴
過點E作EH⊥
軸于點H ∴
,
∴
,∴的解析式為：
----------------3分 根據(jù)對稱性，滿足條件的另一條直線的解析式為：
-----4分 ∴所求直線的解析式為：
或
（3）結(jié)論：
-----5分 理由：∵
為二次函數(shù)
的圖象上一點且橫坐標(biāo)為2， ∴
25. 當(dāng)點
重合時， 有
---------------6分 ②當(dāng)
， ∵直線
經(jīng)過點
、
， ∴直線
的解析式為
∵直線
與
軸相交于點
的坐標(biāo)為
∴
關(guān)于
軸對稱 聯(lián)結(jié)結(jié)
， ∴
，
-------------------7分 第2題圖 ∴
，
∵在
中，有
∴

綜上所述：
------------------------------------8分 3、(2013年江蘇南京一模)（8分）已知
、
、
三點均在
上，且
是等邊三角形． （1）如圖，用直尺和圓規(guī)作出
；（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）若點
是
上一點，連接
、
、
．探究
、
、
之間的等量關(guān)系并說明理由．
答案：（本題8分） （1）如圖；……………………………………………2分 A B C P O D （第1題） （2）PA＝PB＋PC．理由如下： ……………………3分 如圖，在PA上取點D，使得PD＝PC，連接CD． ∵ △ACB是等邊三角形， ∴ AB＝BC＝CA，∠APC＝∠ABC＝60°． ∴ △PCD是等邊三角形．……………………………5分 ∴ CD＝CP． ∵ ∠ACD+∠DCB＝60°， ∠BCP+∠DCB＝60°, ∴∠ACD=∠BCP ∴ △CAD≌△CBP． …………………………………7分 ∴ AD＝BP． ∴ PA＝PD＋AD＝PB＋PC．…………………………8分 4、（2013杭州江干區(qū)模擬）（本小題12分）已知拋物線
與
軸交于定點A和另一點C． (1)求定點A的坐標(biāo)． (2)以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為
的圓交拋物線
于點B，當(dāng)直線AB與圓相切時，求錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的解析式．
（第23題備用圖2） (3)在（2）中的拋物線上是否存在點P（P在點A的右上方），使△PAC、△PBC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
（第23題備用圖1） 【答案】（12分）解：（1）A(5,0) 2分 （2）如圖1，當(dāng)B在
軸上方時，求得
1分 代入得
1分 所以
1分 如圖2，當(dāng)B在
軸下方時，求得
1分
（第23題圖2） 代入得
1分 所以
(3)存在 1分 當(dāng)
時，
2分 當(dāng)
時，
2分 5、（2013年廣東省珠海市一模）觀察下列各式及證明過程： （1）
；（2）
；（3）
． 驗證：
；
． a．按照上述等式及驗證過程的基本思想，猜想
的變形結(jié)果并驗證； b．針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n≥1的自然數(shù)）表示的等式，并驗證． 解：（1）
驗證：
； （2）
或
驗證：
6、（2013山東德州特長展示）（本小題滿分12分） 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=
，將∠ABC對折，使點C的對應(yīng)點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系 （1）求過A、B、O三點的拋物線解析式； （2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由． （3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標(biāo)． B A C O H x y 解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=
， ∴AC=4． ∴AB=
． 設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°， ∴AH=AB－BH=2，OA=4－m． ∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得 m=
． ∴OC=
，OA=AC－OC=
， ∴O（0，0） A（
，0），B（－
，3）．…………………………………………2分 設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x－
）． 把x=
，y=3代入解析式，得a=
． ∴y=
x（x－
）=
． 即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=
．…………………………4分 （2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得： －

解之得 k= －
，b=
． ∴直線AB的解析式為y=
．………………………………………………6分 設(shè)動點P（t，
），則M（t，
）．………………………………7分 ∴d=（
）—（
）=—
=
∴當(dāng)t=
時，d有最大值，最大值為2．………………………………………………8分 y B A C O H x E2 E1 E3 D (3)設(shè)拋物線y=
的頂點為D． ∵y=
=
， ∴拋物線的對稱軸x=
，頂點D（
，－
）． 根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱． ①． 當(dāng)AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．這時點D即為點E，所以E點坐標(biāo)為（
）．……………………………………………………………………………10分 ②． 當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，由OA=
，知拋物線存在點E的橫坐標(biāo)為
或
，即
或
，分別把x=
和x=
代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=
中，得點 E（
，
）或E（－
，
）． 所以在拋物線上存在三個點：E1（
，－
），E2（
，
），E3（－
，
），使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．……………………………………………12分 7、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立. （1）當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（
）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由. （2）當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點G. ① 求證：BD⊥CF； ② 當(dāng)AB＝4，AD＝
時，求線段BG的長. 圖1 圖2 圖3 解（1）BD＝CF成立. 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD=
，∠CAF=
， ∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF. ∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分） （2）①證明：設(shè)BG交AC于點M. ∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM＝∠GCM. ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG. ∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分） ②過點F作FN⊥AC于點N. ∵在正方形ADEF中，AD＝
， ∴AN＝FN＝
. ∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4， ∴CN＝AC－AN＝3，BC＝
. Rt△FCN∽Rt△ABM，∴
∴AM＝

. ∴CM＝AC－AM＝4－
＝
，
.…… （9分） ∵△BMA ∽△CMG，∴
. ∴
. ∴CG＝
.…………………………………… （11分） ∴在Rt△BGC中，

. …………………….. （12分） 8、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (每小題8分，共16分) (1) 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點． 求證：四邊形ADEF是菱形． C A B D E F 第17(1)題圖 (2) 一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流速為多少？ (1) 證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點， ∴DEAC，EFAB， …………2分 ∴四邊形ADEF為平行四邊形． …………4分 又∵AC＝AB， ∴DE＝EF． …………6分 ∴四邊形ADEF為菱形． …………8分 (2) 解：設(shè)江水的流速為x千米/時，依題意，得： …………1分 ＝， ………………4分 解得：x＝5． ………………6分 經(jīng)檢驗：x＝5是原方程的解． …………7分 答：江水的流速為5千米/時． …………8分 A B C D E O x y F 9、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (12分)如圖，半徑為2的⊙E交x軸于A、B，交y軸于點C、D，直線CF交x軸負(fù)半軸于點F，連接EB、EC．已知點E的坐標(biāo)為(1，1)，∠OFC＝30°． (1) 求證：直線CF是⊙E的切線； (2) 求證：AB＝CD； (3) 求圖中陰影部分的面積． 解：(1) 過點E作EG⊥y軸于點G， ∵點E的坐標(biāo)為(1，1)，∴EG＝1． 在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝， ∴∠ECG＝30°． ………………1分 ∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°， ∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°． ………………2分 ∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°． 即CF⊥CE． ∴直線CF是⊙E的切線． ………………3分 (2) 過點E作EH⊥x軸于點H， ∵點E的坐標(biāo)為(1，1)， ∴EG＝EH＝1． ………………4分 在Rt△CEG與Rt△BEH中， ∵ ，∴Rt△CEG≌Rt△BEH． ∴CG＝BH． ………………6分 ∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG． ∴AB＝CD． ………………7分 (3) 連接OE， 在Rt△CEG中，CG＝＝， ∴OC＝＋1． ………………8分 同理：OB＝＋1． ………………9分 ∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°． 又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°． 同理：∠OEB＝105°． ………………10分 ∴∠OEB＋∠OEC＝210°． A B C D E x y F O G H ∴S陰影＝－×(＋1)×1×2＝－－1． ………………12分 10、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）（11分）以原點為圓心,
為半徑的圓分別交
、
軸的正半軸于A、B兩點,點P的坐標(biāo)為
. (1)如圖一，動點Q從點B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運(yùn)動一周,設(shè)經(jīng)過的時間為t秒，當(dāng)
時，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ.求此時點Q的運(yùn)動速度（結(jié)果保留
）； (2)若點Q按照⑴中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動， ①為何值時，以O(shè)、P、Q為頂點的三角形是直角三角形； ②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請求出直線PQ被⊙O所截的弦長. （補(bǔ)充說明：直角三角形中，如果一條直角邊長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.） 解：（1）連接OQ，則OQ⊥PQ OQ=1，OP=2，所以
，可得

所以點Q的運(yùn)動速度為
/秒. 3分 (2)由（1）可知，當(dāng)t=1時， △OPQ為直角三角形 所以，當(dāng)Q’與Q關(guān)于x軸對稱時，△OPQ’為直角三角形 此時

，
當(dāng)Q’(0，-1)或Q’(0，1)時，
， 此時
或
即當(dāng)
，
或
時，△OPQ是直角三角形. 7分 當(dāng)
或
時，直線PQ與⊙O相交. 作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法可知： PQ×OM=OQ×OP PQ=

QM
弦長
. 11分 11．(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (10分)有一個袋中摸球的游戲．設(shè)置了甲、乙兩種不同的游戲規(guī)則： 甲規(guī)則： 紅1 紅2 黃1 黃2 紅2 紅1 黃1 黃2 黃1 紅1 紅2 黃2 黃2 紅1 紅2 黃1 第一次 第二次 乙規(guī)則： 第一次 第二次 紅1 紅2 黃1 黃2 紅1 (紅1，紅1) (紅2，紅1) (黃1，紅1) ② 紅2 (紅1，紅2) (紅2，紅2) (黃1，紅2) (黃2，紅2) 黃1 (紅1，黃1) ① (黃1，黃1) (黃2，黃1) 黃2 (紅1，黃2) (紅2，黃2) (黃1，黃2) (黃2，黃2) 請根據(jù)以上信息回答下列問題： (1) 袋中共有小球_______個，在乙規(guī)則的表格中①表示_______，②表示_______； (2) 甲的游戲規(guī)則是：隨機(jī)摸出一個小球后______(填“放回”或“不放回”)，再隨機(jī)摸出一個小球； (3) 根據(jù)甲、乙兩種游戲規(guī)則，要摸到顏色相同的小球，哪一種可能性要大，請說明理由． 解：(1)
……1分； (紅2，黃1) ……2分； (黃2，紅1) ……3分 (2) 不放回 ………5分 (3) 乙游戲規(guī)則摸到顏色相同的小球的可能性更大． 理由：在甲游戲規(guī)則中，從樹形圖看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而顏色相同的兩個小球共有4種． …………6分 ∴P(顏色相同)＝＝． …………7分 在乙游戲規(guī)則中，從列表看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而顏色相同的兩個小球共有8種． ……………8分 ∴P(顏色相同) ＝＝． ……………9分 ∵＜， ∴乙游戲規(guī)則摸到顏色相同的小球的可能性更大． ……………10分