2013年中考數(shù)學專題復習講座 第二十三講 圓的有關概念及性質

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1、2013年中考數(shù)學專題復習第二十三講 圓的有關概念及性質 【基礎知識回顧】 圓的定義及性質： 圓的定義： ⑴形成性定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉形成的圖形叫做圓，固定的端點叫 線段OA叫做 ⑵描述性定義：圓是到定點的距離等于 的點的集合 【名師提醒：1、在一個圓中，圓←決定圓的 半徑決定圓的 2、直徑是圓中 的弦，弦不一定是錐】 2、弦與?。? 弦：連接圓上任意兩點的 叫做弦 ?。簣A上任意兩點間的 叫做弧，弧可分為

2、、 、 三類 3、圓的對稱性： ⑴軸對稱性：圓是軸對稱圖形，有 條對稱軸 的直線都是它的對稱軸 ⑵中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對稱圖形，而且具有旋轉 性，即繞圓心旋轉任意角度都被與原來的圖形重合】 垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：⑴過圓心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦

3、所對的優(yōu)?、善椒窒宜鶎Φ牧踊∥鍌€條件中的兩個，那么可推出其中三個，注意解題過程中的靈活運用 2、圓中常作的輔助線是過圓心作弦的 線 3、垂徑定理常用作計算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個可求另外兩個】 三、圓心角、弧、弦之間的關系： 1、圓心角定義：頂點在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們所對應的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】 圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點在 并且兩邊都和圓

4、 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對的圓周角 都等于這條弧所對的圓心角的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個圓周角 那么它們所對的弧 推論2、半圓（或直弦）所對的圓周角是 900的圓周角所對的弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對的圓心角只有一個，而 它所對的圓周角有 個，它們的關系是 作直弦所對的圓周角是圓中常作的輔助線】 圓內接四邊形： 定義：如果一個多邊形的所有頂點都在圓上，這個多邊形叫做 這個圓叫做 性質：圓

5、內接四邊形的對角 【名師提醒：圓內接平行四邊形是 圓內接梯形是 】 考點一：垂徑定理 例1 （2012?紹興）如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是： 甲：1、作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點， 2、連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形?????? 乙：1、以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點． 2、連接AB，BC，CA．△ABC即為所求的三角形． 對于甲、乙兩人的作法，可判斷（　?。? A．甲、乙均正確 B．甲、乙均錯誤 C．甲正確、乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確 考點：

6、垂徑定理；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形． 專題：計算題． 分析：由甲的思路畫出相應的圖形，連接OB，由BC為OD的垂直平分線，得到OE=DE，且BC與OD垂直，可得出OE為OD的一半，即為OB的一半，在直角三角形BOE中，根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半可得出此直角邊所對的角為30°，得到∠OBE為30°，利用直角三角形的兩銳角互余得到∠BOE為60°，再由∠BOE為三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等邊對等角及外角性質得到∠ABO也為30°，可得出∠ABC為60°，同理得到∠ACB也為60°，利用三角形的內角和定理得到∠BAC為60°，即三角形ABC三內角相等，進而確定三

7、角形ABC為等邊三角形； 由乙的思路畫出相應的圖形，連接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代換可得出三角形OBD三邊相等，即為等邊三角形，的長∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根據(jù)三線合一得到BE為角平分線，可得出∠OBE為30°，又∠BOE為三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等邊對等角及外角的性質得到∠ABO也為30°，可得出∠ABC為60°，同理得到∠ACB也為60°，利用三角形的內角和定理得到∠BAC為60°，即三角形ABC三內角相等，進而確定三角形ABC為等邊三角形，進而得出兩人的作法都正確． 解答：解：根據(jù)甲的思路，作出圖形如下： 連接OB，

8、∵BC垂直平分OD， ∴E為OD的中點，且OD⊥BC， ∴OE=DE=OD，又OB=OD， 在Rt△OBE中，OE=OB， ∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°， ∴∠BOE=60°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA， 又∠BOE為△AOB的外角， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°， 同理∠C=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC為等邊三角形， 故甲作法正確； 根據(jù)乙的思路，作圖如下： 連接OB，BD， ∵OD=BD，OD=OB， ∴OD=BD=OB， ∴△BOD為等邊三角

9、形， ∴∠OBD=∠BOD=60°， 又BC垂直平分OD，∴OM=DM， ∴BM為∠OBD的平分線， ∴∠OBM=∠DBM=30°， 又OA=OB，且∠BOD為△AOB的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°， 同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC為等邊三角形， 故乙作法正確， 故選A 點評：此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握定理及判定是解本題的關鍵． 對應訓練 1．（2012?哈爾濱）如圖，

10、⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，OP⊥AC于點P，OP=2，則⊙O的半徑為（　?。? A．4 B．6 C．8 D．12 考點：垂徑定理；含30度角的直角三角形；圓周角定理． 專題：計算題． 分析：由∠B的度數(shù)，利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，求出∠AOC的度數(shù)，再由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，利用三角形的內角和定理求出∠OAC=30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP為直角三角形，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)OP的長得出OA的長，即為圓O的半徑． 解答：解：∵圓心角∠AOC與圓周角∠B所對的弧都為，且∠

11、B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵OP⊥AC， ∴∠AOP=90°， 在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°， ∴OA=2OP=4， 則圓O的半徑4． 故選A 點評：此題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質，以及含30°直角三角形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵． 考點二：圓周角定理 例2 （2012?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點N，點M在⊙O上，∠1=∠C （1）求證：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直徑． 考點：圓周角定

12、理；垂徑定理；解直角三角形． 分析：（1）由∠C與∠M是 所對的圓周角，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD； （2）首先連接AC，AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得= ，繼而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM= ，即可求得⊙O的直徑． 解答：（1）證明：∵∠C與∠M是所對的圓周角， ∴∠C=∠M， 又∵∠1=∠C， ∴∠1=∠M， ∴CB∥MD； （2）解：連接AC， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， 又∵CD⊥AB， ∴

13、= ， ∴∠A=∠M， ∴sinA=sinM， 在Rt△ACB中，sinA=， ∵sinM=，BC=4， ∴AB=6， 即⊙O的直徑為6． 點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 對應訓練 37．（2012?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD （1）求證：BD平分∠ABC； （2）當∠ODB=30°時，求證：BC=OD． 考點：圓周角定理；含30度角的直角三角形；垂徑定理． 專題：證明題． 分析：（

14、1）由OD⊥AC OD為半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得 ，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC； （2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數(shù)，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD． 解答：證明：（1）∵OD⊥AC?? OD為半徑， ∴， ∴∠CBD=∠ABD， ∴BD平分∠ABC； （2）∵OB=OD， ∴∠OBD=∠0DB=30°， ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E， ∴∠OEA=90°， ∴∠A=180°

15、-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°， 又∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，BC=AB， ∵OD=AB， ∴BC=OD． 點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用． 考點三：圓內接四邊形的性質 例3 （2012?深圳）如圖，⊙C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A、點B，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內 上一點，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長為（　　） A．6 B．5 C．3 D．3 考點：圓內接四邊形的性質；坐標與圖形性質；含30

16、度角的直角三角形． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)圓內接四邊形的性質求出∠OAB的度數(shù)，由圓周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質即可得出AB的長，進而得出結論． 解答：解：∵四邊形ABMO是圓內接四邊形，∠BMO=120°， ∴∠BAO=60°， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°， ∵點A的坐標為（0，3）， ∴OA=3， ∴AB=2OA=6， ∴⊙C的半徑長==3． 故選C． 點評：本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理及直角三角形的性質，熟知圓內接四邊形對角互補

17、的性質是解答此題的關鍵． 對應訓練 3．（2011?肇慶）如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是BC延長線上一點，若∠BAD=105°，則∠DCE的大小是（　?。? A．115° B．l05° C．100° D．95° 考點：圓內接四邊形的性質． 專題：計算題． 分析：根據(jù)圓內接四邊形的對角互補得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD與∠DEC為鄰補角，得到∠DCE=∠BAD=105°． 解答：解：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形， ∴∠BAD+∠BCD=180°， 而∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠BAD， 而∠BAD=105°， ∴∠

18、DCE=105°． 故選B． 點評：本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補．也考查了鄰補角的定義以及等角的補角相等． 【聚焦山東中考】 1．（2012?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不成立的是（　　） A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 考點：垂徑定理． 專題：計算題． 分析：由直徑AB垂直于弦CD，利用垂徑定理得到M為CD的中點，B為劣弧的中點，可得出A和B選項成立，再由AM為公共邊，一對直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM與三角形ADM全等，

19、根據(jù)全等三角形的對應角相等可得出選項C成立，而OM不一定等于MD，得出選項D不成立． 解答：解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M， ∴M為CD的中點，即CM=DM，選項A成立； B為的中點，即，選項B成立； 在△ACM和△ADM中， ∵， ∴△ACM≌△ADM（SAS）， ∴∠ACD=∠ADC，選項C成立； 而OM與MD不一定相等，選項D不成立． 故選D 點評：此題考查了垂徑定理，以及全等三角形的判定與性質，垂徑定理為：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的弧，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵． 2．（2012?東營）某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖

20、1），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 cm． 2．30 考點：垂徑定理的應用；勾股定理． 分析：當圓柱形飲水桶的底面半徑最大時，圓外接于△ABC；連接外心與B點，可通過勾股定理即可求出圓的半徑． 解答：解：連接OB，如圖， 當⊙O為△ABC的外接圓時圓柱形飲水桶的底面半徑的最大． ∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm， ∴O點在AD上，BD=24cm； 在Rt△0BD中，設半徑為r，則OB=r，OD=48-r， ∴r2=（48-r）2+242，解得r=30． 即圓柱形飲水桶的

21、底面半徑的最大值為30cm． 故答案為：30． 點評：此題考查把實物圖轉化為幾何圖形的能力以及勾股定理，垂徑定理的討論和勾股定理． 3．（2012?泰安）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，點C是優(yōu)弧上一點（不與A，B重合），則cosC的值為 ． 3． 考點：圓周角定理；勾股定理；垂徑定理；銳角三角函數(shù)的定義． 分析：首先構造直徑所對圓周角，利用勾股定理得出BD的長，再利用cosC=cosD=求出即可． 解答：解：連接AO并延長到圓上一點D，連接BD， 可得AD為⊙O直徑，故∠ABD=90°， ∵半徑為5的⊙O中，弦AB=6，則AD=1

22、0， ∴BD==8， ∵∠D=∠C， ∴cosC=cosD===， 故答案為：． 點評：此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義和圓周角定理，根據(jù)已知構造直角三角形ABD是解題關鍵． 4．（2012?青島）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，則∠ABC的度數(shù)是 ． 4.150° 考點：圓周角定理． 分析：首先在優(yōu)弧上取點D，連接AD，CD，由圓周角定理，即可求得∠ADC的度數(shù)，又由圓的內接四邊形的性質，即可求得答案． 解答：解：在優(yōu)弧上取點D，連接AD，CD， ∵∠AOC=60°， ∴∠ADC=∠AOC=30°， ∵∠ABC+

23、∠ADC=180°， ∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°． 故答案為：150°． 點評：此題考查了圓周角定理與圓的內接四邊形的性質．此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法． 【備考真題過關】 一、選擇題 1．（2012?無錫）如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，P是⊙M上異于A、B的一動點，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于E、F，則EF的長（　?。? A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．隨P點位置的變化而變化 考點：垂徑定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質． 專題

24、：計算題． 分析：連接NE，設圓N半徑為r，ON=x，則OD=r-x，OC=r+x，證△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r2-x2=9，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出答案． 解答：解：連接NE， 設圓N半徑為r，ON=x，則OD=r-x，OC=r+x， ∵以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點， ∴OA=4+5=9，0B=5-4=1， ∵AB是⊙M的直徑， ∴∠APB=90°（直徑所對的圓周角是直角）， ∵∠BOD=90°， ∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°， ∵∠PBA=∠OBD

25、， ∴∠PAB=∠ODB， ∵∠APB=∠BOD=90°， ∴△OBD∽△OCA， ∴， 即， 解得：（r+x）（r-x）=9， r2-x2=9， 由垂徑定理得：OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9， 即OE=OF=3， ∴EF=2OE=6， 故選C． 點評：本題考查了勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出OE=OF和r2-x2=9，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力． 2．（2012?陜西）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（　

26、?。? A．3 B．4 C．3 D．4 考點：垂徑定理；勾股定理． 分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OM的長． 解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD， 由垂徑定理、勾股定理得：OM==3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB=90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四邊形MONP是正方形， ∴OP=3 故選C． 點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題

27、的關鍵是正確地作出輔助線． 3．（2012?黃岡）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，則⊙O的直徑為（　?。? A．8 B．10 C．16 D．20 考點：垂徑定理；勾股定理． 分析：連接OC，可知，點E為CD的中點，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=OC-BE，根據(jù)勾股定理，即可得出OC，即可得出直徑． 解答：解：連接OC，根據(jù)題意， CE=CD=6，BE=2． 在Rt△OEC中， 設OC=x，則OE=x-2， 故：（x-2）2+62=x2 解得：x=10 即直徑AB=20． 故選D． 點評：本題是對垂徑定理和解直角三

28、角形的綜合應用，解題的關鍵是利用勾股定理構造直角三角形． 4．（2012?河北）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點E，則下列結論正確的是（　　） A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE 考點：垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定． 分析：根據(jù)垂徑定理及相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判斷即可． 解答：解：∵CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點E， ∴AE=BE，，故A、B錯誤； ∵∠AEC不是圓心角， ∴∠D≠∠AEC，故C錯誤； ∵∠CEB=∠AED，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE∽△

29、CBE，故C正確． 故選D． 點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定，難度不大，是基礎題． 5．（2012?重慶）已知：如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（　?。? A．45° B．35° C．25° D．20° 考點：圓周角定理． 專題：探究型． 分析：直接根據(jù)圓周角定理進行解答即可． 解答：解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ACB=∠AOB=45°． 故選A． 點評：本題考查的是圓周角定理，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 6

30、．（2012?云南）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，連接AD、BC．若∠BAD=60°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。? A．40° B．50° C．60° D．70° 考點：圓周角定理． 分析：由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠BCD的度數(shù)． 解答：解：∵∠BAD與∠BCD是對的圓周角， ∴∠BCD=∠BAD=60°． 故選C． 點評：此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用． 7．（2012?襄陽）△ABC為⊙O的內接三角形，若∠AOC=160°，則∠

31、ABC的度數(shù)是（　　） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 考點：圓周角定理． 分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，由圓周角定理即可求得答案∠ABC的度數(shù)，又由圓的內接四邊四邊形性質，即可求得∠AB′C的度數(shù)． 解答：解：如圖，∵∠AOC=160°， ∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°， ∵∠ABC+∠AB′C=180°， ∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°． ∴∠ABC的度數(shù)是：80°或100°． 故選D． 點評：此題考查了圓周角定理與圓的內接四邊形的性質．此題難度不大，注意數(shù)形結合思想與分類討論思想的應

32、用，注意別漏解． 8．（2012?瀘州）如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B=60°，∠BOD=100°，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．50° B．60° C．70° D．80° 考點：圓周角定理． 分析：由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠A的度數(shù)，然后由三角形的內角和定理，即可求得∠C的度數(shù)． 解答：解：∵∠BOD=100°， ∴∠A=∠BOD=50°， ∵∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=70°． 故選C． 點評：此題考查了圓周角定理與三角形的內角和定理．此題難度不大，注意掌握在同圓或等圓

33、中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用是解此題的關鍵． 二、填空題 9．（2012?朝陽）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則⊙0的半徑為 5 ． 9．5 考點：垂徑定理；勾股定理． 分析：連接OD，由垂徑定理得求出DE，設⊙O的半徑是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可． 解答：解： 連接OD， ∵AB⊥CD，AB是直徑， ∴由垂徑定理得：DE=CE=3， 設⊙O的半徑是R， 在Rt△ODE中，由勾股

34、定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32， 解得：R=5， 故答案為：5． 點評：本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，用了方程思想，題目比較好，難度適中． 10．（2012?成都）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，則半徑OB的長為 2 ． 10．2 考點：垂徑定理；勾股定理． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)垂徑定理得出BC的長，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的長即可． 解答：解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=2， ∴BC=，AB=， ∵0C=1， ∴在Rt△OBC中，

35、OB=． 故答案為：2． 點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，先求出BC的長，再利用勾股定理求出OB的長是解答此題的關鍵． 11．（2012?嘉興）如圖，在⊙O中，直徑AB丄弦CD于點M，AM=18，BM=8，則CD的長為 24 ． 11．24 考點：垂徑定理；勾股定理． 專題：探究型． 分析：連接OD，由AM=18，BM=8可求出⊙O的半徑，利用勾股定理可求出MD的長，再根據(jù)垂徑定理即可得出CD的長． 解答：解：連接OD， ∵AM=18，BM=8， ∴OD===13， ∴OM=13-8=5， 在Rt△ODM中，DM=， ∵直徑AB丄弦CD

36、， ∴AB=2DM=2×12=24． 故答案為：24． 點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵． 12．（2012?株洲）已知：如圖，在⊙O中，C在圓周上，∠ACB=45°，則∠AOB= ． 12．90° 考點：圓周角定理． 分析：由在⊙O中，C在圓周上，∠ACB=45°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠AOB的度數(shù)． 解答：解：∵在⊙O中，C在圓周上，∠ACB=45°， ∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°． 故答案為：90°． 點評：此

37、題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用． 13．（2012?玉林）如圖，矩形OABC內接于扇形MON，當CN=CO時，∠NMB的度數(shù)是 ． 13．30° 考點：圓周角定理；含30度角的直角三角形；矩形的性質． 分析：首先連接OB，由矩形的性質可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度數(shù)，又由圓周角定理求得∠NMB的度數(shù)． 解答：解：連接OB， ∵CN=CO， ∴OB=ON=2OC， ∵四邊形OABC是矩形，

38、∴∠BCO=90°， ∴cos∠BOC=， ∴∠BOC=60°， ∴∠NMB=∠BOC=30°． 故答案為：30°． 點評：此題考查了圓周角定理、矩形的性質以及特殊角的三角函數(shù)值．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 14．（2012?義烏市）如圖，已知點A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在其左側作等邊△APQ，連接PB、BA．若四邊形ABPQ為梯形，則： （1）當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是 ； （2）當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是

39、 ． 14．（1），（2）0或 考點：圓周角定理；等邊三角形的性質；梯形；解直角三角形． 專題：幾何綜合題． 分析：首先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，（1）當AB為梯形的底時，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等邊三角形，CP∥x軸，即可求得答案； （2）當AB為梯形的腰時，AQ∥BP，易得四邊形ABPC是平行四邊形，即可求得CP的長，繼而可求得點P的橫坐標． 解答：解：（1）如圖1：當AB為梯形的底時，PQ∥AB， ∴Q在CP上， ∵△APQ是等邊三角形，CP∥x軸， ∴AC垂直平分PQ， ∵A（0，2），C（0，4）， ∴AC=2， ∴PC=AC?tan

40、30°=2×， ∴當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是：； （2）如圖2，當AB為梯形的腰時，AQ∥BP， ∴Q在y軸上， ∴BP∥y軸， ∵CP∥x軸， ∴四邊形ABPC是平行四邊形， ∴CP=AB=2， 如圖3，當C與P重合時， ∵A（0，2）、B（2，2）， ∴tan∠APC=， ∴∠APC=60°， ∵△APQ是等邊三角形， ∴∠PAQ=60°， ∴∠ACB=∠PAQ， ∴AQ∥BP， ∴當C與P重合時，四邊形ABPQ以AB為要的梯形， 此時點P的橫坐標為0； ∴當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是：0或2． 故答案為：（1），（2）0或．

41、 點評：此題考查了梯形的性質與等邊三角形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出符合要求的圖形，然后利用數(shù)形結合思想求解． 15．（2012?鞍山）如圖，△ABC內接于⊙O，AB、CD為⊙O直徑，DE⊥AB于點E，sinA=，則∠D的度數(shù)是 ． 15.30° 考點：圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值． 專題：計算題． 分析：由圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值求得∠CAB=30°；然后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余的性質、等腰三角形的性質、對頂角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度數(shù)． 解答：解：∵AB為⊙O直

42、徑， ∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）； 又∵sinA=， ∴∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°（直角三角形的兩個銳角互余）； 又∵點O是AB的中點， ∴OC=OB， ∴∠OCB=OBC=60°， ∴∠COB=60°， ∴∠EOD=∠COB=60°（對頂角相等）； 又∵DE⊥AB， ∴∠D=90°-60°=30°． 故答案是：30°． 點評：本題綜合考查了圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值．解題時，注意“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一知識點的利用． 三、解答題 16．（2012?荊門）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上

43、的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點A與B相距8m，罐底最低點到地面CD距離為1m．設油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結果保留整數(shù)） 考點：垂徑定理的應用；勾股定理；等腰梯形的性質；解直角三角形的應用． 分析：連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F，則OF⊥AB，先根據(jù)垂徑定理求出AF的值，再在在Rt△AOF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠AOB的度數(shù)，由勾股定理求出OF的長，根據(jù)四邊形A

44、BCD是等腰梯形求出AE的長，再由S陰=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）即可得出結論． 解答：解：如圖，連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F．則OF⊥AB． ∵OA=OB=5m，AB=8m， ∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF， 在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°， ∴∠AOF=53°，則∠AOB=106°， ∵OF==3（m），由題意得：MN=1m， ∴FN=OM-OF+MN=3（m）， ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB， ∴AE=FN=3m，DC

45、=AB+2DE． 在Rt△ADE中，tan56°=， ∴DE=2m，DC=12m． ∴S陰=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）=（8+12）×3-（π×52-×8×3）=20（m2）． 答：U型槽的橫截面積約為20m2． 點評：本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理進行求解是解答此題的關鍵． 17．（2012?南通）如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離． 考點：垂徑定理；勾股定理． 專題：探究型．

46、 分析：過點O作弦AB的垂線，垂足為E，延長AE交CD于點F，連接OA，OC；由于AB∥CD，則OF⊥CD，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、CF的長，可連接OA、ODC在構建的直角三角形中，根據(jù)勾股定理即可求出OE、OF的長，也就求出了EF的長，即弦AB、CD間的距離． 解答：解：過點O作弦AB的垂線，垂足為E，延長AE交CD于點F，連接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵AB=30cm，CD=16cm， ∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm， 在Rt△AOE中， OE==8cm， 在Rt△OCF中， OF==15cm，

47、 ∴EF=OF-OE=15-8=7cm． 答：AB和CD的距離為7cm． 點評：本題考查的是勾股定理及垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵． 18．（2012?寧夏）在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．求∠D的度數(shù)． 考點：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質． 分析：連接BD，根據(jù)平行線的性質可得：BD∥CF，則∠BDC=∠C，根據(jù)圓周角定理可得∠BDC= ∠BOC，則∠C= ∠BOC，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解． 解答：解：方法一：連接BD．???????? ∵AB⊙O是直徑， ∴BD

48、⊥AD 又∵CF⊥AD， ∴BD∥CF， ∴∠BDC=∠C． 又∵∠BDC=∠BOC， ∴∠C=∠BOC． ∵AB⊥CD， ∴∠C=30°， ∴∠ADC=60°． 方法二：設∠D=x， ∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A， ∴△AFO∽△AED， ∴∠D=∠AOF=x， ∴∠ADC=2∠ADC=2x， ∴x+2x=180， ∴x=60， ∴∠ADC=60°． 點評：本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質，正確得到∠C=∠BOC是解題的關鍵． 19．（2012?長沙）如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°

49、， （1）求證：△ABC是等邊三角形； （2）求圓心O到BC的距離OD． 考點：圓周角定理；等邊三角形的判定；垂徑定理；解直角三角形． 專題：探究型． 分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ABC的度數(shù)，再直接根據(jù)三角形的內角和定理進行解答即可； （2）連接OB，由等邊三角形的性質可知，∠OBD=30°，根據(jù)OB=8利用直角三角形的性質即可得出結論． 解答：解：（1）在△ABC中， ∵∠BAC=∠APC=60°， 又∵∠APC=∠ABC， ∴∠ABC=60°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°， ∴△ABC是等邊三角形；

50、 （2）∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓， ∴O為△ABC的外心， ∴BO平分∠ABC， ∴∠OBD=30°， ∴OD=8×=4． 點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識，將各知識點有機結合，旨在考查同學們的綜合應用能力． 20．（2012?大慶）如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，若D是AC中點，∠ABC=120°． （1）求∠ACB的大??； （2）求點A到直線BC的距離． 考點：圓周角定理；等腰三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形． 分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性

51、質得出AB=BC，進而得出∠A=∠C=30°即可； （2）根據(jù)BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的長，進而求出AE的長度即可． 解答：解：（1）連接BD， ∵以BC為直徑的⊙O交AC于點D， ∴∠BDC=90°， ∵D是AC中點， ∴BD是AC的垂直平分線， ∴AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=30°， 即∠ACB=30°； （2）過點A作AE⊥BC于點E， ∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°， ∴cos30°==， ∴CD=， ∵AD=CD， ∴AC=3， ∵在Rt△AEC中，∠ACE=

52、30°， ∴AE==． 點評：此題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質，根據(jù)已知得出CD的長度是解題關鍵． 21．（2012?懷化）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，點C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD、DB． （1）當∠ADC=18°時，求∠DOB的度數(shù)； （2）若AC=2，求證：△ACD∽△OCB． 考點：圓周角定理；等腰三角形的性質；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定． 專題：證明題；幾何綜合題． 分析：（1）連接OA，根據(jù)OA=OB=OD，求出∠D

53、AO、∠OAB的度數(shù)，求出∠DAB，根據(jù)圓周角定理求出即可； （2）過O作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC長得出 ，根據(jù)相似三角形的判定推出即可． 解答：（1）解：連接OA， ∵OA=OB=OD， ∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°， ∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°， 由圓周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°． （2）證明：過O作OE⊥AB于E， 由垂徑定理得：AE=BE， ∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°， ∴OE=OB=2， 由勾股定理得：BE=2=AE， 即AB=2AE=4， ∵AC=2， ∴BC=2， 即C、E兩點重合， ∴DC⊥AB， ∴∠DCA=∠OCB=90°， ∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2， ∴=， ∴△ACD∽△OCB（兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似）． 點評：本題綜合考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生能否運用性質進行推理，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．