《4 多邊形的內(nèi)角和與外角和》教案

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1、《4 多邊形的內(nèi)角和與外角和》教案 第1課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能： 表述多邊形的有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、對(duì)角線、凸多邊形、凹多邊形）； 情感態(tài)度價(jià)值觀： 1、通過探索過程進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系； 2、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系． 教學(xué)重難點(diǎn) 表述多邊形的有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、對(duì)角線、凸多邊形、凹多邊形）． 教學(xué)過程 （一）引入 你能從圖1中找出幾個(gè)由一些線段圍成的圖形嗎？ 圖1 （二）知識(shí)點(diǎn) 我們學(xué)過三角形，類似地，在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（polygon）． 多邊形按組成它

2、的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形．如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形．如圖2，螺母底面的邊緣可以設(shè)計(jì)為六邊形，也可以設(shè)計(jì)為八邊形． 圖2 多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角．圖3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五邊形ABCDE的5個(gè)內(nèi)角．多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角．圖4中的∠1是五邊形ABCDE的一個(gè)外角． 圖3 圖4 圖5 連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線（diagona

3、l）．圖5中，AC、AD是五邊形ABCDE的兩條對(duì)角線． 特別提醒：n邊形（n≥3）從一個(gè)頂點(diǎn)可引出（n－3）條對(duì)角線，把n邊形分割成（n－2）個(gè)三角形，共有對(duì)角線條． 例如：十邊形有________條對(duì)角線．在這里n=10，就可套用對(duì)角線條數(shù)公式（條）． 圖6 如圖6（1），畫出四邊形ABCD的任何一條邊（例如CD）所在直線，整個(gè)四邊形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形．而圖6（2）中的四邊形ABCD就不是凸四邊形，因?yàn)楫嫵鲞匔D（或BC）所在直線，整個(gè)四邊形不都在這條直線的同一側(cè)．類似地，畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果

4、整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形．本節(jié)只討論凸多邊形． 我們知道，正方形的各個(gè)角都相等，各條邊都相等．像正方形那樣，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．圖7是正多邊形的一些例子． 圖7 特別提醒：（1）正多邊形必須兩個(gè)條件同時(shí)具備：①各內(nèi)角都相等；②各邊都相等．例如：矩形各個(gè)內(nèi)角都相等，它就不是正四邊形．再如：菱形各邊都相等，它卻不是正四邊形． 第2課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能： 1、探索并說出多邊形的內(nèi)角和與外角和公式； 2、進(jìn)一步發(fā)展說理能力和簡(jiǎn)單的推理能力． 過程與方法： 經(jīng)歷

5、探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，實(shí)際測(cè)量，推理． 情感態(tài)度價(jià)值觀： 1、通過探索過程進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系； 2、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系． 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是多邊形的內(nèi)角和與外角和定理． 難點(diǎn)是學(xué)會(huì)善于運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)來研究多邊形的問題，能夠靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和解決相關(guān)問題． 教學(xué)過程 （一）思考 三角形的內(nèi)角和等于180°．正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于360°，其他四邊形的內(nèi)角和等于多少？ （二）探究 任意畫一個(gè)四邊形，量出它的4個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和． 再畫幾個(gè)四邊形，量一量，算一算．你能得出什么結(jié)論？能否利用三角形內(nèi)角和

6、等于180°得出這個(gè)結(jié)論？ 如圖8，畫出任意一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線，都能將這個(gè)四邊形分為兩個(gè)三角形．這樣，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和，都等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，即360°． 圖8 從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？觀察圖9，請(qǐng)?zhí)羁眨? 圖9 從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_______條對(duì)角線，它們將五邊形分為_______個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×_________． 從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引______條對(duì)角線，它們將六邊形分為________個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×________

7、__． 通過以上問題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？ 一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢？請(qǐng)?zhí)羁眨? 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引______條對(duì)角線，它們將n邊形分為________個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×______． 總結(jié)：過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以做（n－3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n－2）個(gè)三角形，每個(gè)三角形內(nèi)角和180°． 所以n邊形內(nèi)角和（n－2）×180°． 把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎？ 方法2：如圖：10過n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)連接，可得n個(gè)三角形，其內(nèi)角和n×180°．再減去以O(shè)為頂點(diǎn)

8、的周角． 即得n邊形內(nèi)角和n·180°－360°． 圖10 得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于（n－2）·180°． （三）例題 例1：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？ 圖11 解：如圖11，四邊形ABCD中， ∠A＋∠C=180°． 因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＋∠D=（4－2）×180°=360°， 所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C） =360°－180°=180°． 這就是說，如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)． 例2：如圖12，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角

9、和．六邊形的外角和等于多少？ 圖12 分析：考慮以下問題： （1）任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？ （2）六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？ （3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？ 聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法． 解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180°．6個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角，共有12個(gè)角．這些角的總和等于6×180°． 這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和．所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°． （四）探究 如果將例2中六邊

10、形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎？ 思路：（用計(jì)算的方法） 設(shè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相鄰的外角分別為180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，……180°－∠n．外角和為（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋……＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360° 注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本思想． 由上面的探究可以得到： 多邊形的外角和等于360°． 你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°． 如圖13，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向．在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360°． 圖13