蘇教版 八年級上 數(shù)學(xué) 勾股定理 常考題型分類匯總 知識點(diǎn)經(jīng)典例題變式題

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1、 第二章 類型一：勾股定理的直接用法 1、在 ABC 中，∠C=90° (1)已知 a=6， c=10，求 b； (3)已知 c=25，b=15，求 a.  勾股定理 (2)已知 a=40，b=9，求 c； 舉一反三 【變式】 :如圖∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則 AB 的長是多少 ? 類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，已知：在 中， ， ，  . 求：BC 的長. 求證： 舉一反三【變式 1】如圖，已知： 于 P.  .  ， ， 【變式 2】已知：如圖，∠ B=∠D=

2、90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四 邊形 ABCD 的面積。 類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題 3、如圖所示，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地 A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60°方 向走了 到達(dá) B 點(diǎn)，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到達(dá)目的地 C 點(diǎn)。 （1）求 A、C 兩點(diǎn)之間的距離。 （2）確定目的地 C 在營地 A 的什么方向。 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門形狀 如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ? （二）用勾股定理求

3、最短問題 4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng) 村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四 個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如 圖實(shí)線部分．請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線． 舉一反三 【變式 1】如圖，一圓柱體的底面周長為 20cm，高ＡＢ為 4cm，Ｂ Ｃ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C，試求 出爬行的最短路程． 【變式 2】如圖①是一個(gè)長方體盒子，長 AB＝4，寬 BC＝2，高 CG＝1． (1) 一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn) A 沿盒子表面

4、爬到點(diǎn) G，那么它所 行走的最短路線的長是 ______． (2)這個(gè)長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的長度為 ______． 點(diǎn)評：把題中的長方體變成正方體或圓柱時(shí)，找直角三角形運(yùn)用勾股定理的思 想方法不變，在計(jì)算的過程中，可嘗試總結(jié)計(jì)算的公式，如長方體內(nèi)最長線段 的長度為 長2  +寬2  +高2 ． 【變式 3】如圖，長方體的長為 15，寬為 10，高為 20，點(diǎn) B 到點(diǎn) C 的距離為 5， 如果一只螞蟻要沿著長方體的表面從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B，那么它 需要爬行的最短距離是 ( ) A．5 B．25 C．15 D ．35 【變式

5、4】一個(gè)長方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別是 3、4、12，則這個(gè)長方體 內(nèi)能容下的最長木棒的長度為______． 【變式 5】如圖，將一根 25 cm 長的細(xì)術(shù)棒放入長、寬、高分別為 8 cm、6 cm 和 10 3 cm 的 長 方 體 無 蓋 盒 子 中 ， 則 細(xì) 木 棒 露 在 盒 外 面 的 最 短 長 度 是 __________cm． 類型四：利用勾股定理作長為  的線段 5、作長為 、 、  的線段。 思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為 1 的 等腰直角三角形，斜邊長就等于  ，直角邊 為  和 1 的

6、直角三角形斜邊長就是  ，類 似地可作  。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為 1（單位長）的等腰直角△ ACB，使 AB 為斜邊； （2）以 AB 為一條直角邊，作另一直角邊為 1 的直角 （3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形 ，這樣斜邊  。斜邊為 、 、  ； 、 的長度就是  、 、 、 。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示  的點(diǎn)。 解析：可以把  看作是直角三角形的斜邊，  ， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而 10

7、 又是 9 和 1 這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是 3 和 1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A 點(diǎn)，使 OA=3，作 AC⊥OA 且截取 AC=1， 以 OC 為半徑， 以 O 為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B 即為 。 類型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1．原命題：貓有四只腳．（正確） 2．原命題：對頂角相等（正確） 3．原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等．（正確） 4．原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等．（正確） 7、如果ΔABC 的三邊分別為 a、b、c，且滿足 a2 

8、 +b2  +c2  +50=6a+8b+10c，判斷 ΔABC 的形狀。 舉一反三【變式 1】四邊形 ABCD 中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四邊形 ABCD 的面積。 【變式 2】已知 ABC 的三邊分別為 m2 －n2,2mn,m2+n2(m,n 為正整數(shù) ,且 m＞n),判斷△ ABC 是否為直角三角形 . 【變式 3】如圖正方形 ABCD，E 為 BC 中點(diǎn)，F(xiàn) 為 AB 上一點(diǎn)，且 BF= AB。 請問 FE 與 DE 是否垂直 ?請說明。 經(jīng)典例題精析 類型一：勾股定

9、理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是 3：4，斜邊長是 20，求此直角三角形的面 積。 舉一反三 【變式 1】等邊三角形的邊長為 2，求它的面積。 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為 a，則其面積為  a。 【變式 2】直角三角形周長為 12cm，斜邊長為 5cm，求直角三角形的面積。 【變式 3】若直角三角形的三邊長分別是 n+1，n+2，n+3，求 n。 【變式 4】（1）以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15 ，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D 、8，39，40 （

10、2）已知直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4，則第三邊的長是 ______． 【變式 5】如圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的 直角三角形圍成的，在 ABC 中，若直角邊 AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三 角形中邊長為 6 的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”， 則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長 (圖②中的實(shí)線 )是______． 1 2 3 4 1 2 3 4 【變式 6】如圖，在直線 l 上依次擺放著七個(gè)正方形，其中，斜放置的三個(gè)正方 形的面積分別是 1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是 S 、S 、S 、 S ，則 S

11、＋S ＋S ＋S ＝______． 【變式 7】如圖，已知 1 號、 4 號兩個(gè)正方形的面積為為 7，2 號、3 號兩個(gè)正 方形的面積和為 4，則 a，b，c 三個(gè)方形的面積和為 ( ) A．11 B．15 C．10 D ．22 【變式 8】在△ ABC 中，∠B＝90°，兩直角邊 AB＝7，BC＝24，三角形內(nèi)有 一點(diǎn) P 到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是 ______． 類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在點(diǎn) P 處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn) A 處有一 所中學(xué)， AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100m 以內(nèi)會受到噪音的影響

12、， 那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說 明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為 18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為 多少秒？ 舉一反三 【變式 1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角 而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假 設(shè) 2 步為 1m），卻踩傷了花草。 【變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角 形都是邊長為 1 的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形 ABCD 含有多少個(gè)單位

13、正三角形？平行四邊形 ABCD 的面積是多少？ （3）求出圖中線段 AC 的長（可作輔助線）。 類型三：數(shù)學(xué)思想方法 （一）轉(zhuǎn)化的思想方法 我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形， 將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決． 3、如圖所示 ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)，E、 F 分別是 AB、AC 邊上的點(diǎn)，且 DE⊥DF，若 BE=12，CF=5．求線段 EF 的長。 （二）方程的思想方法 4、如圖所示，已知△ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、 、 的值。 總結(jié)

14、升華：在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊 的一半。 舉一反三： 【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊 AD，使點(diǎn) D 落在 BC 邊的點(diǎn) F 處，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的長。 類型四：平方根、立方根與實(shí)數(shù) 5、(1)若 x -1 - 1 -x =(x+y)2 ，則 x－y 的值為 ( ) A．－ 1 B．1 C ．2 D ．3 (2)已知 a 為實(shí)數(shù)，那么 -a  2 等于  ( ) A．a(chǎn) B．－ a C．－ 1 D ．0 【變式】（1）已若“ a -8  ＋(b＋27)

15、 2＝0，則 3  a +3  b =  ______． （2）已知 x、y 都是實(shí)數(shù)，且 y＝ x -2 + 2 -x +3  ，則 xy＝_______． （3）若 x -4  ＋(y＋6)  2  ＝0，則 x＋y＝_______． (4)若 a -2 + b -3 +(c-4)2=0  ，則 a－b＋c＝_______． 6、已知 8 的整數(shù)部分是 a，小數(shù)部分是 b，則 (－a)3  ＋(b＋2)2＝______ ． 【變式 1】（1）估計(jì) 20 的算術(shù)平方根在 A．2 與 3

16、 之間 B．3 與 4 之間  ( ) C．4 與 5 之間  D．5 與 6 之間 （2）估算 27 －2 的值在 ( ) A．1 和 2 之間 B．2 和 3 之間 間 （3）估算 17 ＋1 的值在 A．2 和 3 之間 B．3 和 4 之間 C．3 和 4 之間 ( ) C．4 和 5 之間 D ．4 和 5 之 D．5 和 6 之間 【變式 2】若 13 -1  的整數(shù)部分為 a， 3  33  的整數(shù)部分為 b，求 4a +9b -10  的值． 7、已知 2a－l 的平方根是±

17、3 根．  ，3a－2b＋l 的平方根是±3，求 4a－b 的算術(shù)平方 【變式】（1）若 5x＋6 的平方根是± 1，則 x＝_______  。 (2)一個(gè)正數(shù) x 的算術(shù)平方根是 a，那么 x＋2 的算術(shù)平方根是 _____，x ＋1 的立方根是_____． 4 . . 【 變式】 下列各數(shù)：3.5， 22 355 1 (3)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是 8，則這個(gè)數(shù)的立方根是 ______； 3 64 的平方 根是 _______． （4）已知 (x＋y＋2)(x＋y－2)＝45，則 x＋y 的值是______． （5）如果一個(gè)數(shù)

18、的平方根是 a＋3 與 2a－15，那么這個(gè)數(shù)是 _______； （6）如果 5x＋4 的平方根是± 1，那么 x＝_______． (7)如果 3x+12 的立方根是 3，求 2x+6 的平方根； (8)已知一個(gè)正數(shù)的平方根是 2a－1 與－a+2．求 a2009  的值． 8、在實(shí)數(shù)－ ，－ 3 27 3  ，  5 2  ， 0.57  57，0.121 121 112…， π，18，0.351， 3  ， 3.141 59 中，無理數(shù)有 ( ) A．2 個(gè) B．3 個(gè)  C．4 個(gè)  D．5 個(gè)

19、 ，3. 141 6，－π，902，3.51， ， ，4.121121112…， 7 133 90 7.030 303 中 ， 有 理 數(shù) 有 ____________________________ ， 無 理 數(shù) 有 _________________________． 類型五：科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字 9、用四舍五入法，按括號內(nèi)的要求取下列各數(shù)的近似數(shù)． (1) 60 340(保留 2 個(gè)有效數(shù)字 )； (2)0.038 49(保留 2 個(gè)有效數(shù)字 )； (3)0.000 077(精確到 0.000 01)； (4) 81595(精確到百位 )． 【變式】 (1) 3.4 萬精確到_______位，有 _______個(gè)有效數(shù)字． (2)5.82×104  精確到_______位，有_______個(gè)有效數(shù)字． （ 3 ） 6.510 × 104 精確到 ______ 位，有 ______ 個(gè)有效數(shù)字，分別是 _______．