2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3第一章1-3-2《楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)》《教案》

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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3第一章1-3-2《楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)》《教案》 一、三維目標(biāo) 1.知識與技能 (1)能認(rèn)識楊輝三角，并能利用它解決實際問題． (2)記住二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能解決相關(guān)問題． 2．過程與方法 通過觀察、分析楊輝三角數(shù)表的特點，掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)． 3．情感、態(tài)度與價值觀 通過“楊輝三角”的學(xué)習(xí)，了解中華民族的歷史，增強愛國主義意識． 二、重點、難點 重點：二項式系數(shù)的性質(zhì)． 難點：楊輝三角的結(jié)構(gòu)． 教學(xué)時從先簡單(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展開式中系數(shù)出發(fā)，進(jìn)一步過渡到楊輝三角的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生由淺入深地認(rèn)識楊輝三角

2、，從而化解難點． 引導(dǎo)學(xué)生建立“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)之間關(guān)系的直覺，通過例題與練習(xí)讓學(xué)生應(yīng)用性質(zhì)解決問題，更深地理解性質(zhì)，以強化重點、化解難點． 三、教學(xué)建議 本節(jié)課是將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來，主要是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內(nèi)容，由它可以直觀看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，教學(xué)時應(yīng)采用啟發(fā)探究式教學(xué)，讓學(xué)生在觀察中歸納總結(jié)二項式系數(shù)的性質(zhì)，在教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀，數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思考，這對學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成證明思路有很大好處． 四、教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題．?引導(dǎo)學(xué)生回答所提問題，認(rèn)識楊輝三角

3、、理解二項式系數(shù)性質(zhì)．?通過例1及互動探究，進(jìn)一步認(rèn)識楊輝三角的結(jié)構(gòu)特點．?通過例2及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握展開式系數(shù)和的求法．?通過例3及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握二項式系數(shù)的綜合應(yīng)用．?歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識所學(xué)知識．?完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識，并進(jìn)行反饋、矯正． 課標(biāo)解讀 1.使學(xué)生建立“楊輝三角”與二項式系數(shù)之間的直覺，并探索其中的規(guī)律． 2.掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用． 3.掌握“賦值法”并會靈活運用. “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) 【問題導(dǎo)思】　 (1)觀察“楊輝三角”發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ①第一行中各數(shù)之和為多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出

4、怎樣的結(jié)論？ ②觀察第3行中2與第2行各數(shù)之間什么關(guān)系？ 第4行中3與第2行各數(shù)之間什么關(guān)系？ 第5行中的4、6與第4行各數(shù)之間有什么關(guān)系？ 由此你能得出怎樣的結(jié)論？ 【提示】　(1)①20,21,22,23,24，第n行各數(shù)之和為2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相鄰兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，設(shè)C表示任一不為1的數(shù)，則它“肩上”兩數(shù)分別為C，C，所以C＝C＋C. 1．楊輝三角的特點 (1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等． (2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C

5、＝C＋C. 2．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C. (2)增減性與最大值：當(dāng)k＜時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)Cn取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)Cn，Cn相等，且同時取得最大值． 3．二項式系數(shù)的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 與楊輝三角有關(guān)的問題 圖1－3－1 例1　如圖1－3－1所示，在“楊輝三角”中，從1開

6、始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項和為Sn，求S16的值． 【思路探究】　觀察數(shù)列的特點、它在楊輝三角中的位置，或者聯(lián)系二項式系數(shù)的性質(zhì)，直接對數(shù)列求和即可． 【自主解答】　由題意及楊輝三角的特點可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋9) ＝C＋ ＝164. 解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路： (1)觀察：對題目進(jìn)行多角度觀察，找出每一行的數(shù)與數(shù)之間，行與行之間的數(shù)的規(guī)律． (2)表達(dá)：

7、將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)． (3)結(jié)論：由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論． 本例條件不變，若改為求S21，則結(jié)果如何？ 【解】　S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66 ＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋……C)＋(2＋3＋…＋11) ＝C＋ ＝286＋65 ＝351. 　設(shè)(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值． (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2

8、012|的值． 【思路探究】　先觀察所要求的式子與展開式各項的特點，用賦值法求解． 【自主解答】　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝. (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a

9、2 012＝32 012. 1．本題根據(jù)問題恒等式的特點采用“特殊值”法即“賦值法”，這是一種重要的方法，適用于恒等式． 2．“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差． 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求 (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6. 【解】　(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令x＝1，得

10、 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，① 令x＝0，得a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a7＝－2. (2)令x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，② 由①、②得 a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094， a0＋a2＋a4＋a6＝1 093. 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992. (1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項； (2)求展開式中系數(shù)最大的項． 【思路探究】　求二項式系數(shù)最大的項，利用性質(zhì)知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數(shù)最大的項；求展開式中系數(shù)最大的項，必須將x，y的系數(shù)均考慮進(jìn)去，包括

11、“＋”、“－”號． 【自主解答】　令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是 假設(shè)Tr＋1項系數(shù)最大， 則有 ∴ ∴ ∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 1．求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．

12、2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得． 求(1＋2x)7的展開式中的二項式系數(shù)最大項與系數(shù)最大項． 【解】　在二項式系數(shù)C，C，C，…，C中，最大的是C與C，故二項式系數(shù)最大項是第4項與第5項，即T4＝C(2x)3＝280x3與T5＝C(2x)4＝560x4. 設(shè)第r＋1項的系數(shù)最大，則由? ?由于r是整數(shù)，故r＝5，所以系數(shù)最大的是第6項，即T6＝C(2x)5＝672x5. 忽視二項式系數(shù)和致誤 例4　已知(2x－1)n二項展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小38，則C＋C＋C＋…＋C的

13、值為(　　) A．28　　B．28－1　　C．27　　D．27－1 【錯解】　設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令A(yù)＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…， 由題意知B－A＝38. 令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， ∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n ∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8. 由二項式系數(shù)性質(zhì)可得，a＋a＋…＋C＝2n＝28 【答案】　A 【錯因分析】　誤將C＋C＋…＋C看作是二項展開式各項二項式系數(shù)和，忽略了C. 【防范措施】　(1)解答本題應(yīng)認(rèn)真審題，搞清已知條件以及

14、所要求的結(jié)論，避免失誤． (2)解決此類問題時，要對二項式系數(shù)的性質(zhì)熟練把握，尤其是賦值法，要根據(jù)題目的要求，靈活賦給字母所取的不同值． 【正解】　設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項的系數(shù)和為A，偶次項的系數(shù)和為B. 則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知：B－A＝38.令x＝－1， 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二項式系數(shù)性質(zhì)可得：

15、 C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1. 【答案】　B 二項式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的形成過程體現(xiàn)了觀察——歸納——猜想——證明的數(shù)學(xué)方法，并且在歸納證明的過程中應(yīng)用了函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)思想，大致對應(yīng)如下： 對稱性應(yīng)用了組合數(shù)的性質(zhì)增減性與最大值應(yīng)用了組合數(shù)公式、 分類討論思想等系數(shù)和應(yīng)用了賦值法、方程思想 1．(a＋b)7的各二項式系數(shù)的最大值為(　　) A．21　　　 B．35　　　 C．34　　　 D．70 【解析】 【答案】　B 2．在(a－b)20的二項展開式中，二項式系數(shù)與第6項二項式系數(shù)相同的項是(　　) A．第15項 B．第16項 C．第17項

16、D．第18項 【解析】　由二項式系數(shù)的性質(zhì)知與第6項系數(shù)相等的項應(yīng)為倒數(shù)第6項，即第16項． 【答案】　B 3．(1＋2x)2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在的項數(shù)是第________項． 【解析】　(1＋2x)2n的展開式中共有2n＋1項，中間一項的系數(shù)最大，即第n＋1項． 【答案】　n＋1 4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，試求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13. 【解】　(1)在已知等式中令x＝1，則得： a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.① (2)在已知等式中令x＝－1，則得： a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得： 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.