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1、洪創(chuàng)教育文檔工作室
第 23 講 不會輸?shù)挠螒?
【專題簡析】
小朋友都很喜歡做游戲,數(shù)學(xué)中也有很多游戲。通過數(shù)學(xué)游戲,不僅能培養(yǎng)我們把實際問 題數(shù)學(xué)化的能力,而且還能培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
在這些游戲中,想要使拿到最后一個者獲勝,首先要決定誰先拿,如果把物品總數(shù)除以每次 取物品個數(shù)的和,沒有余數(shù),就讓對方先拿,自己拿的個數(shù)必須和對方拿的個數(shù)合起來是兩 人每次的和。
【例題 1】
桌上有 21 根火柴,小邱和小紅輪流取,每人每次取 1 根或 2 根,誰取到最后一根誰就獲勝。 小紅該怎樣取才能保證獲勝?
思路導(dǎo)航:
因為每人每次只能拿 1 根或 2 根
2、,所以只要小邱先拿,小紅就一定能拿到第三根,即小邱拿1 根,小紅就
拿 2 根,小邱拿 2 根,小紅就拿 1 根,如此拿下去小紅就能把 3、6、9、12、15、18、21 這些“制高點〞
掌握在手,從而獲勝。因此只要把火柴總數(shù)除以二人每次取火柴的和,如果沒有余數(shù),就讓雙方先拿。 解:小紅讓小邱先拿,并且每次自己拿的個數(shù)和小邱拿的根數(shù)合起來是 3,那么小紅保證能 獲勝。
練習(xí) 1
1.小明和小剛一起做游戲,他們把 18 粒棋子放在桌上,然后輪流拿,每人每次只能拿 1 ?;?者 2 粒,誰拿到最后一粒誰就獲勝,你能讓小明保證獲勝嗎?
2.桌上放著一堆火柴,共 56
3、 根。由甲乙兩人輪流拿,每人每次拿 1 至 3 根,拿到最后一根的 人獲勝,問該怎樣拿才能保證獲勝?
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3.桌上有 20 顆彩珠,小麗和小蘭輪流拿,每人每次只能拿 1 顆或 2 顆,誰拿到最后五顆,誰 就獲勝,小蘭該怎樣拿才能保證獲勝呢?
【例題 2】甲、乙兩名同學(xué)從 1 到 30 輪流連續(xù)報數(shù),誰先報到 30 這個數(shù),誰就獲勝,規(guī)定: 每人每次最多報三個數(shù),最少一個數(shù)。如甲報 1,乙可報 2 或 2,3 或報 2,3,4;接著甲可 報乙報的數(shù)后面的 1 個數(shù)或 2 個數(shù)或 3 個數(shù)。問:有沒有必勝的報數(shù)策略?
思路導(dǎo)
4、航:
要想必勝,就要搶到 30。要搶到 30,只要撿到 26,這時如果對方報 27,你就報 28,29,30;如果對方報
27,28,你就報 29,30;對方報 27,28,29,你就報 30。同理,要搶到 26,只要搶到 22。要搶到 22,
只要搶到 18。同理只要搶以 14,10,6,2 即可。也就是從 30 繼續(xù)減去 4〔30÷4=7……2,余數(shù)是幾,就 必須先搶到幾〕。策略是自己先報,且先報到 2,這樣就能確保搶到 6。
解:你先報到 2,對方報 3,你就報 4,5,6;對方報 3,4,你就報 5,6;對方報 3,4,5, 你就報 6;同理可以確保搶到 10,
5、14,18,22,26,30。
練習(xí) 2
1.小東和小華做游戲,他們把 19 粒棋子放在桌上,然后輪流拿,每人每次能拿 1 ?;蛘?2 粒, 誰拿到最后一粒,誰就獲勝。這次小東該怎樣拿才能保證獲勝呢?
2.桌上有 22 根火柴,小明和小紅輪流取,每人每次只能取 1 根或 2 根,誰取到最后一根誰獲 勝。這次小紅該怎樣取才能保證獲勝?
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3.報 80,兩人輪流報,從 1 開始,每人每次報 1~5 個連續(xù)數(shù),如果一人報 1,另一個人可報 2 或 2,3 或 2,3,4,或 2,3,4,5,或 2,3,4, 5,6;如
6、果一人報 1、2、3、另一人可報 4 或 4, 5 或 4,5,6 或 4,5,6,7 或 4,5,6,7,8,誰先報到 80 誰就獲勝。問怎樣報才 能取勝?
【例題 3】
有兩堆枚數(shù)相等的棋子,甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取,多取不限,但不有不取。誰 取到了最后一枚棋子為勝,如果甲后取,他一定能取勝嗎?
思路導(dǎo)航:
由于兩堆棋子的枚數(shù)相等,例如都有 5 枚,如圖:
如果乙先在左邊取 2 枚,甲在右邊取 2 枚,這時兩邊都還有 3 枚:
乙先在哪一邊取幾枚,甲就在另一邊取幾枚,甲一定取走最后一枚棋子。甲后取,一定能獲勝,不管乙先
在其中哪
7、一堆里取多少枚棋子,甲總可以在另一堆里取相同枚數(shù)的棋子,因此甲一定能獲勝,如果兩堆棋
子數(shù)不相等,只要甲先取出較多一堆里比另一堆多的枚數(shù),使得兩堆棋子枚數(shù)相等,就可以轉(zhuǎn)化為例題中 的情形。
解:見思路導(dǎo)航
練習(xí) 3
1.左邊有 10 枚棋子,右邊有 12 棋子,兩人輪流去取,取到最后一枚的得勝,先取好還是后 取好?怎樣取才能獲勝?
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2.有三行棋子如下列圖,兩人輪流取,每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚或 2 枚,誰最 后取完為勝,問:要想獲勝是先取還是后?。?
【例題 4】
小東和小華玩 2
8、5 根小棒輪流取的游戲,每人每次可取 1 根或 2 根,誰取到最后一根誰就獲勝。 小東先取了 2 根,小華怎樣取才能獲勝?
思路導(dǎo)航:
25 根小棒小東先取走了 2 根,還有 25-2=23〔根〕,23÷3=7……2,小華也跟著取 2 根,然后不管小東 取幾根,只要小華每次取的和小東每次取的根數(shù)合起來是 3,小華就一定能獲勝。
解:見思路導(dǎo)航
練習(xí) 4
1.小華和小東做游戲,桌上有 45 粒棋子,每人每次可取 1 ?;?2 粒,誰取到最后一粒誰獲勝, 小華先拿走了 1 粒,問小東怎樣取才能獲勝?
2.小軍和小明在做游戲,他們在桌上放 50 根火柴棒,規(guī)定
9、每人每次可取 1 根至 3 根,誰拿到 最后一根,誰獲勝,小軍先拿了 3 根,問小明怎樣取才能獲勝?
3.兩堆糖,兩人輪流拿,一次只能在其中一堆拿,拿幾根不限,最后一個把糖拿走的人算輸, 怎樣拿會輸?
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【例題 5】
12 枚棋子擺成一圈,小華和小東輪流從中取走一枚或兩枚,如果取走 2 枚,這兩枚必須相鄰。 誰取走最后一枚誰就獲勝,小華應(yīng)采取什么樣的策略才能獲勝?
思路導(dǎo)航:
小華可以這樣做:
〔1〕讓小東先取走一枚或兩枚之后,圓圈的某一位置將出現(xiàn)單獨的空當(dāng)。于是小華從圓圈中與這個空當(dāng) 相對的一側(cè)取走
10、一枚或兩枚,使得余下的棋子被兩個空當(dāng)分成數(shù)目相等的兩局部。
〔2〕從這以后,小東從哪一局部中取走一枚或兩枚,小華就從另一局部中取走相同數(shù)量的棋子,這樣小
華就能取走最后一枚而獲勝。
解:如右圖:〔數(shù)字是圖中棋子的編號〕小東在一側(cè)
10
11
12
1
2
取一枚或幾枚棋子,小華就在空當(dāng)相對的另一側(cè)取走 相同數(shù)量的棋子,小華獲勝。
9
8
3
4
7
6
5
練習(xí) 5
1.桌子上擺成一圈放著 10 枚棋子,甲、乙兩人輪流從中取,每次取一枚或取相鄰的兩枚,如 果 2 枚棋子之間已有
11、棋子被取走,它們不算相鄰的,誰取到最后一枚就算勝利,你看是先取 有利還是后取有利?有沒有必勝的方法?
2.桌上擺成一圈放著 8 根小棒,每次只能取一根或相鄰的兩根〔如果兩根小棒之間有小棒被 取走,就不算相鄰〕,小芳先取,樂樂后取,誰能取到最后一根就算勝利,樂樂要想取勝應(yīng)怎 樣???
3.有 11 根火柴,A、B 兩個比賽,規(guī)定每個人每次可以拿 1~3 根火柴,但不能連續(xù)再次拿去 相同數(shù)目的火柴,誰拿到最后一根火柴,誰就得勝,如果 A 先開始拿,是否有必勝的方法?
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練習(xí)題答案
練習(xí) 1
1.讓小剛先拿,小
12、明 每次拿的個數(shù)與小剛拿的個數(shù)合起來是 3,小剛保證能獲勝。
2.56÷4=14 沒有余數(shù),假設(shè)甲先拿,剛乙只要每次拿的火柴數(shù)和甲的合起來是 4,乙就會拿 到最后一根而獲勝。
3.小蘭必須先拿兩顆,然后按小麗 1 顆,小蘭 2 顆;或小麗 2 顆,小蘭 1 顆的方法繼續(xù)拿下 去,小蘭才能保證獲勝。
練習(xí) 2
1.19÷3=6……1,余數(shù)是 1,小東就先拿 1 粒,然后不管小華拿幾粒,他都能保證拿到第 4, 第 7……最后獲勝。
2.22÷3=7……1,除下來有余數(shù),小紅應(yīng)先把這個 1 根拿下,然后不管小明幾根,只要小紅 每次拿的火柴根數(shù)和小明拿的火柴根數(shù)合起來是
13、3,小紅就能獲勝。
3.80÷6=13……2,除下來有余數(shù),先報者應(yīng)先報兩個數(shù),然后不管后報者報幾個數(shù),只要先 報者每次報數(shù)的個數(shù)和后者合起來是 6,先報者就會報到 80,從而獲勝。
練習(xí) 3
1.要想取勝,要先取右邊的 2 枚,然后對方取幾枚,你就在另一堆也取幾枚。
2.應(yīng)先取。甲先在第二行取一枚棋子,如甲乙在第一行〔或第二行〕取 1 枚棋子,甲只需在 第三行取 2 枚棋子,那么剩下第三行一枚棋子和第二行〔或第一行〕一枚棋子,甲必勝;甲 先在第二行取一枚棋子,如果乙在第三行取一枚棋子,那么甲只需在第三行取剩下的棋子, 這時在第一行和第二行分別剩下一枚棋子,甲必勝;甲先
14、在第二行取一枚棋子,如果乙在第 三行取 2 枚棋子,那么甲只需在任一行取一枚棋子,這時在剩余的兩行分別剩下一枚,甲必 勝。
練習(xí) 4
1.45-1==44〔?!常?4÷3=14……2,小東拿 2 粒,然后不管小華拿幾粒,只要小東每次取 的和小華合起來是 3,小東就一定取勝。
2.50-3=47〔根〕,47÷4=11……3,小軍先拿 3 根,小明也跟著拿 3 根,然后小軍不管拿幾 根,只要小明每次拿的和小軍合起來是 4,小明就一定獲勝。
3.〔1〕如果兩堆糖同樣多,甲先拿幾塊,乙在另一堆也拿和甲同樣多的塊數(shù),這樣拿下去, 后拿的人一定得輸。
〔2〕如果兩堆糖不一樣多
15、,可以先從多的一堆里取出比少的一堆多的塊數(shù),然后后拿的人 拿幾塊,先拿的人也拿幾塊,這樣下去,先拿的一定得輸。
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練習(xí) 5
1.后取者有利,有必勝的方法,無論先取者取走 1 枚或 2 枚棋子,后者總是在“缺口〞對面取 走 1 枚或 2 枚棋子,使余下的棋子變成數(shù)目相同的兩段以后,無論先取者取走哪些棋子,后 取者總在另一段相應(yīng)的位置上取走同樣多的棋子,這樣可以必勝。
2.樂樂后取,要想取勝,可以這樣想:不管小芳先取 1 根還是 2 根,樂樂總在“缺口〞的對面 取走 1 根或 2 根,使余下的小棒變成數(shù)目相同的兩段以后,不管小芳取走哪些小棒,樂樂只 要在另一段同樣位置上取走同樣多的小棒,這樣可以必勝。
3.A 先拿,第一次拿 3 根,以后每次按規(guī)那么拿后,使余下的根數(shù)為 8 或 4 或 0 根,即可取 勝。
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