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1、義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)
第七章 平面直角坐標(biāo)系
在平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形面積的計(jì)算問題
珠海中山大學(xué)附屬中學(xué)（唐家中學(xué)） 林金菊
課題
在平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形面積的計(jì)算問題
課型
專題課
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識(shí)與技能
掌握在平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形面積的類型特點(diǎn)及求解方法.
數(shù)學(xué)思考
通過觀察、思考、計(jì)算、交流、歸納等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探究求解幾何圖形面積的幾種常見類型題目，體會(huì)割補(bǔ)法、方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法.
問題解決
能運(yùn)用割補(bǔ)法解決幾何圖形面積的計(jì)算問題．
情感與態(tài)度
積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)
2、數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.
教學(xué)重點(diǎn)
割補(bǔ)法在求解幾何圖形面積的運(yùn)用.
教學(xué)難點(diǎn)
能運(yùn)用割補(bǔ)法把不能直接求解的圖形轉(zhuǎn)化為能直接計(jì)算的圖形面積來(lái)解決．
學(xué)情分析
初一學(xué)生喜歡思考，對(duì)知識(shí)喜歡“知其所以然”，但在計(jì)算能力、幾何推理能力方面稍為欠缺；本班學(xué)生一直實(shí)行小組合作探究的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生之間互幫互助的學(xué)風(fēng)濃.個(gè)別學(xué)生是“小數(shù)學(xué)迷”，知識(shí)面比較廣，帶動(dòng)了班上其他同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.
教學(xué)內(nèi)容分析
學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和三角形面積的計(jì)算公式，這節(jié)課在這個(gè)基礎(chǔ)之上，探究在平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形面積的類型特點(diǎn)與求解方法，并運(yùn)用割補(bǔ)法把不能直接求解的圖形轉(zhuǎn)化為能直接計(jì)算的圖形面
3、積來(lái)解決．
教學(xué)資源
課件、學(xué)生學(xué)案
教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng)
復(fù)習(xí)引入 ——典例精析——課堂小結(jié)——拓展提升——課堂反饋——布置作業(yè)
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
1.師生一起回憶三角形的面積公式：.
2.通過計(jì)算以下兩圖中△ABC的面積，歸納出第一種類型的題目：可以直接計(jì)算的圖形，其特點(diǎn)是：三角形的一邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸，這時(shí)，底邊選取在坐標(biāo)軸上的邊或平行于坐標(biāo)軸的邊，高就是底邊所對(duì)的頂點(diǎn)到底邊的距離.
3.學(xué)生完成課堂練習(xí)一：求出圖中△ABC的面積.
4、
【設(shè)計(jì)意圖】回憶三角形的面積公式，并歸納出第一種類型的圖形特點(diǎn),這是本節(jié)課的基礎(chǔ)內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)整節(jié)課知識(shí)有一個(gè)初步了解，為下一步計(jì)算任意三角形或任意多邊形的面積打下基礎(chǔ).
二、典例精析
教師出示例1的第（1）問，學(xué)生思考后，請(qǐng)學(xué)生代表說(shuō)出解題思路.
類型二：任意三角形的面積
例1.已知：A(0 ，1) ，B(2 ，0) ，C(4，3) ．
(1)求△ABC的面積.
(2)設(shè)點(diǎn)P在軸上，且△ABP等于△ABC面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
變式一：設(shè)點(diǎn)P在軸上，且△ABP等于△ABC面積
的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
5、．
教師先展示第（1）問，根據(jù)學(xué)生代表的思路（如圖1），板書規(guī)范的解題格式.
追問（1）：要求出△ABC的面積，還有其他辦法嗎？
圖1 圖2 圖3
圖4 圖5
請(qǐng)學(xué)生展示他們的想法（如圖2，3，4，5），并引導(dǎo)學(xué)生可以用“割補(bǔ)法”把圖形轉(zhuǎn)化為能直接計(jì)算的圖形.
追問（2）：已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出三角形的面積；那如果知道三角形的面積和其中兩個(gè)點(diǎn)
6、的坐標(biāo)，怎樣求出第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)呢？教師出示例1的第（2）問.
教師與學(xué)生一起分析，已知三角形的面積與高，求底邊，因此得出方程，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或（-2，0）.
追問（3）：以上過程體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？
教師讓學(xué)生模仿第（2）問完成變式一.請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)板書，并講解.
追問（4）：假設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，又有多少種情況？這又體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？
歸納：不規(guī)則的多邊形的面積不能直接求出，可以利用“分割圖形”或“補(bǔ)全圖形”，將圖形轉(zhuǎn)化為有邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的圖形來(lái)求.
【設(shè)計(jì)意圖】例1的第（1）問，旨在讓學(xué)生理解“割補(bǔ)法”的應(yīng)用；第（2）問旨在讓學(xué)生體會(huì)公式的
7、順用與逆用；變式一旨在讓學(xué)生鞏固方程思想的應(yīng)用.四個(gè)追問，層層遞進(jìn)，一氣呵成，讓學(xué)生直擊此類題目的本質(zhì)，提高了學(xué)生的解題信心.
教師引導(dǎo)學(xué)生：我們可以把三角形學(xué)習(xí)到的方法應(yīng)用到任意四邊形或者任意多邊形中，如果我們把例1的圖中的線段AB隱藏起來(lái)，這時(shí)會(huì)得到四邊形OBCA，請(qǐng)問四邊形的面積怎么求呢？請(qǐng)看例2.這個(gè)四邊形面積的計(jì)算方法應(yīng)該有很多種，請(qǐng)同學(xué)們盡可能多地想出各種方法，畫在以下備選圖中，也可以在小組內(nèi)交流分享.并選取其中一種方法，計(jì)算出四邊形的面積.
類型三：任意四邊形的面積
例2.已知：A(0 ，2) ，B(4 ，0) ，C(3，4).求四邊形OBCA的面積.（可以用多種
8、方法解決）
備選圖1 備選圖2 備選圖3
請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)展示他們的想法，并且讓學(xué)生辨別哪些方法比較好？
方法一 方法二 方法三
方法四 方法五
師生再一次小結(jié)：對(duì)于不能直接計(jì)算的圖形，可以利用“分割圖形”或“補(bǔ)全圖形”，將圖形轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的圖形來(lái)求.
【設(shè)計(jì)意圖
9、】例2，讓學(xué)生在三角形中學(xué)習(xí)到的知識(shí)遷移到任意四邊形中，既能鞏固知識(shí)與技能，又能讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的延伸性.多種方法的展示，讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解，拓展了思維；并讓學(xué)生辨別哪些方法較好，培養(yǎng)了思維的嚴(yán)密性.
三、課堂小結(jié)：
師生活動(dòng)：今天我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？從中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？
（一）數(shù)學(xué)知識(shí)：
1.三角形的一邊在坐標(biāo)軸上 或平行于坐標(biāo)軸
2.不能直接計(jì)算的圖形 能直接計(jì)算的圖形
（二）數(shù)學(xué)思想方法：
（1）割補(bǔ)法（2）方程思想；（3）分類討論；（4）數(shù)形結(jié)合.
【設(shè)計(jì)意圖】分別從知識(shí)技能和
10、數(shù)學(xué)思想兩方面梳理知識(shí)，鞏固知識(shí)，讓學(xué)生養(yǎng)成自我總結(jié)、提煉方法的好習(xí)慣.
四、拓展提升：
教師出示題目，學(xué)生獨(dú)立思考后，師生一起分析題目，當(dāng)中要抓住動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)方向、移動(dòng)距離就能解決問題.
如圖，已知長(zhǎng)方形ABCO中，邊AB=8，BC=4.以O(shè)為原點(diǎn)，OAOC所在的直線為y軸和x軸建立直角坐標(biāo)系.
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以2單位/秒的速度向CO方向移動(dòng)（不超過點(diǎn)O）,點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，以1單位/秒的速度向OA方向移動(dòng)（不超過點(diǎn)A），設(shè)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在他們移動(dòng)過程中，四邊形OPBQ的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，
11、求變化的范圍.
【設(shè)計(jì)意圖】拓展提升的題目，情境雖然與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)，有一定的難度，但同樣是四邊形的面積問題，是本節(jié)課內(nèi)容的拓展與延伸.
五、課堂反饋：
1.求出△ABC的面積.
【設(shè)計(jì)意圖】課堂反饋的題目，突出了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，讓學(xué)生鞏固了本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn).
六、布置作業(yè):
1.必做題：《導(dǎo)學(xué)案》第150頁(yè)第1，2，3題
2.選做題：《導(dǎo)學(xué)案》第150頁(yè)第4題
【設(shè)計(jì)意圖】布置分層作業(yè)，讓不同層次的學(xué)生得到相應(yīng)的發(fā)展.
板
書
設(shè)
計(jì)
在平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形面積的計(jì)算問題
一、數(shù)學(xué)知識(shí)：
1.
12、三角形的一邊在坐標(biāo)軸上 或平行于坐標(biāo)軸
2.不能直接
計(jì)算的圖形 能直接計(jì)算的圖形
二、數(shù)學(xué)思想方法：
（1）割補(bǔ)法
（2）方程思想
（3）分類討論
（4）數(shù)形結(jié)合
附件1：學(xué)生學(xué)案
在平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形的面積計(jì)算問題
班級(jí)： 姓名：
一、復(fù)習(xí)引入：
類型一：三角形的一邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸
歸納：（1）底邊：選取在坐標(biāo)軸上的邊或平行于坐
13、標(biāo)軸的邊
（2）高：底邊所對(duì)的頂點(diǎn)到底邊的距離
課堂練習(xí)一：
1.求出△ABC的面積.
二、典例精析：
類型二：任意三角形的面積
例1.已知：A(0 ，1) ，B(2 ，0) ，C(4，3) ．
(1)求△ABC的面積.
(2)設(shè)點(diǎn)P在軸上，且△ABP等于△ABC面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
變式一：設(shè)點(diǎn)P在軸上，且△ABP等于△ABC面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
類型三：任意四邊
14、形的面積
例2.已知：A(0 ，2) ，B(4 ，0) ，C(3，4).
求四邊形OBCA的面積. （可以用多種方法解決）
備選圖1 備選圖2 備選圖3
三、課堂小結(jié)：
多邊形的面積如果不能直接求出，則可以利用“ 法”，將圖形轉(zhuǎn)化為可以直接計(jì)算的圖形來(lái)求.
四、拓展提升：
如圖，已知長(zhǎng)方形ABCO中，邊AB=8，BC=4.以O(shè)為原點(diǎn)，OAOC所在的直線為y軸和x軸建立直角坐標(biāo)系.
（
15、1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以2單位/秒的速度向CO方向移動(dòng)（不超過點(diǎn)O）,點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，以1單位/秒的速度向OA方向移動(dòng)（不超過點(diǎn)A），設(shè)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在他們移動(dòng)過程中，四邊形OPBQ的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍.
五、課堂反饋：
1.求出△ABC的面積.
教學(xué)評(píng)價(jià)
評(píng)價(jià)項(xiàng)目
評(píng)價(jià)內(nèi)容
自我評(píng)價(jià)
知識(shí)與技能
1.能知道三角形面積的計(jì)算公式.
1.好 2.一般 3.還不會(huì)
2.能歸納幾何圖形面積的幾種常見類型特點(diǎn)與求解方法.
1.好 2.一般 3.還不會(huì)
過程與方法
3.參與觀察、思考、計(jì)算、交流、歸納等活動(dòng).
1.好 2.一般 3.還不會(huì)
4.體會(huì)割補(bǔ)法、方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法.
1.好 2.一般 3.還不會(huì)
問題解決
5.能運(yùn)用割補(bǔ)法解決幾何圖形面積的計(jì)算問題.
1.好 2.一般 3.還不會(huì)
情感與態(tài)度
6.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.
1.好 2.一般 3.還不會(huì)
義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)
