高中數(shù)學(xué)第二章 2_2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 課件

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1、第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)2.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.1.平均變化率平均變化率2.2.瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率.)()()(0 x000的瞬時(shí)變化率的瞬時(shí)變化率在點(diǎn)在點(diǎn)則這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為函數(shù)則這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為函數(shù)常數(shù)，常數(shù)，時(shí)，平均變化率時(shí)，平均變化率當(dāng)當(dāng)xxfxxfxxf .,)()()(0)(00000的平均變化率的平均變化率在在為函數(shù)為函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)時(shí)，比值時(shí)，比值當(dāng)當(dāng)及其附近有定義，及其附近有定義，在點(diǎn)在點(diǎn)已知函數(shù)已知函數(shù)xxxxfxxfxxfxyxxxxfy 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧3.3.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義4.4.點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程：)(00 xxkyy.)()(lim)(|)()(0000000

2、0 xxfxxfxfyxfxxxfxxxx ，故，故或或記作記作處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在為為的瞬時(shí)變化率，就定義的瞬時(shí)變化率，就定義函數(shù)在函數(shù)在復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧xoyy=f(x)曲線(xiàn)的切線(xiàn)曲線(xiàn)的切線(xiàn)P(x0,y0)Q(x1,y1)當(dāng)自變量從當(dāng)自變量從x0變化到變化到x1時(shí)，時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值從相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到變化到f(x1)y=f(x1)-f(x0)函數(shù)值的增量函數(shù)值的增量x=x1-x0自變量的增量自變量的增量Mxyy0=f(x0)，y1=f(x1)Q(x0+x,y0+y)y=f(x0+x)-f(x0)xoyy=f(x)設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，的圖象，在曲線(xiàn)

3、在曲線(xiàn)C上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)(x0,y0)及鄰近一及鄰近一點(diǎn)點(diǎn)(x0+x,y0+y),過(guò)過(guò)P,Q兩點(diǎn)作兩點(diǎn)作割割線(xiàn)線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線(xiàn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近無(wú)限接近于點(diǎn)于點(diǎn)P點(diǎn)點(diǎn)P處的處的切線(xiàn)切線(xiàn)。即即x0時(shí)時(shí),如果割線(xiàn)如果割線(xiàn)PQ有一個(gè)有一個(gè)極極限位置限位置PT,那么直線(xiàn)那么直線(xiàn)PT叫做曲線(xiàn)在叫做曲線(xiàn)在曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的定義曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的定義xyPQT 設(shè)割線(xiàn)設(shè)割線(xiàn)PQ的傾斜角為的傾斜角為，切線(xiàn)切線(xiàn)PT的傾斜角為的傾斜角為 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，割線(xiàn)時(shí)，割線(xiàn)PQ的的斜率的極限斜率的極限，就是曲線(xiàn)在點(diǎn)，就是曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的處的切線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率，即，即tan=Mxyxxfxxfxyxx)()(000

4、0limlim曲線(xiàn)曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率公式的切線(xiàn)的斜率公式x oyy=f(x)PQtan=xyxxfxxf)()(00求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)L：y=f(x)在在點(diǎn)點(diǎn)M(x0,y0)處切線(xiàn)的斜率。處切線(xiàn)的斜率。割線(xiàn)割線(xiàn) MN 的極限位置的極限位置 MT 稱(chēng)稱(chēng)為曲線(xiàn)為曲線(xiàn) L 在點(diǎn)在點(diǎn) M 處的切線(xiàn)。處的切線(xiàn)。割線(xiàn)割線(xiàn) MN 的斜率為：的斜率為：tanxxfxxf )()(00 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xxy LMxyo0 x T1xN0yx 切線(xiàn)斜率切線(xiàn)斜率 1yy tanlimtan n切線(xiàn)切線(xiàn) MT 的斜率為的斜率為：xyx 0lim xxfxxfx )()(lim000 tan k（3 3）這

5、個(gè)概念）這個(gè)概念:提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法率的一種方法;切線(xiàn)斜率的本質(zhì)切線(xiàn)斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).（1 1）割線(xiàn)趨近于確定的位置的直線(xiàn)定義為）割線(xiàn)趨近于確定的位置的直線(xiàn)定義為切線(xiàn)切線(xiàn).（2 2）曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)）曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).說(shuō)明：說(shuō)明：（4 4）若曲線(xiàn)）若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(P(x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)不存在，就是切線(xiàn)與不存在，就是切線(xiàn)與y軸平行軸平行.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在在點(diǎn)點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f (x

6、0)就就 是曲線(xiàn)是曲線(xiàn) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) M(x0,y0)處的切線(xiàn)的斜率，即：處的切線(xiàn)的斜率，即：)2(tan)(0 xf由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可知，曲線(xiàn)由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可知，曲線(xiàn) y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) M(x0,y0)處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程分別為：處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程分別為：當(dāng)當(dāng)0()0fx時(shí)，時(shí)，切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程000()()yyfxxx,當(dāng)當(dāng)0()0fx時(shí)，時(shí)，切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為 0yy或或0()yf x.例例1:1:求拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn)y=f(x)=xy=f(x)=x2 2在在點(diǎn)點(diǎn)P(1,1)P(1,1)處的切線(xiàn)的斜率處的切線(xiàn)的斜率.02020:(1)(1)1lim(1)1lim2(

7、)lim2.xxxfxffxxxxxx 解 過(guò)點(diǎn)(1,1)切線(xiàn)的斜率是（）2112.x因此，拋物線(xiàn)y=f=x 在點(diǎn)P，處的切線(xiàn)斜率為2yxyxo1,1P.)21,2(1.2的切線(xiàn)方程的切線(xiàn)方程在點(diǎn)在點(diǎn)求雙曲線(xiàn)求雙曲線(xiàn)例例xy 00112222.limlimxxfxfxxx 解因?yàn)?11lim2 24xx 112.24所以，這條雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，的切線(xiàn)的斜率為-112,24x 由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，得切線(xiàn)方程為 y-11.4x即 y=-xyo12,2P253.6.2例 求拋物線(xiàn) y=x 過(guò)點(diǎn)，的切線(xiàn)方程200,.xx解：設(shè)此切線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)01.由例 及導(dǎo)數(shù)的意義知此切線(xiàn)的斜率為2x20056x,2x

8、又因?yàn)榇饲芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，和點(diǎn)200062,52xxx其斜率滿(mǎn)足2000560,2,3.xx解得x 22 439.yx即切線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，所以切線(xiàn)方程分別為：442,963.yxyx化簡(jiǎn)得 y=4x-4,y=6x-9.2yxyxo5,62P2,43,9200,xx過(guò)過(guò)求函數(shù)圖象切線(xiàn)需要注意的問(wèn)題求函數(shù)圖象切線(xiàn)需要注意的問(wèn)題（1 1）已知切點(diǎn)）已知切點(diǎn)(x0 0,f(x0 0)，求切線(xiàn)：，求切線(xiàn)：求切線(xiàn)的斜率求切線(xiàn)的斜率:k=f(x0 0)；確定切點(diǎn)確定切點(diǎn)(x0 0,f(x0 0)；寫(xiě)切線(xiàn)方程：寫(xiě)切線(xiàn)方程：y-f(x0 0)=)=f(x0 0)()(x-x0 0).).（2 2）已知切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)）已知切

9、線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(a，b)，求切線(xiàn)方程，求切線(xiàn)方程點(diǎn)點(diǎn)(a，b)可以在曲線(xiàn)上，也可以不再曲線(xiàn)上可以在曲線(xiàn)上，也可以不再曲線(xiàn)上A A、設(shè)切點(diǎn)、設(shè)切點(diǎn)(x0，f(x0)；B B、求斜率、求斜率k=f(x0)；C C、寫(xiě)切線(xiàn)方程、寫(xiě)切線(xiàn)方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)；D D、代入已知點(diǎn)、代入已知點(diǎn)(a,b)，列方程組求得，列方程組求得x0 0；E E、代入求得切線(xiàn)方程、代入求得切線(xiàn)方程.例例4.4.如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，根據(jù)圖像，請(qǐng)描的圖像，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線(xiàn)述、比較曲線(xiàn)h h(t

10、t)在在t t0 0，t t1 1，t t2 2附近的變化情況附近的變化情況.解：如圖各處的切線(xiàn)，我們用此來(lái)刻畫(huà)此三個(gè)時(shí)刻附近解：如圖各處的切線(xiàn)，我們用此來(lái)刻畫(huà)此三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況的變化情況(1)當(dāng)當(dāng)t=t0時(shí)，曲線(xiàn)時(shí)，曲線(xiàn)h(t)在在t0處的切線(xiàn)處的切線(xiàn)l0平行于平行于x軸軸在在t=t0附近曲線(xiàn)附近曲線(xiàn)h(t)比較平坦，幾乎沒(méi)有升降比較平坦，幾乎沒(méi)有升降.(2)當(dāng)當(dāng)t=t1時(shí)，曲線(xiàn)時(shí)，曲線(xiàn)h(t)在在t1處的切線(xiàn)處的切線(xiàn)l1的斜率的斜率h(t1)0，在在t=t1附近曲線(xiàn)附近曲線(xiàn)h(t)下降，即函數(shù)下降，即函數(shù)h(t)在在t=t1附近單附近單調(diào)遞減調(diào)遞減.(3)當(dāng)當(dāng)t=t2時(shí)，曲線(xiàn)時(shí)，曲線(xiàn)

11、h(t)在在t2處的切線(xiàn)處的切線(xiàn)l2的斜率的斜率h(t2)0，在在t=t2附近曲線(xiàn)附近曲線(xiàn)h(t)下降，即下降，即函數(shù)函數(shù)h(t)在在t=t2附近單調(diào)遞減附近單調(diào)遞減.由圖形可知，直線(xiàn)由圖形可知，直線(xiàn)l l1 1的傾斜程度的傾斜程度小于直線(xiàn)小于直線(xiàn)l l2 2的傾斜程度，說(shuō)明曲的傾斜程度，說(shuō)明曲線(xiàn)線(xiàn)h(t)h(t)在在t t1 1附近比在附近比在t t2 2附近下降附近下降緩慢緩慢.)382(3113處的切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)方程求：在點(diǎn)求：在點(diǎn)，上一點(diǎn)上一點(diǎn)：如圖已知曲線(xiàn)：如圖已知曲線(xiàn)練習(xí)練習(xí)PPxy yx-2-112-2-11234OP313yx.)474(4122的切線(xiàn)方程的切線(xiàn)方程，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)

12、：求拋物線(xiàn)：求拋物線(xiàn)練習(xí)練習(xí)Pxy 7177444242yxyx解：切線(xiàn)方程為或解：在點(diǎn)解：在點(diǎn)P P處的切線(xiàn)方程是處的切線(xiàn)方程是 12x-3y-16=012x-3y-16=0練習(xí)練習(xí)3:如圖已知曲線(xiàn)如圖已知曲線(xiàn) ,求求:點(diǎn)點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)方程.)38,2(313Pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) 3320011(2)233|limlimxxxxyyxx 即即點(diǎn)點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率等于處的切線(xiàn)的斜率等于4.(2).在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程是處的切線(xiàn)方程是 ,即即8423yx12316 0 xy yx-2-112-2-11234OP313yx2301126()()lim3xxxxx 201lim12 6()43xxx 31(1),3yx解：（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線(xiàn)，得到曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線(xiàn)的斜率。的切線(xiàn)的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，即）根據(jù)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切線(xiàn)方程的步驟：求切線(xiàn)方程的步驟：小結(jié)小結(jié):無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無(wú)法理解基本思想，丟掉極限思想就無(wú)法理解導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)概念。數(shù)概念。