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1、第一章 推理與證明 1.1 歸納推理創(chuàng)設情境華羅庚教授曾經舉過一個例子：華羅庚教授曾經舉過一個例子：從一個袋子里摸出來的第一個是紅玻璃球，第二個是紅玻璃從一個袋子里摸出來的第一個是紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們立刻會出現一種猜想：我們立刻會出現一種猜想：“是不是這個袋里的東西都是是不是這個袋里的東西都是紅玻璃球？紅玻璃球？”但是，當有一個摸出來的是白玻璃球的時候，但是，當有一個摸出來的是白玻璃球的時候，這個猜想失敗了；這時，我們會有另一個猜想：這個猜想失敗了；這時，我們會有另一個猜想：“是不是是不
2、是袋里都是玻璃球？袋里都是玻璃球？”但是，當有一次摸出來的是一個木球但是，當有一次摸出來的是一個木球的時候，這個猜想又失敗了；這時我們會有第三個猜想：的時候，這個猜想又失敗了；這時我們會有第三個猜想：“是不是袋里的東西都是球？是不是袋里的東西都是球？”這個猜想對不對，還必須這個猜想對不對，還必須繼續(xù)加以檢驗繼續(xù)加以檢驗在這個過程中，一方面通過推理得出結論，另一方面要對在這個過程中，一方面通過推理得出結論，另一方面要對 所得的結論進行驗證和證明。所得的結論進行驗證和證明。問題：問題：什么是推理？什么是推理？怎么進行推理？怎么進行推理？、當看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家、當看到天空烏云密布，
3、燕子低飛，螞蟻搬家等現象時，等現象時，我們會得到一個判斷：我們會得到一個判斷：天要下雨了天要下雨了。、諺語說：、諺語說：“八月十五云遮月八月十五云遮月，來年正月十五來年正月十五雪扎燈。雪扎燈。”根據一個或幾個已知根據一個或幾個已知的命題得出另一個新的命題得出另一個新命題的思維過程。命題的思維過程。推理：推理：蛇是用肺呼吸的蛇是用肺呼吸的,鱷魚是用肺呼吸的鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用海龜是用肺呼吸的肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鱷魚、海蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物龜、蜥蜴都是爬行動物所以所以,所有的爬行動物都是用肺呼吸的所有的爬行動物都是用肺呼吸的案例：案例：1三角形的內角和
4、是三角形的內角和是180180,凸四邊形的內角和凸四邊形的內角和是是360360,凸五邊形的內角和是凸五邊形的內角和是540540,所以所以,凸凸n n邊形的內角和是邊形的內角和是案例：案例：20180)2(n從個別事實中推演出一般性的結論,稱為歸納推理.它們有什么共同點？觀察下面等式觀察下面等式,并歸納出一般結論并歸納出一般結論:dadaadadaadadaadaaaadan3210,1341231121111中的等差數列公差首項nadnadan)1(11想一想？想一想？觀察下面等式觀察下面等式,并歸納出一般結論并歸納出一般結論:9546143217436132153261213216112
5、2222222222222321n)12)(1(61nnn歸納推理的一般思維過程：歸納推理的一般思維過程：實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論8)1000()2)(1()(xxxxf8)3(,8)2(,8)1(fff 由此我們猜想：由此我們猜想：8)(nf)(Nn歸納出一般結論，并判斷所得的結論正確嗎？歸納出一般結論，并判斷所得的結論正確嗎？（2 2）狗是有骨骼的）狗是有骨骼的;鳥是有骨骼的鳥是有骨骼的;魚是有骨骼的魚是有骨骼的;蛇是有骨骼的蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的青蛙是有骨骼的;狗、鳥、魚、蛇和青蛙都是動物；狗、鳥、魚、蛇和青蛙都是動物；由此我們猜想由此我們猜想:（1）函數）函數所有的動物
6、都是有骨骼的。所有的動物都是有骨骼的。前提 當n=0時，n2-n+11=11 當n=1時，n2-n+11=11 當n=2時，n2-n+11=13 當n=3時，n2-n+11=17 當n=4時，n2-n+11=23 當n=5時，n2-n+11=31 結論 對于所有的自然數n,n2-n+11的值都是質數11,11,13,17,23,3111,11,13,17,23,31都是質數都是質數歸納出一般結論，并判斷所得的結論正確嗎？歸納出一般結論，并判斷所得的結論正確嗎？歸納推理的幾個特點:1.歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納得出的結論是尚屬未知的一般現象，該結論超越了前提所包容的范圍。2.歸納推
7、理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實踐檢驗。它不能作為數學證明的工具。3.歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理。通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現問題和提出問題。例：數一數圖中的凸多面體的面數F、頂點數V和棱數E,然后用歸納法推理得出它們之間的關系.多面體多面體面數面數(F)(F)頂點數頂點數(V)(V)棱數棱數(E)(E)三棱錐三棱錐四棱錐四棱錐三棱柱三棱柱五棱錐五棱錐立方體立方體正八面體正八面體五棱柱五棱柱截角正方體截角正方體尖頂塔尖頂塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8解:多面體多面體面數面數(F)(F)頂點數頂點數(V
8、)(V)棱數棱數(E)(E)三棱錐三棱錐四棱錐四棱錐三棱柱三棱柱五棱錐五棱錐立方體立方體正八面體正八面體五棱柱五棱柱截角正方體截角正方體尖頂塔尖頂塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面體多面體面數面數(F)(F)頂點數頂點數(V)(V)棱數棱數(E)(E)三棱錐三棱錐四棱錐四棱錐三棱柱三棱柱五棱錐五棱錐立方體立方體正八面體正八面體五棱柱五棱柱截角正方體截角正方體尖頂塔尖頂塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169
9、 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想歐拉公式791234561111116912345111115912341111491231113912112911、根據給出的數塔猜測、根據給出的數塔猜測等于等于()A、1111110 B、1111111 C、1111112 D、1111113,181322,283522,385722,4879222、由此得到的結論是由此得到的結論是:課堂檢測：B,8)12()12(22nnn3,2,1,0n822 nnn822 nn3、當、當時，時，成立，所以對于所有的成立，所以對于所有的，上述推理是歸納推理嗎？所得結論正確嗎？上述推理是歸納推理嗎？所得結論正確嗎？自然數自然數成立。成立。322322833833,154415444、，abab88均為正整數）（ba,若若，請推測請推測ab863是，不正確，當n=3時不成立。17一般來說，利用歸納推理得出的結論不一定是正確的.2.歸納推理歸納推理的一般思維過程的一般思維過程:（簡稱（簡稱）?實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論3.歸納推理的特點歸納推理的特點
高中數學第一章 1_1 歸納推理 課件
