《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§2.4 導(dǎo)集,閉集,閉包

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1、§2.4　導(dǎo)集，閉集，閉包 　　本節(jié)重點(diǎn)： 　　熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念； 　　區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同； 　　掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件； 　　掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件． 　　 如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對(duì)它們進(jìn)行分類處理． 　　定義2.4.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．如果點(diǎn)x∈X的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，即U∩（A-{x}）≠，則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn)．集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d（A）．如果x

2、∈A并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)鄰域U使得U∩（A-{x}）＝，則稱x為A的一個(gè)孤立點(diǎn)． 　　即:(牢記) 　　在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無(wú)一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)洌虼耍?dāng)你在討論問(wèn)題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠终劦侥硞€(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對(duì)于哪個(gè)拓?fù)涠?，不容許產(chǎn)生任何混淆．由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞?，因此類似于這里談到的問(wèn)題今后幾乎時(shí)時(shí)都會(huì)發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請(qǐng)讀者自己留心． 某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過(guò)剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對(duì)歐氏空間有效的性質(zhì)，例如

3、歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)一般的拓?fù)淇臻g都有效．以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象． 　　例2.4.1　離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集． 設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集．由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是開集，因此如果x∈X，則X有一個(gè)鄰域{x}，使得，以上論證說(shuō)明，集合A沒(méi)有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，從而A的導(dǎo)集是空集，即d（A）＝． 　　例2.4.2　平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集． 　　設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集．我們分三種情形討論： 　　第1種情形：A=．這時(shí)A顯然沒(méi)有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即 d（A）=．（可以參見定理2.4.1中第（l）條的證明．

4、） 　　第2種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，點(diǎn)x只有惟一的一個(gè)鄰域X，這時(shí)，所以；因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即x∈d（A）．然而對(duì)于的惟一鄰域X有：所以 d（A）=X-A． 第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè)．請(qǐng)讀者自己證明這時(shí)X中的每一個(gè)點(diǎn)都是A的凝聚點(diǎn)，即d（A）＝X． 　　定理2.4.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．則 　?。╨）d（）=； 　?。?）AB蘊(yùn)涵d（A）d（B）； 　?。?）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）； 　?。?）d（d（A））A∪d（A）． 　　證明?。?）由于對(duì)于任何一點(diǎn)x∈X和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U， 　　有U∩ 　　（2）

5、設(shè)AB．如果． 　　這證明了d（A）d（B）． 　　（3）根據(jù)（2），因?yàn)锳，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），從而d（A）∪d（B）d（A∪B）． 　　另一方面，如果 　　 　　綜上所述，可見（3）成立．(這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一方法:要證,只要證即可．) 　?。?）設(shè)： 即（4）成立． 　　定義2.4.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A，即d（A）A，則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集． 例如，根據(jù)例2.4.l和例2.4.2中的討論可見，離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集．

6、 　　定理2.4.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)集是一個(gè)開集． 　　證明　必要性：設(shè)A是一個(gè)閉集 　　 　　充分性：設(shè)： 　　 即A是一個(gè)閉集． 　　例2.4.3　實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間． 　　設(shè)a，b∈R，a＜b．閉區(qū)間[a，b]是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)閇a，b]的補(bǔ)集=（-∞，a）∩（b，∞）是一個(gè)開集． 同理，（-∞，a]，[b，∞）都是閉集，（-∞，∞）＝R顯然更是一個(gè)閉集．然而開區(qū)間（a，b）卻不是閉集，因?yàn)閍是（a，b）的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但a（a，b）．同理區(qū)間（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是閉集．

7、 　　定理2.4.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．記F為所有閉集構(gòu)成的族．則： 　?。?）X，∈F 　?。?）如果A，B∈F，則AUB∈F 　　（從而如果) 　?。?）如果≠ 　　在此定理的第（3）條中，我們特別要求≠的原因在于當(dāng) =時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒(méi)有定義． 　　證明　根據(jù)定理2.4.2，我們有T={|U∈F}其中，T為X的拓?fù)洌? 　　（1）∵X，∈T，∴ 　　（2）若A、B∈F ，則 　?。?）令： 　　 定理證明完成． 　　總結(jié)：（1）有限個(gè)開集的交是開集，任意個(gè)開集的并是開集．其余情形不一定． （2）有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集．其余情形不一

8、定． 　　定義2.4.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,AX,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并A∪d(A)稱為集合A的閉包,記作或 容易看出,(注意:與x∈d(A)的區(qū)別) 　　定理2.4.4　拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是A= 證明:定理成立是因?yàn)?集合A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=A∪d(A) 　　定理2.4.5　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對(duì)于任意A,B∈X,有： 　　 　　證明（1）成立是由于是閉集． 　?。?）成立是根據(jù)閉包的定義． 　?。?）成立是因?yàn)? 　　 　?。?）成立是因?yàn)? 　　 　　 ＝A∪d（A）∪d（d（A)) 　　 ＝A∪d

9、（A）= 在第（3）條和第（4）條的證明過(guò)程中我們分別用到了定理 2.4.l中的第（3）條和第（4）條． 　　定理2.4.6　拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包都是閉集． 證明根據(jù)定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得． 　　定理2.4.7　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族，則對(duì)于X的每一個(gè)子集A，有 　　 　　即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交． 　　證明　因?yàn)锳包含于，而后者是一個(gè)閉集，由定理 2.4.5(4)與定理2.4.4 　　 有 　　另一方面，由于是一個(gè)閉集，并且，所以 　　 (“交”包含于形成交的任一個(gè)成員) 綜合這

10、兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式． 　　由定理2.4.7可見，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含A的閉集之中，在這種意義下我們說(shuō)：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最小的閉集． 在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過(guò)度量來(lái)刻畫． 　　定義2.4.5　設(shè)（X，ρ)一個(gè)度量空間．X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的距離ρ（x，A）定義為 　　 ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A} 根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：ρ（x，A）＝0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，換言之即是：對(duì)于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而這又等價(jià)于：對(duì)

11、于x的任何一個(gè)鄰域U有U∩A≠，應(yīng)用以上討論立即得到． 　　定理2.4.9　設(shè)A是度量空間（X，ρ）中的一個(gè)非空子集．則 　?。?）x∈d（A）當(dāng)且僅當(dāng)ρ（x，A-{x}）=0； 　?。?）x∈當(dāng)且僅當(dāng)ρ（x，A）＝0． 以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了另外的手段． 　　定理2.4.10　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則以下條件等價(jià)： 　?。╨）f是一個(gè)連續(xù)映射； 　?。?）Y中的任何一個(gè)閉集B的原象(B)是一個(gè)閉集； 　?。?）對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 　??； 　　(4)對(duì)于Y中的任何一個(gè)子

12、集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 　?。? 　　證明　（1）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)BY是一個(gè)閉集．則 是一個(gè)開集，因此根據(jù)（1），是X中的一個(gè)開集，因此 (B)是X中的一個(gè)閉集． 　　(2)蘊(yùn)涵（3）設(shè)AX．由于f（A）， 　　根據(jù)（2），成立． 　　(3)蘊(yùn)涵(4)設(shè)AY集合(B)X應(yīng)用（3）即得 　　 　?。?）蘊(yùn)涵（l）．設(shè)U是Y中的一個(gè)開集．則是Y中的一個(gè)閉集．對(duì)此集合應(yīng)用（4） 　　可見: ． 　　總結(jié)一下,到目前為止,證明映射連續(xù)的方法有幾種?證明一個(gè)子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個(gè)點(diǎn)是某個(gè)子集的凝聚點(diǎn)? 　　 作業(yè): 　　P69 1．2 第 8 頁(yè) ^^ 共 8 頁(yè)