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1、微積分莫興德莫興德廣西大學(xué)廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院數(shù)信學(xué)院rxdtdxEmail:微微 積積 分分微積分鏈接目錄第一章第一章 函數(shù)函數(shù)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第四章第四章 中值定理中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章第五章 不定積分不定積分第六章第六章 定積分定積分第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)(不要求不要求)第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)第九章第九章 微分方程微分方程復(fù)習(xí)微積分參考書參考書1趙樹嫄趙樹嫄.微積分微積分.中國人民出版社中國人民出版社2同濟(jì)大學(xué)同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué).高等教育出版社高等教育出版社微積分第六章第六章定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)微積
2、分對定積分的對定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時，時，0)(badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時，abbadxxfdxxf)()(.在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小說明說明定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容微積分 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣
3、到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 banibainiidxxfdxxf11)()(微積分性質(zhì)性質(zhì)2 2 babadxxfkdxxkf)()(k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性質(zhì)性質(zhì)1+性質(zhì)性質(zhì)2 得得：微積分 badxxgxf)()(babadxxgdxxf)()(推廣：推廣：baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()(即線性組合的定積分等于定積分的線性組合即線性組合的定積分等于定積分的線性組合說明定積分也具有說明定積分也具有線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì)
4、微積分假設(shè)假設(shè)bca badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何,上式總成立上式總成立.cba,例例 若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(則則 cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）性質(zhì)性質(zhì)3 3微積分dxba 1dxba ab .性質(zhì)性質(zhì)5 5（非負(fù)性）（非負(fù)性）如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)(xf，則則0)(dxxfba.)(ba 證證,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1
5、iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0)(badxxf 性質(zhì)性質(zhì)4 4微積分例例1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.,)(xexfx 令令0,2 x,0)(xf,0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：（比較定理）的推論：（比較定理）則則dxxfba)(dxxgba )(.)(ba （1）如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf，（2）dxxfba)(dxxfba )(.)(ba 說明：說明：可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的
6、上的 解解微積分設(shè)設(shè)M及及m分分 別別 是是 函函 數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，則則 )()()(abMdxxfabmba .證證,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）例例 2 2 估估計計積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2,4 x性質(zhì)性質(zhì)6 6（估值定理）（估值定理）微積分2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大
7、點點，2 x為為極極小小點點,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx0 微積分如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 積分中值公式積分中值公式證證)()()(abMdxxfabmba Mdxxfabmba )(1由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）微積分在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點，使使,)(1)(badx
8、xfabfdxxfba)()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab)(f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)(f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。微積分例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且1)(lim xfx，求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解 由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2,xxdttfttxx 2)(3sin使使),2)(3sinxxf dttfttxx
9、x 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 微積分例例4 設(shè)設(shè) f(x),g(x)在在 a,b 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明若在若在 a,b 上上 badxxfxf0)(0)(且且則在則在 a,b 上上0)(xf若在若在 a,b 上上0)(0)(xfxf且且 badxxf0)(則則若在若在 a,b 上上)()(xgxf babadxxgdxxf)()(且且則在則在 a,b 上上)()(xgxf 微積分證明證明 反證法反證法0)(xf設(shè)設(shè)0)(xf由由必有一點必有一點 0)(,00 xfbax使使不妨設(shè)不妨設(shè) a x0(1)；(2)(2)；(3).(3).三、三、1 1、32arctan9331 xdxx；2 2、53arcsin24213210 xxxdx.練習(xí)題答案練習(xí)題答案
第六章 定積分的性質(zhì)
