高考數(shù)學理科一輪復習課件：第二章 第16講 導數(shù)在函數(shù)中的應用

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1、第16講 導數(shù)在函數(shù)中的應用1.了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).1.函數(shù)的單調性函數(shù) yf(x)在(a，b)內可導，則：(1)若 f(x)0，則 f(x)在(a，b)內單調遞增；(2)若 f(x)0，即 x22x30.解得3x1.f(x)的單調遞增區(qū)間為(3,1).故選 D.答案：D(3)(2015年陜西)設 f(x)xsin x，則 f(x)

2、()A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)C.是有零點的減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)D.是沒有零點的奇函數(shù)解析：因為 f(x)1cos x0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項 A 和 C.又因為 f(0)0sin 00，所以函數(shù)存在零點，排除選項 D.故選 B.答案：B【規(guī)律方法】求函數(shù)的單調區(qū)間與函數(shù)的極值時要養(yǎng)成列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能.如果一個函數(shù)在給定的定義域上單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號“”連接，只能用“，”或“和”字隔開.考點2含參數(shù)函數(shù)的單調性例2：已知函數(shù) f(x)x3ax1.(1)討論 f(x)的單調性；(2)若 f(x)在 R 上為增函數(shù)，求實數(shù)

3、a 的取值范圍；(3)若 f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍；(4)若 f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，試求 a 的取值范圍；(5)若 f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,1)，求 a 的值；(6)若 f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調，求 a 的取值范圍.解：(1)f(x)3x2a.當 a0 時，f(x)0，所以 f(x)在 R 上為增函數(shù).(2)因為 f(x)在 R 上是增函數(shù)，所以 f(x)3x2a0 在 R上恒成立，即 a3x2 對 xR 恒成立.因為 3x20，所以只需 a0.又因為 a0 時，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函數(shù)，所以 a0，即 a 的

4、取值范圍為(，0.(3)因為 f(x)3x2a，且 f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立.所以 a3x2 在(1，)上恒成立.所以 a3.即 a 的取值范圍為(，3.(4)由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2 在(1,1)上恒成立.因為1x1，所以 3x23.所以 a3.即當 a 的取值范圍為3，)時，f(x)在(1,1)上為減函數(shù).【規(guī)律方法】若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間 D 上單調遞增(減)，求參數(shù)取值范圍問題，一是可轉化為f(x)0或f(x)0恒成立問題，從而構建不等式，要注意“”是否可以取到，

5、二是利用集合間的包含關系處理：yf(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.【互動探究】1.(2018 年豫西南部分示范性高中聯(lián)考)若函數(shù) f(x)2x2ln xax 在定義域上單調遞增，則實數(shù) a 的取值范圍為()DA.(4，)C.(，4)B.4，)D.(，4答案：C思想與方法 運用分類討論思想討論函數(shù)的單調性例題：(2016年新課標)已知函數(shù) f(x)(x2)exa(x1)2.(1)討論 f(x)的單調性；(2)若 f(x)有兩個零點，求 a 的取值范圍.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).設 a0，則當 x(，1)時，f(x)0.所以 f

6、(x)在(，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增.設 aa，則ln(2a)0；當 x(ln(2a)，1)時，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上單調遞增，在(ln(2a)，1)上單調遞減.)若a1.e2故當 x(，1)(ln(2a)，)時，f(x)0；當 x(1，ln(2a)時，f(x)0，則由(1)知，f(x)在(，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增.故 f(x)在(1，)上至多有一個零點，在(，1)上至多有一個零點.由于 f(2)a0，f(1)e0，則 f(2)f(1)0.根據(jù)零點存在性定理，f(x)在(1,2)上有且僅有一個零點.而當 x1 時，exe，x21e(x2

7、)a(x1)2a(x1)2e(x1)e.因此，當 x1 且 x0.設a0，若a，則由(1)知，f(x)在(，ln(2a)，又 f(1)e0，根據(jù)零點存在性定理，f(x)在(，1)上有且只有一個零點.所以 f(x)有兩個零點.設 a0，則 f(x)(x2)ex，所以 f(x)有一個零點.e2(1，)上單調遞增，在(ln(2a)，1)上單調遞減.f(x)極小值f(1)e0，f(x)極大值fln(2a)aln(2a)2210，故此時函數(shù) f(x)至多有一個零點，不符合題意，舍去；當a時，f(x)ex(x2)ex2a(x1)(x1)(ex若a，則由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上單調遞減，在e

8、2e)0 恒成立，此時函數(shù) f(x)至多一個零點，不符合題意，舍去；e2(，1)，(ln(2a)，)上單調遞增.f(x)極大值f(1)e0，f(x)極小值f(ln(2a)0，此時函數(shù)f(x)至多有一個零點，不符合題意，舍去.綜上所述，a 的取值范圍為(0，).【規(guī)律方法】本題第一問是用導數(shù)研究函數(shù)單調性，對含有參數(shù)的函數(shù)單調性的確定，通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；第二問是求參數(shù)取值范圍，由于這類問題常涉及導數(shù)、函數(shù)、不等式等知識，越來越受到高考命題者的青睞，解決此類問題的思路是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或極值破解.【互動探究】當 0a2，即2a0 時，0 x2 時，f(x)0；當ax2 時，f(x)2，即 a2 時，0 xa 時，f(x)0；2xa 時，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上單調遞增，在(2，a)上單調遞減.綜上所述，當 a2 時，f(x)在(0，)上單調遞增；當2a0 時，f(x)在(0，a)，(2，)上單調遞增，在(a,2)上單調遞減；當 a2 時，f(x)在(0,2)，(a，)上單調遞增，在(2，a)上單調遞減.