電工技術(shù)(西電第二版)第3章正弦交流電路
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1、第3章正弦交流電路,,3.1正弦交流電的基本概念 3.2正弦量的相量表示法 3.3單一參數(shù)電路元件的交流電路 3.4電阻電感電容串聯(lián)電路 3.5正弦交流電路的一般分析方法 3.6電路的諧振 3.7功率因數(shù)的提高 本章小結(jié) 思考題與習題,3.1 正弦交流電的基本概念3.1.1 電力生產(chǎn)過程介紹圖3-1為燃煤電廠的火力發(fā)電生產(chǎn)及輸送過程示意圖。,,,圖3-1 火力發(fā)電生產(chǎn)及輸送過程示意圖,水力發(fā)電及輸送過程示意圖如圖3-2所示。 電力生產(chǎn)所耗用的一次能源量是很大的, 一座100萬千瓦燃煤發(fā)電廠日耗原煤量約1100013000噸。 在生產(chǎn)過程中, 電廠自身需用電量, 火電廠的廠用電率為7%9%。水電
2、廠的廠用電率為0.3%左右。 在供電過程中, 輸配電設(shè)備的線損率為8%左右, 管理不善的系統(tǒng)還要高得多。,,,圖3-2 水力發(fā)電及輸送過程示意圖,3.1.2 發(fā)電機的工作原理圖3-3是一個最簡單的交流發(fā)電機的原理示意圖。 交流發(fā)電機的結(jié)構(gòu), 主要由一對能夠產(chǎn)生磁場的磁極(定子)和能夠產(chǎn)生感應電動勢的線圈(轉(zhuǎn)子)組成。 轉(zhuǎn)子線圈的兩端分別接到兩只互相絕緣的銅滑環(huán)上, 銅環(huán)與連接外電路的電刷相接觸。 圖3-4是線圈在磁場運動中切割磁力線的情況。,,,圖3-3 交流發(fā)電機原理示意圖,,圖3-4 交流發(fā)電機線圈在磁場中的運動,在圖3-3中, 由于發(fā)電機線圈cd邊切割磁力線運動, 所以其產(chǎn)生的感應電動勢
3、為ecd=BLv sin(t+j0) (3-1)同理, 線圈ab邊產(chǎn)生的感應電動勢為eab=BLv sin(t+j0) (3-2)所以整個線圈產(chǎn)生的感應電動勢為e=eab+ecd=2BLv sin(t+j0)=Em sin(t+j0) (3-3)式中, Em=2BLv是感應電動勢的最大值, 又叫振幅。,,3.1.3 周期和頻率 周期電流應該是i(t)=i(t+kT) (3-4)式中, k為任意正整數(shù), 單位為秒(s)。 周期電流波形如圖3-5所示。式(3-4)表明, 在時間t和時刻t+kT的電流值是相等的。,,,圖3-5 正弦交流電的波形,于是, 將T稱為周期, 周期的倒數(shù)稱為頻率, 用
4、符號f表示, 即,,,(3-5),頻率表示了單位時間內(nèi)周期波形重復出現(xiàn)的次數(shù)。 頻率的單為1/s, 有時稱為赫茲(Hz)。 我國工業(yè)和民用電的頻率是50 Hz, 稱為標準工業(yè)頻率或簡稱工頻。,3.1.4 相位和相位差1 相位 正弦電流的數(shù)學表達式為i(t)=Im sin(t+ji) (3-6)式中的三個常數(shù)Im、、ji稱為正弦量的三要素。 Im為正弦電流的振幅, 它是正弦電流在整個變化過程中所能達到的最大值。 稱為正弦電流i的角頻率, 正弦量隨時間變化的核心部分是t+ji, 它反映了正弦量的變化進程, 稱為正弦量的相角或相位,就是相角隨時間變化的速度, 單位是rad/s。,,反映正弦量
5、變化快慢的要素, 與正弦量的周期T和頻率f有如下關(guān)系T=2或,,,ji稱為正弦電流i的初相角(初相)。 它是正弦量t=0時刻的相角, 它的大小與計時起點的選擇有關(guān)。 初相角ji在工程上用角度來度量, 一般總是取小于或等于的數(shù)值。,我們以正弦交流電過零變正的時刻為一個周期的波形起始點, 如在t=0時,正弦交流電正好處于波形起始點, 則認為初相角ji=0; 如正弦交流電在t=0之前已經(jīng)到達波形的起始點,則認為ji0;如正弦交流電在t=0之后才到達波形起始點,則認為ji<0。用正弦交流電的三要素能完全表征正弦交流電在任何瞬間的數(shù)值瞬時值。如圖3-6所示為正弦電流的瞬時值波形。電壓或電流瞬時值常用小寫
6、字母u(t)或i(t)來表示。,,,圖3-6 正弦電流的瞬時值波形,2 相位差 在正弦電流電路的分析中, 經(jīng)常要比較同頻率的正弦量的相位差。 設(shè)任意兩個同頻率的正弦量 i1(t)=I1m sin(t+j1)i2(t)=I2m sin(t+j2)它們之間的相位之差稱為相位差, 用j表示, 即j=(t+j1)(t+j2)=j1j2 (3-8),,如圖3-7所示, 若j0, 表明i1超前i2, 稱i1超前i2一個相位角j, 或者說i2滯后i1一個相位角j 。 若j =0, 表明i1與i2同時達到最大值, 則稱它們是同相位的, 簡稱同相。 若j =180, 則稱它們的相位相反, 簡稱反相。若j <
7、0, 表明i1滯后i2一個相位角j 。,,,圖3-7 兩個同頻率正弦量之間的相位差,例3-1 已知正弦電壓u和電流 i1、 i2的瞬時值表達式為u=310 sin(t45)Vi1=14.1 sin(t30)Ai2=28.2 sin(t+45)A 試以電壓u為參考量重新寫出u和電流i1、i2的瞬時值表達式。,,解 以電壓u為參考量, 則電壓u的表達式為u=310 sint V由于i1與u的相位差為j1=ji1ju=30(45)=15故電流i1的瞬時值表達式為i1=14.1 sin(t+15)A由于i2與u的相位差為j2=ji2ju=45(45)=90故電流i2的瞬時值表達式為i2=28.2 s
8、in(t+90)A,,3.1.5 有效值 交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應原理來規(guī)定的。 在數(shù)值相同的電阻R上分別通以周期電流i和直流電流I。 當周期電流流過電阻時, 該電阻在一個周期T內(nèi)所消耗的電能為,,,當直流電流流過電阻R時, 在相同時間T內(nèi)所消耗的電能為PT=I2RT 如果在周期電流一個周期T的時間內(nèi), 這兩個電阻所消耗的電能相等, 也就是說,就其做功平均能力來說, 這兩個電流是等效的, 則該直流電流I的數(shù)值可以表征周期電流i的大小, 于是, 把這一等效的直流電流I稱為交流電流i的有效值, 即,,,,,,由式(3-9)可知, 周期電流的有效值等于電流瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再
9、開方, 因此, 有效值又稱為均方根值。,同理可得周期電壓U的有效值為,,,正弦交流電流i(t)=Im sin(t+ji)的有效值為,,(3-10),,3.2 正弦量的相量表示法3.2.1 相量求解一個正弦量必須先求得它的三要素, 但在分析正弦交流電路時, 由于電路中所有的電壓、 電流都是同一頻率的正弦量, 而且它們的頻率與正弦電源的頻率相同,因此, 只要分析另外兩個要素幅值(或有效值)及初相位就可以了。 正弦量的相量表示就是用一個復數(shù)來表示正弦量。 這樣的一個復數(shù)稱為相量。 由歐拉公式可知,,,,,(3-12),式(3-12)把一個實變數(shù)的復指數(shù)函數(shù)和兩個實變數(shù)t的正弦函數(shù)聯(lián)系了起來。,,,(
10、3-13),式中, “Re”表示對復數(shù)函數(shù)取實部, “Im”表示對復數(shù)函數(shù)取虛部。 這樣, 一個正弦電流i(t)=Im sin(t+ji)可以寫為,,,,(3-14),其中,,,3.2.2 相量圖 相量在復平面上可以用有向線段表示, 電壓相量如圖3-8所示。,圖3-8 電壓相量圖,旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影便是正弦電流, 如圖3-9所示。,圖3-9 旋轉(zhuǎn)相量及其在實軸和虛軸的投影,例3-3 已知, , 求總電流i=i1+i2的瞬時值。 解 方法一: i1、i2的有效值相量分別為,,,,,,所以,,,,,方法二: i1、 i2的相量圖如圖3-10所示, 用平行四邊行法則求得,,,,,,,,圖3-10
11、 例3-3的圖,,3.3 單一參數(shù)電路元件的交流電路3.3.1 電阻電路1. 電壓電流關(guān)系圖3-11(a)是一個線性電阻元件的交流電路。,,,圖3-11 電阻元件的交流電路 (a) 電路; (b) 波形圖; (c) 相量圖,電阻元件的電壓電流關(guān)系由歐姆定律確定, 在u、 i參考方向一致時, 兩者的關(guān)系為u=Ri設(shè)電流為參考正弦量, 即i=Im sint (3-15)則u=Ri=RIm sint=Um sint (3-16),,比較式(3-15)和式(3-16)可知, 電壓u和電流i有如下大小和相位關(guān)系: u、 i的相位差為j=juji=0即電阻元件上的電壓和電流同相。 u、 i的幅值
12、關(guān)系為 Um=RIm u、 i的有效值關(guān)系為 U=RI,,2 功率功率的變化曲線如圖3-12所示, 從曲線可以看出, 電阻所吸收的功率在任一瞬時總是大于等于零的, 即電阻是耗能元件。 瞬時功率無實用意義, 通常都是計算一個周期內(nèi)取用功率的平均值, 稱為平均功率或有功功率, 用大寫字母P表示。,,,,圖3-12 電阻元件的功率,例3-4 已知一個白熾燈泡, 工作時的電阻為484 , 其兩端的正弦電壓u=311 sin(314t60)V, 試求: (1) 通過白熾燈的電流相量 及瞬時表達式i; (2) 白熾燈工作時的功率。,,,解 (1) 電壓相量為,,,電流相量為,,,,,電流瞬時值表達式
13、為,(2) 平均功率為,,3.3.2 電感電路1 電壓電流關(guān)系 電感電路如圖3-13(a)所示。,圖3-13 電感元件的交流電路 (a) 電路; (b) 波形圖; (c) 相量圖,在關(guān)聯(lián)參考方向下, 電感元件的電壓、 電流關(guān)系為,,,若設(shè)電流 i為參考正弦量, 即 i = Im sint (3-18) 則,,(3-19),u、i的相量關(guān)系如下: 若電流相量為 , 根據(jù)前面的關(guān)系式可得電壓相量為,,,,即,,(3-20),2 功率 電感電路所吸收的瞬時功率為,,,電感元件的功率變化曲線如圖3-14所示。 從功率曲線可以看出, 曲線所包圍的正、 負面積相等,
14、 故平均功率(有功功率)為,,,圖3-14 電感元件的功率,例3-5 已知一個電感線圈, 電感L=0.5H, 電阻可略去不計, 接在50 Hz、 220 V的電源上, 試求: (1) 該電感的感抗XL; (2) 電路中的電流I及其與電壓的相位差j; (3) 電感占用的無功功率QL。 ,,解 (1) 感抗為XL=2fL=2500.5 =157 (2) 選電壓 為參考相量, 即 =2200V, 則,,,,即電流的有效值 I=1.4 A, 相位上滯后于電壓90。,3.3.3 電容電路1 電壓電流關(guān)系 電容元件的交流電路如圖3-15所示。,圖3-15 電容元件的交流電路 (a) 電路; (b
15、) 波形圖; (c) 相量圖,在關(guān)聯(lián)參考方向下, 電容元件的電壓電流關(guān)系為,,,在圖3-15(a)所示電路中, 設(shè)電壓為參考正弦量, 即,,(3-22),則,,u、 i的相位差為j=juji=90即電容元件上電流比電壓超前90。 u、 i的幅值關(guān)系為 Im=CUm 或 u、 i的有效值關(guān)系為,,,,式中, XC稱為容抗, 單位為歐姆(), 且,,,(3-24),u、i的相量關(guān)系: 由式(3-23)、 (3-24)可知,,或,,2 電容電路中的功率 電容電路所吸收的瞬時功率為功率瞬時值曲線見圖3-16。,,,(3-25),,圖3-16 電容元件的功率瞬時值,例3-6 一個10 F的電容元件,
16、 接到頻率為50 Hz、 電壓有效值為12 V的正弦電源上, 求電流 I。 若電壓有效值不變, 而電源頻率改為1000 Hz, 試重新計算電流 I。 解 (1) 當頻率f=50 Hz時, 容抗為,,,電流為,,(2) 當頻率f=1000 Hz時, 容抗為,,,電流為,,,3.4 電阻電感電容串聯(lián)電路3.4.1 電壓與電流之間的關(guān)系 圖3-17所示為R、 L、C串聯(lián)電路。,,,圖3-17 R、 L、C串聯(lián)的交流電路,1 電壓有效值 將與的相量和定義為, 由相量圖可知外接電壓相量、 相量構(gòu)成一個直角三角形, 稱為電壓三角形, 如圖3-18(a)所示。,,,,,,,,不難求出,,(3-27),,圖3
17、-18 電壓、 阻抗及功率三角形 (a) 電壓三角形; (b) 阻抗三角形; (c) 功率三角形,代入式(3-27),得,,,(3-28),根式 具有阻礙電流的性質(zhì), 稱為電路的阻抗, 用符號|Z|表示,它的單位也是歐姆(), 即,,,(3-29),2 電壓u與電流i有效值之間的關(guān)系 阻抗中的XLXC被稱為電抗, 用符號 X 表示, 將X=XLXC代入式(3-29), 有,,,阻抗|Z|、 R與X的關(guān)系也可用直角三角形表示, 稱為阻抗三角形, 如圖3-18(b)所示。 于是, 電壓、 電流的有效值關(guān)系為 U=|Z|I,3 電壓u與電流i的相位差 由于以為參考相量, ji=0, 所以u、i的相位
18、差j=juji=ju, 由電壓三角形可知,,,,可見, 當電源頻率一定時, 電壓u與電流i的相位關(guān)系和有效值關(guān)系都取決于電路參數(shù)R、 L、C。,4 電壓u與電流i的相量關(guān)系 由單一參數(shù)電路的電壓關(guān)系可得,,,(3-30),式中, R+j(XLXC)稱為復阻抗, 用符號Z表示, 即,,有了復阻抗的概念, 則式(3-30)可寫成式(3-31)與直流電路中歐姆定律有相似的形式, 稱為歐姆定律的相量形式。 進一步展開推導, 有,,,(3-31),,例3-7 已知一個R、L串聯(lián)電路, R=30 , XL=40 , 求電流 i。 解 方法一: 分別確定i的初相ji和有效值 I。,,,,所以,,阻抗為,,,
19、電流為,,,因此,,方法二: 用相量、的關(guān)系求解。 電壓相量為,,,,,復數(shù)阻抗為,電流相量為,,因此,,3.4.2 電阻電感電容串聯(lián)電路的功率1 平均功率(有功功率) 在R、 L、C串聯(lián)的正弦交流電路中, 若u、i參考方向一致, 且設(shè)有正弦電流i=Im sint通過,則電壓u=Um sin(t+j), 電路的瞬時功率為,,,,,電路的平均功率為,,,(3-32),由電壓三角形可知 U cosj=UR 所以 P=UI cosj=URI=RI2 (3-33),2 無功功率 在R、L、C串聯(lián)的正弦交流電路中, 電感元件的瞬時功率為pL=uLi, 電容元件的瞬時功率為
20、pC=uCi。 由于電壓uL和電流uC反相, 因此當pL為正值時, pC為負值, 即電感元件取用能量時, 電容元件正放出能量; 反之,當pL為負值時,pC為正值, 即電感元件放出能量時, 電容元件正取用能量, 因此R、 L、C串聯(lián)的正弦交流電路中無功功率為Q=QLQC,,由于QL=ULI, QC=UCI, 所以,,,,由電壓三角形可知 UX=U sinj 故 Q=UI sinj (3-34),3 視在功率 在正弦交流電路中, 把電流、 電壓的有效值的乘積定義為視在功率, 用S表示, 即S=UI (3-35) 由式(3-33)、 (3-35)可以得到 (3-36
21、) P、Q、 S三者也構(gòu)成直角三角形, 稱為功率三角形, 如圖3-18(c)所示。,,,圖3-19所示即為一二端網(wǎng)絡(luò)。,圖3-19 二端網(wǎng)絡(luò),例3-8 計算例3-7電路的平均功率、 無功功率及視在功率。 解 因為U=220 V, I=4.4 A,,,,所以視在功率為 S=UI=2204.4=968 VA 平均功率為 p=UI cosj=2204.4cos53.1=580.8 W,無功功率為 Q=UI sinj=2204.4sin53.1=774.4 var或 P=RI2=304.42=580.8 W Q=XLI2=404.42=774.4 var,,,3.5 正弦交流電
22、路的一般分析方法3.5.1 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫電流定律對電路中的任一節(jié)點在任一瞬時都是成立的, 即ik=0。,,將方程改寫為 i1+i2++in=0正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中, 這些電流ik都是同頻率的正弦量, 可用相量表示為,,,或,,(3-37),3.5.2 復阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)如圖3-20(a)所示的多個復阻抗串聯(lián)時, 其總復阻抗等于各個分復阻抗之和, 即 Z=Z1+Z2++Zn圖3-20(b)所示的多個復阻抗并聯(lián)時, 其總復阻抗的倒數(shù)等于各個分復阻抗的倒數(shù)之和, 即,,,,圖3-20 復阻抗的串聯(lián)和并聯(lián) (a) 串聯(lián); (b) 并聯(lián),上列各式是復數(shù)運算, 并不是實數(shù)運算。
23、 因此, 在一般情況下, 當復阻抗串聯(lián)時|Z||Z1|+|Z2|++|Zn|當復阻抗并聯(lián)時有,,,3.5.3 應用舉例例3-9 圖3-21的電路中, R1=100 , R2=100 , R3=50 , C1=10 F, L3=50 mH, U=100 V, =1000 rad/s。 求各支路電流。,圖3-21 例3-9圖,解 由已知條件可得,,,,電路的等效復阻抗為,,,設(shè)則,,,,,,,例3-10 圖3-22電路中, 兩臺交流發(fā)電機并聯(lián)運行, 供電給Z=5+j5 的負載。 每臺發(fā)電機的理想電壓源電壓US1、US2均為110 V, 內(nèi)阻抗Z1=Z2=1+j1 , 兩臺發(fā)電機的相位差為30, 求
24、負載電流。,,,,圖3-22 例3-10圖,解 先假定各支路電流的參考方向, 再選取獨立回路、 , 并指定回路的繞行方向,對節(jié)點應用基爾霍夫電流定律, 得,,,對回路、 回路分別應用基爾霍夫電壓定律得,,,,,3.6 電路的諧振3.6.1 串聯(lián)諧振 R、L、C串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件為ImZ(j)=X=0, 設(shè)發(fā)生諧振時激勵的頻率為0, 則,,,0為R、L、C串聯(lián)電路的諧振角頻率, 可解得,,(3-38),由于0=2f0, 所以有,,,(3-39),式中, f0稱為串聯(lián)電路的諧振頻率, 它與電阻R無關(guān), 反映了串聯(lián)電路的一種固有的性質(zhì), 對于每一個R、L、C串聯(lián)電路, 總有一個對應的諧振頻率,
25、 而且改變、L或C都可使電路發(fā)生諧振或消除諧振。,串聯(lián)諧振的特性如下: (1) 電流與電壓同相位, 電路呈電阻性。 (2) 電路的阻抗最小, 電流最大。 因諧振時電路復阻抗的虛部為零, 阻抗為純電阻, 阻抗的模為最小值, 電路中的最大電流十分容易求出:,,,由R、L、C串聯(lián)電路的阻抗表達式,,,可知, 如果電源輸入電壓不變, 當電源頻率ff0或f 26、 (b) 電流響應曲線; (c) R與電流響應的關(guān)系,(3) 電感端電壓與電容端電壓大小相等, 相位相反; 電阻端電壓等于外加電壓。 諧振時, 電感端電壓與電容端電壓有效值相等, 相位相反, 相互完全抵消。 外施電壓全部加在電阻上, 電阻上的電壓達到最大值, 即,,,,(4) 電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。 諧振時, 電感或電容的端電壓與外加電壓的比值為,,,,Q稱為諧振回路的品質(zhì)因數(shù)或諧振系數(shù)。 當XL遠大于R時, Q值一般可達幾十至幾百, 所以串聯(lián)諧振時電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。,電路的阻值越小, 電流響應曲線就越尖銳, 如圖3-23(c)所示。 電路選擇性的 27、好壞便用品質(zhì)因數(shù)來表示: Q值越大, 選擇性越好; Q值越小, 選擇性越差。 因為Q值遠大于1, 當電路在接近諧振時, 電感和電容上會出現(xiàn)超過外施電壓Q倍的高電壓。 在電力系統(tǒng)中, 出現(xiàn)這種高電壓是不允許的, 這將引起某些電氣設(shè)備的損壞,但在無線電技術(shù)中它是有用的。,,例3-11 收音機的輸入回路可以用圖3-24所示的等效電路來表示, 設(shè)線圈的電阻為16 , 電感為0.4 mH, 電容為600 pF。 試求: (1) 電路的諧振頻率、 總阻抗和品質(zhì)因數(shù); (2) 當頻率高于諧振頻率20%時, 電路的總阻抗。,,,圖3-24 例3-11的圖,解 (1) 電路發(fā)生諧振時, 諧振頻率為,,,總阻 28、抗為 |Z|=R=16 品質(zhì)因數(shù)為,,(2) 當頻率高于諧振頻率20%時, f=(1+0.2)f0, 則 感抗為,,,容抗為,,總阻抗為,,3.6.2 并聯(lián)諧振 諧振也可以發(fā)生在并聯(lián)電路中, 下面以圖3-25所示的電感線圈與電容器并聯(lián)的電路為例來討論并聯(lián)諧振。,圖3-25 并聯(lián)諧振電路,在圖3-25所示電路中, 當電路參數(shù)選取適當時, 可使總電流 與外加電壓 同相位, 這時稱電路發(fā)生了并聯(lián)諧振。 此時RL支路中的電流,,,,,電容C支路中的電流為,,總電流為,,,,若總電流與外加電壓同相位, 則上式虛部應為零, 即,,,,在一般情況下, 線圈的電阻R很小, 故,,,于是, 諧振角頻率為,,, 29、故諧振頻率為,,這說明并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振的條件基本相同。 并聯(lián)諧振相量圖如圖3-26所示。,圖3-26 并聯(lián)諧振相量圖,并聯(lián)諧振有以下特征: (1) 電流與電壓同相位, 電路呈電阻性。 (2) 電路的阻抗最大, 電流最小。 諧振時的電流為,,,式中,,(R相對很小),(3) 電感電流與電容電流幾乎大小相等, 相位相反。 由于 與 同相, 且 的數(shù)值極小, 故 與 必然近乎大小相等, 相位相反。 (4) 電感或電容支路的電流有可能大大超過總電流。 并聯(lián)諧振的品質(zhì)因數(shù)為電感或電容支路的電流與總電流之比, 即,,,,,,,,3.7 功率因數(shù)的提高3.7.1 提高功率因數(shù)的 30、意義1. 使電源設(shè)備得到充分利用 電源設(shè)備的額定容量SN是指設(shè)備可能發(fā)出的最大功率, 實際運行中設(shè)備發(fā)出的功率P還要取決于cosj, 功率因數(shù)越高, 發(fā)出的功率越接近于額定功率, 電源設(shè)備的能力就越能得到充分發(fā)揮。,,2. 降低線路損耗和線路壓降 輸電線上的損耗為Pl=I2Rl, 其中Rl為線路電阻, 線路壓降為Ul=RlI, 而線路電流 I=P/(U cosj), 由此可見, 當電源電壓U及輸出有功功率P一定時, 提高功率因數(shù)可以使線路電流減小, 從而降低傳輸線上的損耗, 提高供電質(zhì)量。 提高功率因數(shù)還可以在相同線路損耗的情況下節(jié)約用銅。,,3.7.2 提高功率因數(shù)的方法對感性負載提高功率因 31、數(shù)的電路如圖3-27(a)所示。,圖3-27 功率因數(shù)的提高,由圖3-27(b)還可以看出, 并聯(lián)電容后, 電容電流補償了一部分感性負載電流的無功分量IL sinj1, 因而減小了線路中電流的無功分量。 顯然, 并入電容支路的電流有效值為 IC=IL sinj1I sinj因為,,,所以, 要使電路的功率因數(shù)由原來的cosj1提高到cosj, 需要并聯(lián)的電容器的電容量為,,,(3-40),并聯(lián)電容的無功功率為 QC=QLQ=P(tanj1tanj) (3-41) 其中, P為感性負載的有功功率。,又因為,,,所以,,(3-42),式(3-42)就是提高功率因數(shù)所需電 32、容的計算公式。,例3-12 一個220 V, 40 W的日光燈, 功率因數(shù)cosj1=0.5, 接入頻率 f=50 Hz, 電壓U=220 V的正弦交流電源, 要求把功率因數(shù)提高到cosj=0.95, 試計算所需并聯(lián)電容的電容值。 ,,解 因為cosj1=0.5, cosj=0.95, 所以tanj1=1.732, tanj=0.329QC=P(tanj1tanj)=40(1.7320.39)=56.12 var,,,,本 章 小 結(jié) 幅值、 頻率和初相位是確定一個正弦量的三要素。 只要知道了正弦量的三要素,就可用波形圖、 正弦函數(shù)表達式和相量表示法來表達一個正弦量。 正弦交流電的頻率f與周 33、期T、 角頻率的關(guān)系為,,,,,,有效值與幅值的關(guān)系為,,,兩個同頻率正弦量之和仍為頻率相同的正弦量, 其和的有效值(幅值)及初相位可通過相量相加的方法求得。,當串聯(lián)交流電路或并聯(lián)交流電路對外呈現(xiàn)電阻性時, 電路被稱為發(fā)生了串聯(lián)諧振或并聯(lián)諧振。 發(fā)生諧振的條件是端口的電壓相量與電流相量同相位, 諧振角頻率0滿足式子,,,,,對于電壓U和功率P一定的感性負載, 其功率因數(shù)cosj越低, 則工作電流越大,這將使電源設(shè)備的容量不能得到充分利用, 供電線路的能量損耗增加和供電效率的降低。 因此, 對電感性負載常采用并聯(lián)電容的方法來提高功率因數(shù), 電容的無功功率QC和電容值C可按以下公式計算: 34、 QC=P(tanj1tanj),,,,思考題與習題3-1 指出下列各正弦量的幅值、 頻率、 初相角, 并畫出它們的波形圖。 (1) i=10 sin(6280t+45)mA(2) u=220sin(314t120)V(3) u=5 sin(2000t+90)V,,,3-2 在圖3-28中給出了某正弦交流電路的相量圖, 已知U=220 V, I1=6 A, I2=8 A, 試寫出u、i1、i2的瞬時值表達式(角頻率為)。,圖3-28 習題3-2圖,3-3 在圖3-29所示正弦交流電u1=220 sint V, u2=220 sin(t120)V, 試用相量表示法求出電壓ua、ub。,圖3- 35、29 習題3-3圖,3-4 電感元件L=1.59 H, 接于u=220 sin314 V的正弦電源上, 求感抗XL和電流i。 3-5 電容元件C=31.8 F接于u=220 sin314 V的正弦電源上, 求容抗XC和電流i。 3-6 一個電阻為1.5 k, 電感為6.37 H的線圈, 接于50 Hz, 380 V的正弦電源上,求電流I, 功率因數(shù)cosj和功率P、 Q、 S。 3-7 R、 L串聯(lián)的電路接于50 Hz、 100 V的正弦電源上, 測得電流I=2 A, 功率P=100 W, 試求電路參數(shù)R、 L。,3-8 R、 C串聯(lián)的電路接于50 Hz的正弦電源上, 如圖3-30所示, 已知 36、R=100 , , 電壓相量U=2000V, 求復阻抗Z、 電流和電壓, 并畫出電壓和電流的相量圖。,,,,,,圖3-30 習題3-8圖,3-9 有一RC移相電路如圖3-31所示, 已知C=100 F, U=200 V, f=50 Hz, 求感抗XL、 容抗XC、 復阻抗Z及電流I。,圖3-31 習題3-9圖,3-10 在R、L、C串聯(lián)電路中, R=10 , L=0.2 H, C=100 F, U=200 V, f=50 Hz, 求感抗XL、 容抗XC、 復阻抗Z及電流I。 3-11 在圖3-32中, 求。,,,,,,圖3-32 習題3-11圖,3-12 在圖3-33所示正弦交流電路中, 已知 37、電流表A1讀數(shù)為40 mA, A2讀數(shù)為80 mA, A3讀數(shù)為50 mA, 求電流表A的讀數(shù)。,圖3-33 習題3-12圖,3-13 圖3-34所示電路, 已知U=100 V, R1=20 , R2=10 , X2=10。 (1) 求電流I, 并畫出電壓電流相量圖; (2) 計算電路的功率P和功率因數(shù)cosj。,,,,圖3-34 習題3-13圖,3-14 圖3-35所示正弦交流電路, 已知 求, 并畫出相量圖。,圖3-35 習題3-14圖,,,3-15 圖3-36所示正弦交流電路,已知XC=50 , XL=100, R=100 , 電流, 求電阻上的電流和總電壓。 ,圖3-36 習題3-15圖,,,,3-16 已知, 流過不同負載得到以下不同的電壓值, 問各種情況下負載阻抗的大小和負載的性質(zhì)。,,,,3-17 某電視機的吸收回路如圖3-37所示, 要求吸收37 MHz的干擾信號, 已知C1=C2=6.2 pF, 求電感量L應為多少。,圖3-37 習題3-17圖,3-18 日光燈與鎮(zhèn)流器串聯(lián)后接到交流電源上, 可看做R、 L串聯(lián)電路。 若已知220 V, 40 W的日光燈的功率因數(shù)為cosj1=0.5, 現(xiàn)采用并聯(lián)電容的方法提高功率因數(shù),使cosj=0.96, 求所需的電容量C。,,,
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