有限元基礎(chǔ)及應(yīng)用

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1、有限元基礎(chǔ)及應(yīng)用,主講:姚林泉 電話:13915587868 E-mail:,課程介紹,一、課程內(nèi)容: 1、有限元法理論基礎(chǔ); 2、應(yīng)用ANSYS有限元軟件對汽車/機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。 二、學(xué)習(xí)方法: 理論與實(shí)踐相結(jié)合,即通過應(yīng)用有限元分析實(shí)際問題來掌握有限元理論。 三、學(xué)時(shí)數(shù):54學(xué)時(shí)(36學(xué)時(shí)理論+18學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)) 四、考核方式:平時(shí)成績+上機(jī)考試+筆試成績,第一章 緒論,1.1 有限元法概述 有限元法誕生于20世紀(jì)中葉(1943年),隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展,已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法,它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場的問題。,一、什么是有限元法?,有限元法是將

2、連續(xù)體理想化為有限個單元集合而成,這些單元僅在有限個節(jié)點(diǎn)上相連接,即用有限個單元的集合來代替原來具有無限個自由度的連續(xù)體。,二、有限元法的基本思想,有限元法的基本思想是:“分與合”。 “分”是為了劃分單元,進(jìn)行單元分析; “合”則是為了集合單元,對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。 結(jié)構(gòu)離散-單元分析-整體求解,三、有限元法的基本步驟,無論對于什么樣的結(jié)構(gòu),有限元分析過程都是類似的。其基本步驟為: (1)研究分析結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界、載荷工況等; (2)將連續(xù)體劃分成有限單元,形成計(jì)算模型,包括確定單元類型與邊界條件、材料特性等;,,(3)以單元節(jié)點(diǎn)位移作為未知量,選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示單元中

3、的位移,再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變,根據(jù)材料的物理關(guān)系,把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來,最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點(diǎn)力,建立單元等效節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。這一過程就是單元特性分析。,,(4)利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來,集合成整體的有限元方程,求解出節(jié)點(diǎn)位移。 重點(diǎn):對于不同的結(jié)構(gòu),要采用不同的單元,但各種單元的分析方法又是一致的。,四、有限元法的學(xué)習(xí)路線,從最簡單的桿、梁及平面結(jié)構(gòu)入手,由淺入深,介紹有限元理論以及應(yīng)用。利用ANSYS軟件分析問題。,五、有限元法的發(fā)展與應(yīng)用,有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析,還能解決歸結(jié)為場問題的

4、工程問題,從二十世紀(jì)六十年代中期以來,有限元法得到了巨大的發(fā)展,為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。,(一)算法與有限元軟件,從二十世紀(jì)60年代中期以來,進(jìn)行了大量的理論研究,不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域,還開發(fā)了許多通用或?qū)S玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究,主要有: 大型線性方程組的解法; 非線性問題的解法; 動力問題計(jì)算方法。,目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表:,另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件,例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform,焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。,(二)應(yīng)用實(shí)例,有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域: 固體力學(xué):包

5、括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、振動和瞬態(tài)問題的分析; 傳熱學(xué); 電磁場; 流體力學(xué) ; 。。。。。。,轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析,基于ANSYS的齒輪嚙合仿真,1.2 有限元法在汽車工程中的應(yīng)用,隨著大型有限元通用程序的推廣和普及以及計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)的飛速發(fā)展,有限元已成為汽車設(shè)計(jì)中的重要環(huán)節(jié),無論在車型改造,還是在新車開發(fā)階段,就產(chǎn)品中的強(qiáng)度、疲勞、振動、噪聲等問題進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算分析,可提高設(shè)計(jì)質(zhì)量,縮短開發(fā)周期,節(jié)省開發(fā)費(fèi)用,從而真正形成自主的產(chǎn)品開發(fā)能力。,,車輛結(jié)構(gòu)由不同的材料組成,其結(jié)構(gòu)也非常復(fù)雜,包括板、梁、軸、塊等通過鉚接或焊接而成。 車輛結(jié)構(gòu)承受的載荷也十分復(fù)雜,其中包括自重,路面激勵、慣性力及

6、構(gòu)件之間的約束力。,,各種汽車結(jié)構(gòu)件都可以應(yīng)用有限元進(jìn)行靜態(tài)分析、模態(tài)分析和動態(tài)分析?,F(xiàn)代汽車設(shè)計(jì)中,已從早期的靜態(tài)分析為主轉(zhuǎn)化為以模態(tài)分析和動態(tài)分析為主。 汽車結(jié)構(gòu)有限元分析的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面: 1.整車及零部件強(qiáng)度和疲勞壽命分析 2.整車及零部件剛度分析 3.整車及零部件模態(tài)及動態(tài)分析 4.汽車NVH(噪聲、振動、聲振粗糙度)分析 5.整車碰撞安全性分析 6.設(shè)計(jì)優(yōu)化分析 7.氣動或流場分析 8.熱結(jié)構(gòu)耦合分析,有限元應(yīng)用實(shí)例 接觸問題,有限元應(yīng)用實(shí)例 沖壓成型,有限元應(yīng)用實(shí)例 汽車安全氣囊計(jì)算,有限元應(yīng)用實(shí)例 汽車碰撞1,有限元應(yīng)用實(shí)例 汽車碰撞2,有限元應(yīng)用實(shí)例 超彈性,,總

7、之,在工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)開發(fā)的各個階段,有限元的引入對降低開發(fā)成本,縮短研制周期,實(shí)施優(yōu)化設(shè)計(jì)等都非常關(guān)鍵且效果顯著。,設(shè)計(jì),計(jì)算,判斷(強(qiáng)度,剛度,穩(wěn)定性等),結(jié)束,,,不合理,合理,學(xué)習(xí)有限元需要的基礎(chǔ)知識,線性代數(shù) 數(shù)值計(jì)算:數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、數(shù)值積分等 彈性力學(xué) 變分原理,第 2章 有限元分析過程的概要,2.1 有限元分析的目的和概念,描述可承力構(gòu)件的力學(xué)信息一般有三類: (1)位移:構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的移動; (2)應(yīng)變:構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的變形狀態(tài); (3)應(yīng)力:構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的受力狀態(tài)。,為什么采用有限元方法就可以針對具有任意復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分

8、析,并能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果呢?,有限元方法是基于“離散逼近”的基本策略,可以采用較多數(shù)量的簡單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復(fù)雜的原函數(shù)。 一個復(fù)雜的函數(shù),可以通過一系列的基函數(shù)的組合來“近似” ,也就是函數(shù)逼近,其中有兩種典型的方法: (1)基于全域的展開(如采用傅立葉級數(shù)展開); (2)基于子域的分段函數(shù)組合(如采用分段線性函數(shù)的連接),例:一個一維函數(shù)的兩種展開方式的比較,兩種方法特點(diǎn),第一種方法(經(jīng)典瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz )的思想): 所采用的基本函數(shù)非常復(fù)雜,而且是在全域上定義的,但它是高次連續(xù)函數(shù),一般情況下,僅采用幾個基底函數(shù)就可以得到較高的逼近精度;,第二種方

9、式(有限元方法的思想): 所采用的基本函數(shù)非常簡單,而且是在子域上定義的,它通過各個子域組合出全域 ,但它是線性函數(shù),函數(shù)的連續(xù)性階次較低,因此需要使用較多的分段才能得到較好的逼近效果,則計(jì)算工作量較大。,基于分段的函數(shù)描述具有非常明顯的優(yōu)勢:,(1)可以將原函數(shù)的復(fù)雜性“化繁為簡” ,使得描述和求解成為可能 (2)所采用的簡單函數(shù)可以人工選取,因此,可取最簡單的線性函數(shù),或取從低階到高階的多項(xiàng)式函數(shù) (3)可以將原始的微分求解變?yōu)榫€性代數(shù)方程。 但分段的做法可能會帶來的問題有: (1) 因采用了“化繁為簡”,所采用簡單函數(shù)的描述的能力和效率都較低, (2) 由于簡單函數(shù)的描述能力較低,必然使

10、用數(shù)量眾多的分段來進(jìn)行彌補(bǔ),因此帶來較多的工作量。,2.2 一維階梯桿結(jié)構(gòu)問題的求解,以 1D階梯桿結(jié)構(gòu)為例,詳細(xì)給出各種方法求解的過程,直觀地引入有限元分析的基本思路,以此逐步介紹有限元分析的過程。,方法一:材料力學(xué)求解,(1)求內(nèi)力,(2)求應(yīng)力,(3)求應(yīng)變,(4)求伸長量,(5)求位移,計(jì)算結(jié)果圖示,討論:,(1)求解的基本力學(xué)變量是力(或應(yīng)力),由于以上問題非常簡單,而且是靜定問題,所以可以直接求出; (2)對于靜不定問題,則需要變形協(xié)調(diào)方程,才能求解出應(yīng)力變量,在構(gòu)建問題的變形協(xié)調(diào)方程時(shí),則需要一定的技巧; (3)若采用位移作為首先求解的基本變量,則可以使問題的求解變得更規(guī)范一些,

11、下面就基于 A、B、C 三個點(diǎn)的位移 來進(jìn)行以上問題的求解。,方法二:節(jié)點(diǎn)位移求解及平衡關(guān)系,要求分別針對每個連接節(jié)點(diǎn),基于節(jié)點(diǎn)的位移來構(gòu)建相應(yīng)的平衡關(guān)系,然后再進(jìn)行求解。,首先分析桿內(nèi)部的受力及變形狀況,節(jié)點(diǎn) A、B、C的受力狀況,分別建立它們各自的平衡關(guān)系,,,寫成矩陣形式,代入已知數(shù)值,求解得:,已知,回代求出應(yīng)變和應(yīng)力,討論:,物理含義就是內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系。內(nèi)力表現(xiàn)為各個節(jié)點(diǎn)上的內(nèi)力,并且可以通過節(jié)點(diǎn)位移來獲取。,方法三:基于位移求解的通用形式,,此方程的左端就是桿件的內(nèi)力表達(dá)和桿件的內(nèi)力表達(dá)之和,這樣就將原來的基于節(jié)點(diǎn)的平衡關(guān)系,變?yōu)橥ㄟ^每一個桿件的平衡關(guān)系來進(jìn)行疊加。,標(biāo)準(zhǔn)化過

12、程,單元節(jié)點(diǎn)位移,單元節(jié)點(diǎn)外力,單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力,單元節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力與外力平衡:,即:,或,其中,為單元的剛度矩陣,例:三連桿結(jié)構(gòu)的有限元分析過程,(1)節(jié)點(diǎn)編號和單元劃分,(2)計(jì)算各單元的單元剛度方程,(3)組裝各單元剛度方程,(4)處理邊界條件并求解,,,(5)求支反力,由方程組的最后一行方程,可求出支反力為,(6)求各個單元的其它力學(xué)量(應(yīng)變、應(yīng)力),有限元分析的基本流程,總結(jié):(1)有限元分析的最主要內(nèi)容,就是研究單元,即首先給出單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力;(2)然后,基于單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的相互關(guān)系可以直接獲得相應(yīng)的剛度系數(shù),進(jìn)而得到單元的剛度方程;(3)再針對實(shí)際的復(fù)雜結(jié)構(gòu),根據(jù)實(shí)際的連接

13、關(guān)系,將單元組裝為整體剛度方程,這實(shí)際上也是得到整體結(jié)構(gòu)的基于節(jié)點(diǎn)位移的整體平衡方程。(4)因此,有限元方法的主要任務(wù)就是對常用的各種單元(包括 1D、2D、3D問題的單元)構(gòu)造出相應(yīng)的單元剛度矩陣;(5)當(dāng)然,如果采用直接法來進(jìn)行構(gòu)造,會非常煩瑣,而采用能量原理(如:虛功原理或最小勢能原理)來建立相應(yīng)的平衡關(guān)系則比較簡單,這種方法可以針對任何類型的單元進(jìn)行構(gòu)建,以得到相應(yīng)的剛度矩陣,推導(dǎo)單元剛度矩陣的方法的力學(xué)基礎(chǔ)在后面介紹。,第3章 桿梁結(jié)構(gòu)分析的有限元方法,一、桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例,1 桿件分析的基本力學(xué)原理 連接它的兩端一般都是鉸接接頭,因此,它主要是承受沿軸線的軸向力,它

14、不傳遞和承受彎矩。,,平衡方程,幾何方程,物理方程,位移邊界條件,力邊界條件,(1)1D問題的基本變量,(2)1D問題的基本方程,(3) 虛功原理及虛功方程,圖(a)所示一平衡的杠桿,對C點(diǎn)寫力矩平衡方程: 圖(b)表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動時(shí)的剛體位移圖: 綜合可得: 即: 上式是以功的形式表述的。表明:圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí),功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí), 和 這兩個位移是不存在的,但是如果某種原因,例如人為地振一下讓它傾斜,一定滿足上式的關(guān)系。 將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理,去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對于在力的作用下處于

15、平衡狀態(tài)的任何物體,不用考慮它是否真正發(fā)生了位移,而假想它發(fā)生了位移,(由于是假想,故稱為虛位移),那么,物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理,也稱虛功原理。在圖中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上,(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰?,而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功??梢?,這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移,亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理,必須指出,虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的,它所涉及到的兩個方面,力和位移并不是隨意的。對于力來講,它必須是在位移過程中處于平衡的力系;對于位移來講,雖然是虛位移,但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件

16、相符合的微小的剛體位移。 還要注意,當(dāng)位移是在某個約束條件下發(fā)生時(shí),則在該約束力方向的位移應(yīng)為零,因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動力。(如圖中的反力 ,由于支點(diǎn)C沒有位移,故 所作的虛功對于零)。反之,如圖的 和 是在位移過程中作功的力,稱為主動力。因此,在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力,哪些是被動力,而在寫虛功方程時(shí),只有主動力作虛功,而被動力是不作虛功的。,虛功原理,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下: 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系,當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí),體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。 虛功

17、原理用公式表示為: 這就是虛功方程,其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,虛功原理----用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的,即假設(shè)圖中的杠桿是絕對剛性,沒有任何的變形,因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn),而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí),總虛功要包括外力虛功(W)和內(nèi)力虛功(U)兩部分,即: W - U ;內(nèi)力虛功(- U)前面有一負(fù)號,是由于彈性體在變形過程中,內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的,所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反,所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理,總功等于零得: W - U = 0 外力虛功 (W) = 內(nèi)力虛功 (U) 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為:在外力作

18、用下處于平衡狀態(tài)的彈性體,如果發(fā)生了虛位移,那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移。,(4)1D問題的虛功原理求解,試函數(shù)(滿位移足邊界條件):,由虛功原理:,,(5)1D問題的最小勢能原理求解,設(shè)有滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場,計(jì)算該系統(tǒng)的勢能(potential energy)為,對于包含有待定系數(shù)的試函數(shù)而言,真實(shí)的位移函數(shù)應(yīng)使得該系統(tǒng)的勢能取極小值,即,,,由上面的計(jì)算可以看出,基于試函數(shù)的方法,包括虛功原理以及最小勢能原理,僅計(jì)算系統(tǒng)的能量,實(shí)際上就是計(jì)算積分,然

19、后轉(zhuǎn)化為求解線性方程,不需求解微分方程,這樣就大大地降低了求解難度。同時(shí),也可以看出,試函數(shù)的方法的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造出適合于所求問題的位移試函數(shù),并且該構(gòu)造方法還應(yīng)具有規(guī)范性以及標(biāo)準(zhǔn)化,基于“單元”的構(gòu)造方法就可以完全滿足這些要求。,2. 局部坐標(biāo)系中的桿單元描述,1)桿單元的描述,(1) 單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述,2. 局部坐標(biāo)系中的桿單元描述,1)桿單元的描述,(2) 單元位移場的表達(dá),該函數(shù)將由兩個端節(jié)點(diǎn)的位移 , 確定,故取:,單元節(jié)點(diǎn)條件為,,將其代回位移試函數(shù)表達(dá)式得:,形狀函數(shù)矩陣,(3) 單元應(yīng)變場的表達(dá),幾何矩陣,(4) 單元應(yīng)力場的表達(dá),應(yīng)力矩陣,(5) 單元勢能的表達(dá),單元

20、剛度矩陣,節(jié)點(diǎn)力列陣,(6) 單元的剛度方程,利用最小勢能原理,取極小值,可以得到單元的剛度方程,2. 局部坐標(biāo)系中的桿單元描述,2)變截面桿單元的推導(dǎo),標(biāo)準(zhǔn)化過程:,1) 平面桿單元的坐標(biāo)變換,3. 桿單元的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,1) 平面桿單元的坐標(biāo)變換,3. 桿單元的坐標(biāo)變換,等價(jià)變換關(guān)系,寫成矩陣形式,坐標(biāo)變換矩陣,整體坐標(biāo)系下剛度方程的推導(dǎo),整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣,整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力列陣,由最小勢能原理可得到整體坐標(biāo)系中的剛度方程,2) 空間桿單元的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,桿單元軸線在整體坐標(biāo)系中的方

21、向余弦為,2) 空間桿單元的坐標(biāo)變換,剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)力的變換與平面情形相同,但,2) 空間桿單元的坐標(biāo)變換,3.桿結(jié)構(gòu)分析的算例,各桿的彈性模量和橫截面積都為 ,試求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力以及支反力。,(1) 結(jié)構(gòu)的離散化與編號,(1) 結(jié)構(gòu)的離散化與編號,(2)各個單元的矩陣描述,(2)各個單元的矩陣描述,(3) 建立整體剛度方程,剛度矩陣:,節(jié)點(diǎn)位移:,節(jié)點(diǎn)力:,整體剛度方程為,(3) 建立整體剛度方程,(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解,邊界條件 BC(u)為:,,,(5) 各單元應(yīng)力的計(jì)算,同理,可求出其它單元的應(yīng)力。,(6) 支反力的計(jì)算,將節(jié)點(diǎn)位移的結(jié)果代入整體剛度方

22、程中,可求出,訓(xùn)練題,1. P.91習(xí)題3,4. 等效載荷。 2. 總剛度矩陣組裝方法。,二、 梁件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例,1 梁件分析的基本力學(xué)原理,圖. 受分布載荷作用的簡支梁,圖. 梁問題的dx“微段”及受力平衡,梁特征:(1)梁為細(xì)長梁 ,可只用 x 坐標(biāo)來刻畫, (2)主要變形為垂直于 x 的撓度,可只用撓度來描述位移場。 針對這兩個特征,可以對梁沿高度方向的變形做出以下設(shè)定:(1)變形后的直線假定;(2)小變形假定。,應(yīng)變: (采用 ,沿高度方向滿足直線假定),應(yīng)力: (采用 ,其它應(yīng)力分量很小,不考慮),該變量對應(yīng)于梁截面上的彎矩 M。,【基本變量】 平面梁的基本變量,

23、位移:,(中性層的撓度),【基本方程】 平面梁的基本方程,(1) 平衡方程,(2) 幾何方程,(3) 物理方程,(4) 邊界條件,或:,對以上方程進(jìn)行整理, 有描述平面梁彎曲問題的基本方程:,為梁截面的慣性矩,(y方向的平衡),(x方向的平衡),(物理方程),(幾何方程),其中:,【求解原理】 (1)簡支梁的微分方程解,這是一個常微分方程,其解的形式為,由四個邊界條件求出待定參數(shù),最后有結(jié)果,【求解原理】 (2)簡支梁的虛功原理求解,假設(shè)有一個只滿足位移邊界條件 BC(u)的位移場為,該簡支梁的虛應(yīng)變能為:,由幾何方程:,,,該簡支梁的外力虛功為,由虛功原理,,則,,,【求解原理】 (3) 簡

24、支梁的最小勢能原理求解,為提高計(jì)算精度,可以選取多項(xiàng)函數(shù)的組合,這里取滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場為,計(jì)算應(yīng)變能U 為,則為使總勢能( ) 取極小值,則有,相應(yīng)的外力功W 為,解出 和 后得,注:該方法得到的第一項(xiàng)與前面虛功原理求解出來的結(jié)果相同,與精確解相比,該結(jié)果比前面由虛功原理得到的結(jié)果更為精確,這時(shí)因?yàn)檫x取兩項(xiàng)函數(shù)作為試函數(shù),這也是提高計(jì)算精度的重要途徑。以上求解過程所用的試函數(shù)為許可基底函數(shù)的線性組合,因此,上述求解方法也是瑞利-里茲方法。 以上的【求解原理】(2)和(3)都是基于試函數(shù)的能量方法(也稱為泛函極值方法),基本要點(diǎn)是不需求解原微分方程,但需要假設(shè)一

25、個滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場。因此,如何尋找或構(gòu)建滿足所需要求的許可位移場是一個關(guān)鍵,并且,還期望這種構(gòu)建許可位移場的方法還應(yīng)具有標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范性。下面的重點(diǎn)將討論通過基于“單元”的位移函數(shù)的構(gòu)建就可以滿足這些要求。,【局部坐標(biāo)系中的平面梁單元 】,【單元構(gòu)造】平面純彎梁單元的描述,(1) 單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述,節(jié)點(diǎn)力列陣為,節(jié)點(diǎn)位移列陣為,(2) 單元位移場的表達(dá),由該單元的節(jié)點(diǎn)位移條件,其中:,叫做單元的形狀函數(shù)矩陣,(3) 單元應(yīng)變場的表達(dá),由純彎梁的幾何方程,有梁的應(yīng)變表達(dá)式,叫做單元的幾何矩陣,即,(4) 單元應(yīng)力場的表達(dá),由梁的物理方程,叫做單元的應(yīng)力矩陣,其中: E

26、為彈性模量,,(5) 單元勢能的表達(dá),該單元的勢能為,外力功為:,其中:,(6) 單元的剛度方程,由最小勢能原理,將式 中的,對,取極小值,有單元剛度方程,【單元構(gòu)造】 一般平面梁單元的描述,為推導(dǎo)局部坐標(biāo)系中的一般平面梁單元,在純彎梁的基礎(chǔ)上疊加進(jìn)軸向位移(由于為線彈性問題,滿足疊加原理),這時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移自由度(DOF)共有 6 個。,平面梁單元圖,平面梁單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣:,平面梁單元的節(jié)點(diǎn)力列陣:,,對應(yīng)于圖中的節(jié)點(diǎn)位移和式中節(jié)點(diǎn)位移列陣的排列次序,將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進(jìn)行組合,可得到單元剛度矩陣,即,【典型例題】 受均布載荷平面梁單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷,解答:,討

27、論 1:若憑一種直覺,直接按照靜力等效的方式來進(jìn)行計(jì)算,即,每個節(jié)點(diǎn)各分一半進(jìn)行靜力等效,則計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)等效力為,顯然這樣計(jì)算出的 M1和M2都是錯誤的!,討論 2:該等效節(jié)點(diǎn)載荷是按照外力功進(jìn)行計(jì)算的,是通用的均布載荷的節(jié)點(diǎn)等效載荷,與節(jié)點(diǎn)的實(shí)際約束狀態(tài)沒有關(guān)系。也就是說,圖 (a)中的幾種情況的節(jié)點(diǎn)等效載荷都用式(*)。,(*),【典型例題】 懸臂-簡支平面連續(xù)梁的有限元分析,試確定節(jié)點(diǎn) 3 的豎向位移、節(jié)點(diǎn) 2 和節(jié)點(diǎn) 3 的轉(zhuǎn)角。同時(shí)計(jì)算節(jié)點(diǎn) 1 和節(jié)點(diǎn) 2 的反力。,解答:由于該梁在其中的一個位置有一個支撐,因此采用兩個梁單元。則該結(jié)構(gòu)的整體節(jié)點(diǎn)位移列陣,,,該結(jié)構(gòu)的整體剛度方程為,

28、考慮位移邊界條件:,然后,根據(jù)下述關(guān)系求解得各節(jié)點(diǎn)反力和彎矩,注意:轉(zhuǎn)角 在兩個坐標(biāo)系中是相同的,平面梁單元的坐標(biāo)變換,設(shè)局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,按照兩個坐標(biāo)系中的位移向量相等效的原則,可推導(dǎo)出以下變換關(guān)系。,與平面桿單元的坐標(biāo)變換類似,梁單元在整體坐標(biāo)系中的剛度方程為,其中:,空間梁單元及坐標(biāo)變換,1. 空間梁單元,(1) 對應(yīng)于圖 中的節(jié)點(diǎn)位移,有對應(yīng)于桿單元的剛度矩陣為,(2) 對應(yīng)于圖 中的節(jié)點(diǎn)位移,有對應(yīng)于軸單元的剛度矩陣為,(3) 對應(yīng)于圖 中 Oxy 平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移,(4) 對應(yīng)于圖中 Oxz 平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移,這是梁在 Oxz 平面內(nèi)的

29、純彎曲情形,可得到與上式類似的剛度矩陣,但所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移是不同的。,(6) 將各分剛度矩陣進(jìn)行組合以形成完整的單元剛度矩陣,2. 空間梁單元的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系中空間梁單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,有了坐標(biāo)變換矩陣,就很容易寫出整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣和剛度方程。,梁單元的常用等效節(jié)點(diǎn)載荷,表 3-4 列出了常用的梁單元在承受非節(jié)點(diǎn)載荷下的節(jié)點(diǎn)載荷等效值,該等效值是根據(jù)外力功的計(jì)算公式得到的,因此,它與梁單元的邊界條件沒有關(guān)系(表 3-4 中的圖示雖為固支,這些節(jié)點(diǎn)載荷等效值也可以用在其它邊界情況)。,【典型例題】 三梁平面框架結(jié)構(gòu)的有限元分析,解答:對該問題進(jìn)行有限元

30、分析的過程如下。,(1) 結(jié)構(gòu)的離散化與編號,節(jié)點(diǎn)位移列陣為,節(jié)點(diǎn)外載列陣為,支反力列陣為,總的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為,(2) 各個單元的描述,單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)是一致的,則可以直接得到,單元和單元的情況相同,只是節(jié)點(diǎn)編號不同而已,其局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣為,這兩個單元軸線的方向余弦為,則可以計(jì)算出整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣(單元和單元),注意這兩個單元所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移列陣分別為,對于單元:,對于單元:,(3) 建立整體剛度方程,組裝整體剛度矩陣并形成整體剛度方程,其中剛度矩陣的組裝關(guān)系為,(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解,該問題的位移邊界條件為,處理該邊界條件后的剛度方程為,求解后的結(jié)果

31、為,第2章 彈性力學(xué)基本方程及平面問題的有限元法,2.1 彈性力學(xué)簡介,本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。將簡單介紹這些概念和方程,作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識。,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),1、研究的內(nèi)容:基本上沒有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動,以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。 2、研究的對象:有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件,即長度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件,但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu),即兩個尺寸遠(yuǎn)大于第三個尺寸,或三個尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。,彈性力學(xué) 區(qū)別

32、與聯(lián)系 材料力學(xué),3、研究的方法:有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究,但是在建立這三方面條件時(shí),采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的,因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演,但是得出的結(jié)果往往是近似的,而不是精確的。而彈性力學(xué)是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的,因而無須引用那些假設(shè),分析的方法比較嚴(yán)密,得出的結(jié)論也比較精確。所以,我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度,并確定它們的適用范圍。,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),例如,材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截?cái)嗝?/p>

33、均勻分布。,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),總之,彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域,但彈性力學(xué)比材料力學(xué),研究的對象更普遍,分析的方法更嚴(yán)密,研究的結(jié)果更精確,因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是,彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對象的變形狀態(tài)較復(fù)雜,處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn),因而解算問題時(shí),往往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡化計(jì)算,便于數(shù)學(xué)處理,它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。,彈性力學(xué)基本方程,,一 、彈性力學(xué)中的幾個基本概念: 1、體力,是分布于物體體積內(nèi)的外力,如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分,用記號X、Y、Z表示。 2、面力,是分布

34、于物體表面的力,如靜水壓力,一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個成分,用記號 來表示。,3、 內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力 (1)內(nèi)力(Internal forces):是物體本身不同部分之間相互作用的力; (2)平均應(yīng)力( the average stress ):設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個截面mn上的單元面積( elementary area )A 上的力為F ,則F/A 稱為A 上的平均應(yīng)力; (3)應(yīng)力:如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù),命 A無 限減小并趨向P點(diǎn), 則F/A 將趨向一個極限 p:這個極限P就叫做物體在截面mn上,在P點(diǎn)的應(yīng)力。,,彈性體受外

35、力以后,其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念,4. 正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念 正應(yīng)力:應(yīng)力在作用截面法線方向的分量;切應(yīng)力:應(yīng)力在作用截面切線方向的分量。 正平行六面體應(yīng)力:從物體中取出一個微小的正平行六面體,它的棱邊分別平行于三個坐標(biāo)軸,長度分別為x, y, z.正平行六面體應(yīng)力如圖所示.,(1) 應(yīng)力的表示 正應(yīng)力用表示. 它的下表表示作用方向.如x 表示正應(yīng)力沿著 x 方向;剪應(yīng)力用 表示, 它有兩個下表, 例如xy 表示剪應(yīng)力作用在垂直 x軸的平面上, 但沿著 y方向. (2)應(yīng)力的符號 如果一個截面的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向,這個面就稱為正面,這個面上的應(yīng)力就以

36、沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?;沿著坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。,這個應(yīng)力符號的規(guī)定與材料力學(xué)的不同, 在材料力學(xué)中: 正應(yīng)力的符號為拉為正, 壓為負(fù); 而剪應(yīng)力為正面向下的為正; 負(fù)面向上為正. 或用右手法則確定:右手姆指沿面的外法線時(shí),其余四個手指反時(shí)針為正, 順時(shí)針為負(fù).,,,,,,,,,,,,,,材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力,彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力,,剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等,正負(fù)號也相同)。因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào)。,可以證明:如果 這六個量在P點(diǎn)是已知的,就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,因此,這六個量可以完全確

37、定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。 一般說來,彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同,因此,描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量,而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個應(yīng)力分量的總體,可以用一個列矩陣 來表示:,5、形變和正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念 (1)形變: 形狀的改變,它包含長度和角度的改變。 (2)正應(yīng)變: 各線段單位長度的伸縮。以伸長為正;縮短為負(fù)。 (3)剪應(yīng)變: 各線段之間的直角的改變。,6、位移 是指位置的移動. 它在 x, y 和 z 軸上的投影用 u, v 和 w, 來表示。它的符號是沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?,沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。,二、彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定,

38、(1) 連續(xù)性:假定物體是連續(xù). 即整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙. 這樣,物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示; (2) 完全彈性:假定物體是完全彈性的.所謂彈性, 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì). 而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余變形. (3) 均勻性:假定物體是均勻的, 整個物體由同一材料組成. (4) 各向同性:假定物體是各向同性的, 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同. 符合以上四個假定的物體, 稱為理想彈性體.,(5) 小變形假定:假定物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠(yuǎn)

39、小于物體原來的尺寸, 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1. 因此, 本課程所討論的問題, 都是理想彈性體的小變形問題.,三、彈性力學(xué)的研究方法,在彈性體內(nèi)部, 考慮靜力學(xué), 幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件, 分別建立三套基本方程. 此外, 在彈性體的邊界上, 建立邊界條件.,位移邊界條件,邊界條件,應(yīng)力邊界條件,彈性力學(xué)的基本變量,彈性力學(xué)的基本方程-平衡方程,由物體的受力平衡條件建立的方程:,彈性力學(xué)的基本方程-幾何方程,由物體的受力變形后,各應(yīng)變分量和位移分量的 關(guān)系建立的方程:,彈性力學(xué)的基本方程-物理方程,由物體材料本身的物理特性建立的方程, 其中E-彈性模量; -泊松比;G-剪切彈性模量。 且對各

40、向同性材料,,在限元法中,物理方程可表示為:,彈性力學(xué)的基本方程-邊界條件,四、彈性力學(xué)問題的解法,空間彈性力學(xué)問題共有15個方程,3個平衡方程,6個幾何方程,6個物理方程。其中包括6個應(yīng)力分量 ,6個應(yīng)變分量 ,3個位移分量 ,共有15個未知函數(shù),在給定邊界條件時(shí),問題是可解的。 彈性力學(xué)問題的提法是,給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用,求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場和位移場。,按照三種不同的邊界條件,彈性力學(xué)問題可分為應(yīng)力邊界條件問題、位移邊界問題和混合邊界。 由于有限元模型是對實(shí)際結(jié)構(gòu)的反映,對有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件,是正確求解有限元解的關(guān)鍵。,根據(jù)先求出的基

41、本未知量的不同,彈性力學(xué)問題有三種方法:,(1)應(yīng)力法:以應(yīng)力分量作為基本未知量,此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示。求得應(yīng)力分量后,由物理方程求應(yīng)變分量,再由幾何方程求出位移分量。 (2)位移法:以位移分量作為基本未知量,此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。求得位移分量后,用幾何方程求應(yīng)變分量,再由物理方程求應(yīng)力分量。目前,有限元法中多采用位移法的思想。 (3)混合法:采用各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量,混合求解。,五、 虛功原理及虛功方程,圖1-8a示一平衡的杠桿,對C點(diǎn)寫力矩平衡方程: 圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動時(shí)的剛體位移圖: 綜合可得: 即

42、: 上式是以功的形式表述的。表明:圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí),功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,虛功原理,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí), 和 這兩個位移是不存在的,但是如果某種原因,例如人為地振一下讓它傾斜,一定滿足上式的關(guān)系。 將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理,去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體,不用考慮它是否真正發(fā)生了位移,而假想它發(fā)生了位移,(由于是假想,故稱為虛位移),那么,物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理,也稱虛功原理。在圖1-8a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上,(

43、因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰?,而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功。可見,這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移,亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理,必須指出,虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的,它所涉及到的兩個方面,力和位移并不是隨意的。對于力來講,它必須是在位移過程中處于平衡的力系;對于位移來講,雖然是虛位移,但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意,當(dāng)位移是在某個約束條件下發(fā)生時(shí),則在該約束力方向的位移應(yīng)為零,因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動力。(如圖1-8中的反力 ,由于支點(diǎn)C沒有位移,故 所作的虛功對于零)。反之,如圖1-8中的

44、 和 是在位移過程中作功的力,稱為主動力。因此,在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力,哪些是被動力,而在寫虛功方程時(shí),只有主動力作虛功,而被動力是不作虛功的。,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下: 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系,當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí),體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。 虛功原理用公式表示為: 這就是虛功方程,其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,虛功原理----用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的,即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對剛性,沒有任何的變形,因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn),而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于

45、彈性變形時(shí),總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分,即: W = T - U ;內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號,是由于彈性體在變形過程中,內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的,所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反,所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理,總功等于零得: T - U = 0 外力虛功 T = 內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為:在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體,如果發(fā)生了虛位移,那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。,六、兩種平面問題,彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題,嚴(yán)格地說,任何一個彈性體都是空間物體,一般的外力都是空

46、間力系,因而任何實(shí)際問題都是空間問題,都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是,如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀,并且承受的是特殊外力,就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題,只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。 平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)變問題,平面應(yīng)力問題,厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力,同時(shí),體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為xy面,以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力,所以板面上各點(diǎn)均有: 另外由于平板很薄,外力又不沿厚度變化,可認(rèn)為在整個薄板內(nèi)各點(diǎn)均有: 于是,在六個應(yīng)力分量中,

47、只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應(yīng)力分量,即 ,所以稱為平面應(yīng)力問題。,平面應(yīng)力問題,應(yīng)力矩陣(1-2),可以簡化為:,物理方程(1-10)中后兩式可見,這時(shí)的剪應(yīng)變: 由物理方程(1-10)中的第三式可見: 一般 , 并不一定等于零,但可由 及 求得,在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮 三個應(yīng)變分量即可,于是應(yīng)變矩陣(1-3-2)簡化為:,平面應(yīng)力問題,物理方程(1-10)簡化為: 轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式:,平面應(yīng)力問題,將(1-21)式用矩陣方程表示: 它仍然可以簡寫為: 彈性矩陣D則簡化為:,平面應(yīng)力問題,只有 三個應(yīng)變分量需要考慮,所以

48、幾何方程(1-3) 簡化為:,平面應(yīng)力問題,彈性體的虛功方程(1-17) 簡化為,平面應(yīng)變問題,一縱向(即Z向)很長,且沿橫截面不變的物體,受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力,如圖1-11所示。 由于物體的縱向很長(在力學(xué)上可近似地作為無限長考慮),截面尺寸與外力又不沿長度變化;當(dāng)以任一橫截面為xy面,任一縱線為Z軸時(shí),則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化,它們都只是x和y的函數(shù)。此外,在這一情況下,由于對稱(任一橫截面都可以看作對稱面),所有各點(diǎn)都只會有x和y方向的位移而不會有Z方向的位移,即 w = 0 因此,這種問題稱為平面位移問題,但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變

49、問題。,平面應(yīng)變問題,既然w = 0,而且u及v又只是x和y的函數(shù),由幾何方程(1-3-1) 可見 。于是只剩下三個應(yīng)變分量 , 幾何方程仍然簡化為方程(1-24)。,平面應(yīng)變問題,因?yàn)?由物理方程(1-11)中后兩式可見 又由物理方程(1-11)中的第三式可見: 在平面應(yīng)變問題中,雖然 , 但 一般并不等于零,不過它可以由 及 求得,在分析問題時(shí)不必考慮,于是也就只有三個應(yīng)力分量 需要考慮。,平面應(yīng)變問題,物理方程(1-11)簡化為:,平面應(yīng)變問題,將(1-25)式用矩陣方程表示: 它仍然可以簡寫為: 彈性矩陣D則為:,平面應(yīng)變問題,平面應(yīng)變問題

50、,由于在Z方向沒有外力,應(yīng)力和應(yīng)變也不沿Z方向變化,所以虛功方程(1-25)仍然適用,其中的t可以取為任意數(shù)值,但 必須是這個t范圍內(nèi)的外力。 需要說明一下,工程中有許多問題很接近于平面應(yīng)變問題,如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等,但它們的沿Z向長度都不是無限長的。故在靠近兩端的部分,其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜,并不符合平面應(yīng)變問題的條件;因此將這類問題當(dāng)作平面應(yīng)變問題來考慮時(shí),對于離開兩端有一定距離的地方,得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的;但對靠近兩端的部位,卻有較大的出入,往往需要加以處理。,平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,對于兩種平面問題,幾何方程都是(1-24),虛功方程都是(1-25),物

51、理方程都是:,平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,對于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣,應(yīng)該采用(1-23)式, 而對于平面應(yīng)變則采用(1-28)式, 還可注意,在(1-23)式中,若將E改換為 ,將 改換為 , 就得出公式(1-28)。,平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,在兩種平面問題中,如果 ,則和1-3中(1-4)式相似, 由幾何方程的積分得出: 其中 及 分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動,而 代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動。,2.2 平面問題的有限元法,有限單元法的基本思路: (1) 把物體分成有限大小的單元,單元間用節(jié)點(diǎn)相連接。 (2) 把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量,在單元

52、內(nèi)的位移,設(shè)成線性函數(shù)(或其它函數(shù)),保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。 (3) 將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來。 (4) 列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程,得出以節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。 (5) 求解代數(shù)方程組,得出各節(jié)點(diǎn)的位移,根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力。 有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移,用節(jié)點(diǎn)的平衡方程來求解。,車輛工程技術(shù)中心,彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括三個主要步驟: 1、離散化 2、單元分析 3、單元綜合,1、離散化 有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體,因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。對于平面問題,最簡單,因而最常用的單元是三角形單元。這些

53、單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連,荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上,成為節(jié)點(diǎn)荷載。在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處,就在節(jié)點(diǎn)上安置一個鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。,2、單元分析 對三角形單元,建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.,節(jié)點(diǎn)位移,節(jié)點(diǎn)力,2、單元分析-----單元剛度矩陣 取節(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力: 其中,轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元剛度矩陣。單元分析的主要目的就是要求出單元剛度矩陣。 單元分析的步驟可表示如下:,3、單元綜合 將離散化了的各個單元合成整體結(jié)構(gòu),利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。 在位移法中,主要的任務(wù)是求出基本未知量---節(jié)點(diǎn)位移。為此需要建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程。,i點(diǎn)總的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)

54、為: 根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡條件,得 單元e的節(jié)點(diǎn)力,可按式(2-2)用節(jié)點(diǎn)位移表示,代入得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程。 每個可動節(jié)點(diǎn)有兩個未知位移,有兩個平衡方程,所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等,可以求出所有的節(jié)點(diǎn)位移。 單元綜合的目的就是要求出節(jié)點(diǎn)位移。節(jié)點(diǎn)位移求出后,可進(jìn)一步求出各單元的應(yīng)力。,2.2.1 平面問題的離散化,對任何工程平面構(gòu)件進(jìn)行有限元分析,首先都是從簡化其幾何形狀,繪出其平面簡圖入手。連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分。平面問題中最常用的單元是三角形和矩形單元。 總之,通過單元劃分,載荷移置以及約束簡化,就形成了有限元模型。,在劃分單元時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)單元

55、類型的選擇,主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、施加的載荷類型和要求的計(jì)算精度。 (2)單元的大小(即網(wǎng)格的疏密),從有限元的理論上講,單元劃分越細(xì),節(jié)點(diǎn)布置越多,計(jì)算結(jié)果精度越高。但相應(yīng)要求計(jì)算機(jī)容量也增大,計(jì)算時(shí)間也增加。 (3)單元有疏有密,對結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元。 (4)不同厚度或不同材料處,應(yīng)取作為單元的邊界線,而且在該處附近的單元還應(yīng)劃分的小一些,以盡可能反映出邊線兩側(cè)應(yīng)力的突變情況。 (5)預(yù)留載荷位置,在分布載荷集度變化處和集中力作用處,應(yīng)布置節(jié)點(diǎn),以利加載,并且其附近的單元也應(yīng)劃分的小些,以反映此處的應(yīng)力變化。,下面單元劃分是否合理?為什么?,,,,2.2.2 單元位移函

56、數(shù),如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù),則可用幾何方程求應(yīng)變分量,再從物理方程求應(yīng)力分量。但對一個連續(xù)體,內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。 有限單元法的基本原理是分塊近似,即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格,在每一個單元范圍內(nèi),內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪。對每個單元,可以假定一個簡單函數(shù),用它近似表示該單元的位移。這個函數(shù)稱為位移函數(shù),或稱為位移模式、位移模型、位移場。 對于平面問題,單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示, 多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多,就越接近實(shí)際的位移分布,越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù),要受單元型式的限制。,三節(jié)點(diǎn)三角形單元,六個節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個多項(xiàng)式的

57、系數(shù),所以平面問題的3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下, 所選用的這個位移函數(shù),將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù),位移模式很簡單。,位移函數(shù)寫成矩陣形式為:,最終確定六個待定系數(shù),令 (下標(biāo)i,j,m輪換) 簡寫為,I是單位矩陣, N稱為形態(tài)矩陣, Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù),選擇單元位移函數(shù)時(shí),應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性,即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí),有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。因此,選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列兩方面的條件: (1) 必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變。 6個參數(shù) 到 反映了三個剛體位移和三個常量應(yīng)變。 (2) 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。 (線性函數(shù)

58、的特性),,例題:圖示等腰三角形單元,求其形態(tài)矩陣N。,,由三角形的面積,本節(jié)利用幾何方程、物理方程,實(shí)現(xiàn)用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力。 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變的表達(dá)式為 ,B矩陣稱為幾何矩陣。,2.2.3 單元應(yīng)變和應(yīng)力,對于平面應(yīng)力問題:,2.2.4 單元剛度矩陣,,單元節(jié)點(diǎn)力與單元位移的關(guān)系式,稱為單元剛度方程組。,單元剛度矩陣的性質(zhì):,(1)單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義; (2)剛度矩陣是對稱矩陣; (3)剛度矩陣是奇異矩陣;,另外,單元剛度矩陣取決于: (1)單元的位移函數(shù); (2)單元的幾何參數(shù); (3)單元的材料性質(zhì)。,2.2.5 單元等效節(jié)點(diǎn)載荷

59、,連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí),為簡化受力情況,需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解),而成為結(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體受承受的載荷全都是集中力,則將所有集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn),就不存在移置的問題,集中力就是節(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問題往往受有分布的面力和體力,都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上。因此,必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn),該集中力也要向結(jié)節(jié)移置。 將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上,必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下,移置結(jié)果是唯一的,且總能符合靜力等效原則。,,在線性位移模式下,對于常見的一些載荷,可以通過簡單的虛功計(jì)算,得出

60、所需的載荷列矩陣。,均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力,把1/3的重力移到每個節(jié)點(diǎn),,例:,總載荷的2/3移置到節(jié)點(diǎn)i,1/3移置到節(jié)點(diǎn)j,與原載荷同向,常用的等效節(jié)點(diǎn)外載列陣(3節(jié)點(diǎn)三角形單元),,載荷向節(jié)點(diǎn)的移置,可以用普遍公式來表示。 體力的移置 分布面力的移置 在線性位移模式下,用直接計(jì)算法簡單;非線性模式下,要用普遍公式計(jì)算。,2.2.6 總剛度矩陣,K為總剛度矩陣,R為節(jié)點(diǎn)力分量矩陣。 為節(jié)點(diǎn)位移分量矩陣。 總剛度矩陣性質(zhì): (1)總剛度矩陣也是對稱矩陣; (2)總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布; (3)總剛度矩陣奇異矩陣。,2.2.7 邊界約束條件,有限元法中通常采用兩種方法: 劃行

61、劃行法和乘大數(shù)法. 其中前者適用于簡單的手算練習(xí),后者適合于實(shí)際問題的計(jì)算機(jī)處理.,2.2.8 解題步驟與算例,有限元法的一般分析步驟如下: (1)首先繪出結(jié)構(gòu)的幾何簡圖,在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散; (2)其次進(jìn)行單元分析; (3)組集總剛度矩陣; (4)最終求單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力.,【單元構(gòu)造】 平面問題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元,(1) 單元的幾何和節(jié)點(diǎn)描述,若采用無量綱坐標(biāo),單元4個節(jié)點(diǎn)的幾何位置為,(2) 單元位移場的表達(dá),由節(jié)點(diǎn)條件:,,其中形函數(shù):,以無量綱坐標(biāo)系來表達(dá):,寫成矩陣形式,有,其中,N(x,y)為該單元的形狀函數(shù)矩陣。,(3) 單元應(yīng)變場的表達(dá),由彈性力學(xué)平面問題的幾何方程,有單元應(yīng)

62、變的表達(dá),(4) 單元應(yīng)力場的表達(dá),由彈性力學(xué)中平面問題的物理方程,可得到單元的應(yīng)力表達(dá)式,(5) 單元勢能的表達(dá),,其中,,【單元特征】 4節(jié)點(diǎn)矩形單元的線性應(yīng)變和應(yīng)力,由單元的位移表達(dá)式可知,4節(jié)點(diǎn)矩形單元的位移在x,y方向呈線性變化,所以稱為雙線性位移模式,正因?yàn)樵趩卧倪吔鐇=a和y=b上,位移是按線性變化的,且相鄰單元公共節(jié)點(diǎn)上有共同的節(jié)點(diǎn)位移值,可保證兩個相鄰單元在其公共邊界上的位移是連續(xù)的,這種單元的位移模式是完備(completeness)和協(xié)調(diào)(compatibility)的,它的應(yīng)變和應(yīng)力為一次線性變化,因而比3節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元精度高。,例:三角形單元與矩形單元計(jì)算精度的比較

63、,試在以下兩種建模情形下求該系統(tǒng)的位移場、應(yīng)變場、應(yīng)力場、各個節(jié)點(diǎn)上的支反力、系統(tǒng)的應(yīng)變能、外力功、總勢能。并比較這種建模方案的計(jì)算精度。,兩種建模方案:,整體的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,(1) 建模方案1的有限元分析列式,總剛度矩陣為,該系統(tǒng)的剛度方程為,計(jì)算各個單元的位移場、應(yīng)變場、應(yīng)力場:,位移場、應(yīng)變場及應(yīng)力場的分布圖:,該系統(tǒng)的應(yīng)變能:,外力功:,系統(tǒng)的總勢能:,(2) 建模方案2的有限元分析列式,可求出節(jié)點(diǎn)位移和支反力為,系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,單元位移場為,應(yīng)變場為,應(yīng)力場為,位移場、應(yīng)變場及應(yīng)力場的分布圖,該系統(tǒng)的應(yīng)變能:,外力功:,系統(tǒng)的總勢能:,從以上計(jì)算可以看出,用三角形單元計(jì)算時(shí),

64、由于形函數(shù)是完全一次式,因而其應(yīng)變場和應(yīng)力場在單元內(nèi)均為常數(shù);而四邊形單元其形函數(shù)帶有二次式,計(jì)算得到的應(yīng)變場和應(yīng)力場都是坐標(biāo)的一次函數(shù),但不是完全的一次函數(shù),對提高計(jì)算精度有一定作用;根據(jù)最小勢能原理,勢能越小,則整體計(jì)算精度越高,比較兩種單元計(jì)算得到的系統(tǒng)勢能,可以看出,在相同的節(jié)點(diǎn)自由度情況下,矩形單元的計(jì)算精度要比三角形單元高。,三角形單元與矩形單元的精細(xì)網(wǎng)格的計(jì)算比較,4.4 軸對稱問題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征,4.4.1 軸對稱問題的基本變量及方程,,,,反之:,三維,,對于平面4節(jié)點(diǎn)等參元,上式剛度矩陣的元素可轉(zhuǎn)化為:,這個積分很難用解析的形式進(jìn)行積分,一般采用近似的數(shù)值積分方法。常用的是Gauss積分方法。它是一種高精度、高效益的積分方法。,如何確定:,,3、應(yīng)用等參單元應(yīng)注意以下幾點(diǎn)問題,1)各向長度的相對大?。簡卧L度之比不宜相差太大,接近正方形的單元誤差最小,長寬比很大,誤差也很大。 2)棱邊的曲折:應(yīng)使單元邊上沒有折點(diǎn),如邊上不可避免有折點(diǎn),應(yīng)使棱邊只有凸出的折點(diǎn)。 3)棱邊的夾角:盡量接近90度。 4)棱邊上節(jié)點(diǎn)的間距:盡量均勻。,

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