2017專題4:圓與相似(含答案)

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1、2017專題4:圓與相似(含答案) 專題:圓與相似(1) 1.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H.點(diǎn)G在⊙O上,過點(diǎn)G作直線EF,交CD延長線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.連接AG交CD于K,且KE=GE. (1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由; (2)若AC∥EF,,F(xiàn)B=1,求⊙O的半徑. 2.如圖,PB為⊙O的切線,B為切點(diǎn),直線PO交⊙于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)B作PO的垂線BA,垂足為點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)A,延長AO與⊙O交于點(diǎn)C,連接BC,AF. (1)求證:直線PA為⊙O的切線; (2)試探究線段EF,OD,OP之間的等量關(guān)系,并加

2、以證明; (3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和線段PE的長. 3.如圖所示,AB是⊙O的直徑,AE是弦,C是劣弧AE的中點(diǎn),過C作CD⊥AB于點(diǎn)D,CD交AE于點(diǎn)F,過C作CG∥AE交BA的延長線于點(diǎn)G.連接OC交AE于點(diǎn)H。 (1)求證:GC⊥OC. (2)求證:AF=CF. (3)若∠EAB=30,CF=2,求GA的長. 4.如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長線上,且∠CBF=∠CAB. (1)求證:直線BF是⊙O的切線; (2)若AB=5,sin∠CBF=,求

3、BC和BF的長. 5.如圖,⊙O的弦AB=8,直徑CD⊥AB于M,OM :MD =3 :2, E是劣弧CB上一點(diǎn),連結(jié)CE并延長交CE的延長線于點(diǎn)F. 求:(1)⊙O的半徑; (2)求CECF的值. 6.如圖,已知在△ABP中,C是BP邊上一點(diǎn),∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且交BP于點(diǎn)E. (1)求證:PA是⊙O的切線; (2)過點(diǎn)C作CF⊥AD,垂足為點(diǎn)F,延長CF交AB于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長; (3)在滿足(2)的條件下,若AF:FD=1:2,GF=1,求⊙O的半徑及sin∠ACE的值.

4、 7.如圖,在△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4.0為BC邊上一點(diǎn),以0為圓心,OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,連接DE. (1)當(dāng)BD=3時,求線段DE的長; (2)過點(diǎn)E作半圓O的切線,當(dāng)切線與AC邊相交時,設(shè)交點(diǎn)為F.求證:△FAE是等腰三角形. 8.如圖,在△ABC中,∠C=90,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F,⊙O是△BEF的外接圓. (1)求證:AC是⊙O的切線; (2)過點(diǎn)E作EH⊥AB,垂足為H,求證:CD=HF; (3)若CD=1,EH=3,求BF及AF

5、長. 9.如圖,BD是⊙O的直徑,OA⊥OB,M是劣弧 上一點(diǎn),過點(diǎn)M作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點(diǎn),MD與OA交于N點(diǎn). (1)求證:PM=PN; (2)若BD=4,PA= AO,過點(diǎn)B作BC∥MP交⊙O于C點(diǎn),求BC的長. 10.如圖是一個量角器和一個含30角的直角三角板放置在一起的示意圖,其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長線上,AB切半圓O于點(diǎn)F,且BC=OE. (1)求證:DE∥CF; (2)當(dāng)OE=2時,若以O(shè),B,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求OB的長; (3)若OE=2,移動三角板ABC且使AB邊始終與

6、半圓O相切,直角頂點(diǎn)B在直徑DE的延長線上移動,求出點(diǎn)B移動的最大距離. 11.如圖,AB、AC分別是⊙O的直徑和弦,點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn),弦DE⊥AB分別交⊙O于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延長線上一點(diǎn)且PC=PF. (1)求證:PC是⊙O的切線; (2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時,才能使AD2=DE?DF,為什么? (3)在(2)的條件下,若OH=1,AH=2,求弦AC的長. 12.如圖,在△ABC中,∠ABC=90,以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連接DE,OE. (1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)

7、系,并說明理由; (2)求證:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的長. 專題:圓與相似答案 1.(1)相切,理由見解析;(2)4. (1)如圖,連接OG. ∵OA=OG,∴∠OGA=∠OAG. ∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90. ∵KE=GE, ∴∠KGE=∠GKE=∠AKH. ∴∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90. ∴∠OGE=90,即OG⊥EF. 又∵G在圓O上,∴EF與圓O相切. (2)∵AC∥EF, ∴∠F=∠CAH, ∴Rt△AHC∽ Rt△FGO. ∴. ∵在Rt△OA

8、H中,,設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t. ∴. ∴. ∵FB=1 ∴,解得:OG=4. ∴圓O的半徑為4 . 考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì);2.切線的判定;3.相似三角形的判定與性質(zhì). 2.(1)證明見解析;(2)EF2=4OD?OP,證明見解析;(3),. 解析 試題解析:(1)如圖,連接OB, ∵PB是⊙O的切線,∴∠PBO=90. ∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB. 又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS). ∴∠PAO=∠PBO=90. ∴直線PA為⊙O的切線. (2)EF2=4OD?OP,證明如下: ∵∠PA

9、O=∠PDA=90,∴∠OAD+∠AOD=90,∠OPA+∠AOP=90. ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴,即OA2=OD?OP. 又∵EF=2OA,∴EF2=4OD?OP. (3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3(三角形中位線定理). 設(shè)AD=x, ∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3. 在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32, 解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去).∴AD=4,OA=2x﹣3=5. ∵AC是⊙O直徑,∴∠ABC=90. 又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB=.

10、∵OA2=OD?OP,∴3(PE+5)=25.∴PE=. 3.試題解析: (1)證明:如圖,連結(jié)OC, ∵C是劣弧AE的中點(diǎn), ∴OC⊥AE, ∵CG∥AE, ∴CG⊥OC, ∴CG是⊙O的切線; (2)證明:連結(jié)AC、BC, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90, ∴∠2+∠BCD=90, 而CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=90, ∴∠B=∠2, ∵AC弧=CE弧, ∴∠1=∠B, ∴∠1=∠2, ∴AF=CF; (3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30,F(xiàn)A=FC=2, ∴DF=AF=1, ∴AD=DF=, ∵AF∥CG, ∴DA:AG=DF

11、:CF,即:AG=1:2, ∴AG=. 4.(1)證明:連接AE,∵AB是⊙O的直徑,∴∠AEB=90,∴∠1+∠2=90.∵AB=AC,∴∠1=∠CAB.∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF,∴∠CBF+∠2=90,即∠ABF=90,∵AB是⊙O的直徑,∴直線BF是⊙O的切線. (2)過點(diǎn)C作CG⊥AB于 G.∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=,∵在Rt△AEB中,∠AEB=90,AB=5,∴BE=AB?sin∠1=,∵AB=AC,∠AEB=90,∴BC=2BE=,在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==,∴sin∠2==,cos∠2==,在Rt△CBG中,可求得GC

12、=4,GB=2,∴AG=3,∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF,∴,∴BF=. 考點(diǎn):1.切線的判定與性質(zhì);2.勾股定理;3.圓周角定理;4.相似三角形的判定與性質(zhì); 5.試題解析:(1)如圖,連接AO, ∵OM : MD=3:2,∴可設(shè)OM=3 k,MD=2 k (k 0),則OA=OD=5 k. 又∵弦AB=8,直徑CD⊥AB于M,∴AM=4. 在Rt△OAM中,由勾股定理可得:k=1 . ∴圓O的半徑為5 . (2)如圖,連接AE, 由垂徑定理可知:AEC=CAF, 又∵ACF=ACF,∴DACE∽DFCA. ∴,即AC2=CECF. 在Rt△ACM中,

13、由勾股定理可得:AC2=AM2+CM2=16+64=80 , ∴CECF=80. 6.解:(1)證明:連接CD, ∵AD是⊙O的直徑,∴∠ACD=90。 ∴∠CAD+∠ADC=90。 又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA, ∴∠PAC=∠ADC?!唷螩AD+∠PAC=90。 ∴PA⊥OA。 又∵AD是⊙O的直徑,∴PA是⊙O的切線。 (2)由(1)知,PA⊥AD, 又∵CF⊥AD,∴CF∥PA?!唷螱CA=∠PAC。 又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA。 又∵∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC。 ∴,即AC2=AG?AB。

14、 ∵AG?AB=12,∴AC2=12?!郃C=。 (3)設(shè)AF=x, ∵AF:FD=1:2,∴FD=2x?!郃D=AF+FD=3x。 在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AF?AD,即3x2=12。 解得;x=2。 ∴AF=2,AD=6。∴⊙O半徑為3。 在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1, ∴根據(jù)勾股定理得:。 由(2)知,AG?AB=12,∴。 連接BD, ∵AD是⊙O的直徑,∴∠ABD=90。 在Rt△ABD中,∵sin∠ADB=,AD=6,∴sin∠ADB=。 ∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=。 7.(1

15、)解:∵∠C=90,AC=3,BC=4, ∴AB=5, ∵DB為直徑, ∴∠DEB=∠C=90, 又∵∠B=∠B, ∴△DBE∽△ABC, ∴DEAC=BDAB, 即DE3=35, ∴DE=; (2)證法一:連接OE, ∵EF為半圓O的切線, ∴∠DEO+∠DEF=90, ∴∠AEF=∠DEO, ∵△DBE∽△ABC, ∴∠A=∠EDB, 又∵∠EDO=∠DEO, ∴∠AEF=∠A, ∴△FAE是等腰三角形; 證法二:連接OE ∵EF為切線, ∴∠AEF+∠OEB=90, ∵∠C=90, ∴∠A+∠B=90,

16、 ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠B, ∴∠AEF=∠A, ∴△FAE是等腰三角形. 8.證明:(1)如圖,連接OE. ∵BE⊥EF, ∴∠BEF=90, ∴BF是圓O的直徑. ∵BE平分∠ABC, ∴∠CBE=∠OBE, ∵OB=OE, ∴∠OBE=∠OEB, ∴∠OEB=∠CBE, ∴OE∥BC, ∴∠AEO=∠C=90, ∴AC是⊙O的切線; (2)如圖,連結(jié)DE. ∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H, ∴EC=EH. ∵∠CDE+∠BDE=180,∠HFE+∠BDE=180, ∴∠CDE

17、=∠HFE. 在△CDE與△HFE中, , ∴△CDE≌△HFE(AAS), ∴CD=HF. (3)由(2)得CD=HF,又CD=1, ∴HF=1, 在Rt△HFE中,EF=32+12=10, ∵EF⊥BE, ∴∠BEF=90, ∴∠EHF=∠BEF=90, ∵∠EFH=∠BFE, ∴△EHF∽△BEF, ∴EFBF=HFEF,即10BF=, ∴BF=10, ∴OE=BF=5,OH=5-1=4, ∴Rt△OHE中,cos∠EOA=, ∴Rt△EOA中,cos∠EOA=OEOA=, ∴=, ∴OA=254, ∴AF=25

18、4-5=. 9.(1)證明:連接OM, ∵M(jìn)P是圓的切線,∴OM⊥PM, ∴∠OMD+∠DMP=90, ∵OA⊥OB, ∴∠OND+∠ODM=90, ∵∠MNP=∠OND,∠ODM=∠OMD, ∴∠DMP=∠MNP, ∴PM=PN. (2)解:設(shè)BC交OM于E, ∵BD=4,OA=OB=BD=2, ∴PA=3, ∴PO=5; ∵BC∥MP,OM⊥MP, ∴OM⊥BC,∴BE=BC; ∵∠BOM+∠MOP=90, 在直角三角形OMP中, ∠MPO+∠MOP=90, ∴∠BOM=∠MPO; ∵∠BEO=∠OMP=90,

19、∴△OMP∽△BEO, ∴OMOP=BEBO,即=BE2, 解得:BE=, ∴BC=. 10.(1)證明:連接OF, ∵AB切半圓O于點(diǎn)F,OF是半徑, ∴∠OFB=90, ∵∠ABC=90, ∴∠OFB=∠ABC, ∴OF∥BC, ∵BC=OE,OE=OF, ∴BC=OF, ∴四邊形OBCF是平行四邊形, ∴DE∥CF; (2)解:若△OBF∽△ACB, ∴OBOF=ACAB, ∴OB=, ∵∠A=30,∠ABC=90,BC=OE=2, ∴AC=4,AB=23. 又∵OF=OE=2, ∴OB=4脳223=; 若△

20、BOF∽△ACB, ∴OBOF=ACBC, ∴OB=, ∴OB=4脳22=4; 綜上,OB=或4; (3)解:畫出移動過程中的兩個極值圖, 由圖知:點(diǎn)B移動的最大距離是線段BE的長, ∵∠A=30,∴∠ABO=30,∴BO=4,∴BE=2, ∴點(diǎn)B移動的最大距離是線段BE的長為2. 11.(1)證明:連接OC. ∵PC=PF,OA=OC, ∴∠PCA=∠PFC,∠OCA=∠OAC, ∵∠PFC=∠AFH,DE⊥AB, ∴∠AHF=90, ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90, ∴PC是⊙O的切線. (2)解:點(diǎn)

21、D在劣弧AC中點(diǎn)位置時,才能使AD2=DE?DF,理由如下: 連接AE. ∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置, ∴∠DAF=∠DEA, ∵∠ADE=∠ADE, ∴△DAF∽△DEA, ∴AD:ED=FD:AD, ∴AD2=DE?DF. (3)解:連接OD交AC于G. ∵OH=1,AH=2, ∴OA=3,即可得OD=3, ∴DH=OD2-OH2=8=22. ∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置, ∴AC⊥DO, ∴∠OGA=∠OHD=90, 在△OGA和△OHD中, , ∴△OGA≌△OHD(AAS), ∴AG=DH, ∴AC=42. 12

22、.(1)證明:連接OD,BD, ∵AB為圓O的直徑, ∴∠ADB=90, 在Rt△BDC中,E為斜邊BC的中點(diǎn), ∴CE=DE=BE=BC, ∴∠C=∠CDE, ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∵∠ABC=90,即∠C+∠A=90, ∴∠ADO+∠CDE=90,即∠ODE=90, ∴DE⊥OD,又OD為圓的半徑, ∴DE為⊙O的切線; (2)證明:∵E是BC的中點(diǎn),O點(diǎn)是AB的中點(diǎn), ∴OE是△ABC的中位線, ∴AC=2OE, ∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC, ∴△ABC∽△BDC, ∴BCCD=ACBC,即BC2=AC?CD. ∴BC2=2CD?OE; (3)解:∵cos∠BAD=, ∴sin∠BAC=BCAC=, 又∵BE=6,E是BC的中點(diǎn),即BC=12, ∴AC=15. 又∵AC=2OE, ∴OE=AC=152.

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