高中數(shù)學(xué) 4.1.2圓的一般方程課件 新人教A版必修2.ppt
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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,人教版 · 必修2,圓的方程,第四章,4.1 圓的方程,第四章,4.1.2 圓的一般方程,1.圓的標準方程為__________________________ . 2.用待定系數(shù)法求圓的標準方程步驟如下: (1)由題意設(shè)出標準方程;(2)列出關(guān)于a、b、r的方程(或方程組);(3)解出a、b、r代入標準方程. 3.由幾何意義求圓的標準方程步驟如下: (1)由題意確定圓心和半徑長;(2)寫出標準方程. 4.平面幾何中的結(jié)論:不共線的________確定一個圓.,●知識銜接,(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),三點,[答案] C,●自主預(yù)習(xí),D2+E2-4F0,(3)用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟: ①根據(jù)題意,選擇__________或__________; ②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F(xiàn)的__________; ③解出a,b,r或D,E,F(xiàn),代入標準方程或一般方程. [破疑點] 若一個二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓,應(yīng)滿足的條件是:①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4F0.,標準方程,一般方程,方程組,[拓展] 1.圓的標準方程和一般方程的對比 (1)由圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可以直接看出圓心坐標(a,b)和半徑r,圓的幾何特征明顯. (2)由圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程,圓的代數(shù)特征明顯. (3)相互轉(zhuǎn)化,如圖所示.,,2.由圓的一般方程判斷點與圓的位置關(guān)系 剖析:已知點M(x0,y0)和圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),則其位置關(guān)系如下表:,2.軌跡方程 點M的坐標(x,y)滿足的__________稱為點M的軌跡方程. [拓展] 當動點M的變化是由點P的變化引起的,并且點P在某一曲線C上運動時,常用中間量法(又稱為相關(guān)點法)來求動點M的軌跡方程,其步驟是:(1)設(shè)動點M(x,y);(2)用點M的坐標來表示點P的坐標;(3)將所得點P的坐標代入曲線C的方程,即得動點M的軌跡方程.,關(guān)系式,●預(yù)習(xí)自測,[答案] B,2.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實數(shù)k的取值范圍是( ) A.R B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞) [答案] B [解析] ∵D2+E2-4F0,∴16+4-20k0, ∴k1,故選B.,3.點P(x0,y0)是圓x2+y2=4上的動點,點M是OP(O是原點)的中點,則動點M的軌跡方程是________. [答案] x2+y2=1,(1)(2015·荊州高二檢測)圓x2+y2-2x+4y=0的圓心坐標為( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-1,-2),二元二次方程與圓的關(guān)系,●互動探究,[探究] (1)怎樣由圓的一般方程得出其圓心和半徑? (2)題2中二元二次方程在什么件下表示圓?,[答案] (1)B (2)A,規(guī)律總結(jié):(1)判斷一個二元二次方程是否表示圓的步驟是:先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征,即①x2與y2的系數(shù)相等;②不含xy項;當它具有圓的一般方程的特征時,再看它能否表示圓,此時有兩種途徑,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方變形,看右端是否為大于零的常數(shù)即可. (2)圓的標準方程指出了圓心坐標與半徑的大小,幾何特征明顯;圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯.,(1)過三點A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)的圓的方程是( ) A.x2+y2+4x-2y-20=0 B.x2+y2-4x+2y-20=0 C.x2+y2-4x-2y-20=0 D.x2+y2+4x+4y-20=0,用待定系數(shù)法求圓的方程,[探究] (1)題1中三點與圓心、半徑無直接聯(lián)系,應(yīng)怎樣設(shè)出圓的方程? (2)圓的一般方程中含有幾個待定系數(shù),在求圓的方程時如何求出待定系數(shù)?,[答案] (1)C,規(guī)律總結(jié):求圓的方程有以下兩種方法. (1)幾何法.利用圓的幾何性質(zhì)確定出圓心和半徑. (2)待定系數(shù)法.大致步驟為: ①根據(jù)題意,選擇標準方程或一般方程; ②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F(xiàn)的方程組; ③解出a,b,r或D,E,F(xiàn),代入標準方程或一般方程.,注:不論是圓的標準方程還是一般方程,必須具備三個獨立條件,才能確定一個圓.在選擇圓的標準方程或一般方程時:如果由已知條件容易知圓心坐標、半徑長或可用圓心、半徑長列方程,通常設(shè)圓的標準方程;如果已知條件和圓心坐標或半徑長都無直接關(guān)系,通常選擇一般方程.而利用圓的幾何性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想又易于尋找解題思路.,(1)已知圓經(jīng)過A(2,-3)和B(-2,-5),若圓心在直線x-2y-3=0上,求圓的方程. (2)求過點A(-1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圓的方程. [分析] 由題設(shè)三個條件,可利用待定系數(shù)法求方程,也可利用弦的中垂線過圓心,先確定圓心,再求圓的半徑.,規(guī)律總結(jié):1.第(1)題中,容易發(fā)現(xiàn),利用圓的性質(zhì)的解法3比用待定系數(shù)法的解法1和解法2計算量小,充分利用圓的性質(zhì)可簡化解題過程. 2.用待定系數(shù)法求圓的方程時,①如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題,一般采用圓的標準方程,求出a、b、r即可.②如果給出圓上三個點坐標或已知條件與圓心或半徑都無直接關(guān)系,一般采用一般方程,求出D、E、F即可.,已知點P在圓C:x2+y2-8x-6y+21=0上運動,求線段OP的中點M的軌跡方程. [探究] 求動點的軌跡方程即求動點的坐標(x,y)滿足的關(guān)系式.可以建立點P與點M的坐標之間的關(guān)系,由點P的坐標滿足方程x2+y2-8x-6y+21=0,得點M的坐標滿足的條件,求出點M的軌跡方程.也可以根據(jù)圖形的幾何特征,直接利用圓的定義求解.,求軌跡方程,●探索延拓,[點評] 本題解法一為代入法:它用于處理一個主動點與一個被動點問題,只需找出這兩點坐標之間的關(guān)系,然后代入主動點滿足的軌跡方程即可.本題解法二為定義法:動點的軌跡滿足某種曲線的定義,然后根據(jù)定義直接寫出動點的軌跡方程.,規(guī)律總結(jié):求軌跡方程的常用方法: (1)直接法:能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.步驟如下: 說明:因為除個別情況外,化簡過程都是同解變形過程,所以證明時步驟可以不寫,如果有特殊情況,可適當予以說明.,,(2)代入法(也稱相關(guān)點代入法):找到所求動點與已知動點的關(guān)系,代入已知動點的所在的方程.具體步驟如下: ①設(shè)所求軌跡上任意一點Q(x,y),與點Q相關(guān)的動點P(x0,y0); ②根據(jù)條件列出x,y與x0,y0的關(guān)系式,求得x0,y0(即用x,y表示出來); ③將x0,y0代入已知曲線的方程,從而得到點Q(x,y)滿足的關(guān)系式即為所求的軌跡方程.,等腰三角形的頂點是A(4,2),底邊一個端點是B(3,5),求另一個端點C的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么. [分析] 先設(shè)出點C的坐標(x,y),根據(jù)|AB|=|AC|列方程化簡整理,即可得點C的軌跡方程,然后由軌跡方程指明軌跡.,,已知點O(0,0)在圓x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范圍.,易錯點 忽視圓的方程成立的條件,●誤區(qū)警示,[錯因分析] 本題忽視了圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件為D2+E2-4F>0,而導(dǎo)致錯誤.,[思路分析] 方程是否滿足表示圓的條件,這是將二元二次方程按圓的方程處理時應(yīng)首先考慮的問題.,當m是什么實數(shù)時,關(guān)于x,y的方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0表示的圖形是一個圓? [錯解] 形如Ax2+By2+F=0的方程表示一個圓,只要A=B≠0, 所以2m2+m-1=m2-m+2,即m2+2m-3=0, 解得m1=1,m2=-3. 所以當m=1,或m=-3時,原方程表示的圖形是一個圓.,1.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) [答案] D [解析] 圓的一般程化成標準方程為(x-2)2+(y+3)2=13,可知圓心坐標為(2,-3).,2.過坐標原點,且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為( ) A.x2+y2-2x-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y2+2x+3y=0 [答案] A,3.動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離是2倍,則動點P的軌跡方程為( ) A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 [答案] B,4.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-1,2)為圓心,2為半徑的圓,則F=________. [答案] 1,5.判斷下列方程是否表示圓,若是,化成標準方程. (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2ay-1=0; (3)x2+y2+20x+121=0; (4)x2+y2+2ax=0.,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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