高中數學 2.3第2課時空間向量運算的坐標表示課件 北師大版選修2-1.ppt

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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.3 向量的坐標表示和空間向量基本定理 第2課時 空間向量運算的坐標表示,第二章,1．空間向量坐標運算的法則 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則 a＋b＝__________________________； a－b＝__________________________ ； λa＝__________________________ ； 空間向量平行的坐標表示為a∥b(b≠0)?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．,(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2),(x1－x2，y1－y2，z1－z2),(λx1，λy1，λz1)(λ∈R),(x2－x1，y2－y1，z2－z1),x1x2＋y1y2＋z1z2,對應坐標的乘積之和,x1x2＋y1y2＋z1z2＝0,1．設{i，j，k}為單位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根據向量線性運算與數量積運算的定義及運算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐標表示．,,2．空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算，牢記運算公式是應用的關鍵．這些公式為我們用向量的知識解決立體幾何問題提供了有力的工具． 3．運用空間向量解決立體幾何問題，先要考察原圖形是否方便建立直角坐標系，將問題中涉及的點、線(向量)、面(向量的線性組合)用坐標表示，如果容易表示則先建系，將點用坐標表示出來，然后，利用垂直、平行、共面的條件通過向量運算推證有關結論，利用向量的模、向量夾角的計算公式來求線段長度及角，最后將計算的結果轉化為幾何結論；當圖形中的點不方便用坐標表示時，可直接設出向量的基底，將各條件、結論中涉及的向量表示為基底的線性組合，再運用向量線性運算及數量積運算的規(guī)則進行推理、計算最后轉化為相應幾何結論．,4．若a·b＝0，則a⊥b；若a＝λb(b≠0，λ∈R)，則a∥B． 解兩直線垂直或平行的問題，或利用向量證明立體幾何的問題，應先將幾何中的相關量用向量的形式表示，或建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，再利用向量運算求解．,已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求： (1)a＋b； (2)a－b； (3)2a·(－b)； (4)(a＋b)·(a－b)． [分析] 利用空間向量的運算法則坐標形式求解．,向量運算的坐標表示,[解析] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)(－4)＝14. (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. [總結反思] 進行運算時可以適當地選擇求解方法，如計算(a＋b)·(a－b)，可以先求a＋b與a－b，再點乘，也可以用公式寫出a2－b2＝|a|2－|b|2然后計算．,已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求3a＋2b，a·B． [分析] 空間向量的加、減、數乘運算與平面向量的加、減、數乘運算方法類似，向量的數量積等于它們對應坐標乘積的和．,[解析] 因為a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)， 所以3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(3×2,3×(－1)，3×(－2))＋(2×0,2×(－1)，2×4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)． a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝0＋1－8＝－7. [總結反思] 空間向量的加、減、數乘、數量積運算是今后利用向量知識解決立體幾何知識的基礎，必須熟練掌握，并且能夠靈活地應用．,空間向量的垂直與平行的判斷,[總結反思] 已知兩個空間向量的坐標，當這兩個向量平行或垂直時，就可以根據a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b?a1＝xb1，a2＝xb2，a3＝xb3(x∈R)進行求解．其中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．,設a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，則k＝________________. [分析] 由向量線性運算的坐標表示可求出ka＋b，a－3b，再由向量共線的坐標表示可求出k.,[分析] (1)向量的模(大小)的公式是什么？ (2)計算兩個向量的夾角或其余弦值，要先計算哪些量？,數量積的應用,,[總結反思] 1.空間兩點間的距離(線段長度)的求法 空間兩點可以確定一個向量，通過求向量的?；蚋鶕牲c間的距離公式求出兩點間的距離． 2．關于兩直線夾角的求法 (1)通過建立空間直角坐標系，求出兩直線的方向向量的坐標，然后計算兩直線的方向向量的夾角． (2)空間兩條直線夾角的范圍與向量夾角的范圍不同，當所求兩向量夾角為鈍角時，則兩直線夾角是與此鈍角互補的銳角．,,[總結反思] 此類問題考查了空間向量的運算，考查了轉化與化歸的思想．值得注意的是：①要建立合適的坐標系，使運算簡便；②要在運算時別出錯．,綜合應用,[總結反思] 解題時要根據題設中關于x的方程有實根，得到t的取值范圍為3≤t≤4，而不是t∈R.,如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，問：在BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD？說明理由．,,[分析] 可建立空間直角坐標系，轉化為空間向量來求解．,,[總結反思] 兩向量平行或兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種情況，兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件．錯解就忽視了這一點．,