高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用章末歸納總結(jié)課件 北師大版選修1-1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修1-1,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,第四章,章末歸納總結(jié),第四章,1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系： 如果f′(x)0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)0(f′(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分不必要條件，如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使得f′(x)＝0，不會影響函數(shù)f(x)在包含這些特殊點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．所以在已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意等號是否可以取到，也就是導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)需要單獨(dú)驗(yàn)證，以免出錯(cuò)．,注意：當(dāng)一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，這些單調(diào)區(qū)間一般不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開． 3．(1)一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較陡峭(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就平緩一些． (2)f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．在區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)0，則切線傾斜角為銳角，曲線呈向上增加狀態(tài)，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)0，則切線傾斜角為鈍角，曲線呈向下減少狀態(tài)，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減．,4．(1)根據(jù)極值的定義可知，在可導(dǎo)函數(shù)中，若x0為極值點(diǎn)，則必有f′(x0)＝0(此結(jié)論常用來求參數(shù))，但f′(x0)＝0時(shí)，x0不一定為極值點(diǎn)，還要滿足在此點(diǎn)附近左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相反，單調(diào)性一致時(shí)，不能作為極值點(diǎn)．如函數(shù)f(x)＝x3可導(dǎo)，且在x＝0處滿足f′(0)＝0，但x＝0卻不是極值點(diǎn)． (2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值時(shí)，將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．,(3)如果函數(shù)y＝f(x)的圖像是區(qū)間[a，b]上一條連續(xù)不斷的曲線，且在(a，b)上可導(dǎo)，則 ①f(x)在[a，b]上必有最值點(diǎn)． ②若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)，且在這一點(diǎn)處取得極值，則該點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)． (4)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．,5．(1)已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，求f(x)中參數(shù)的取值范圍的方法為分離參數(shù)法．通常將f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而求出參數(shù)的取值范圍． (2)對于證明f(x)≥(或≤)m恒成立的問題，可以轉(zhuǎn)化為證明相應(yīng)函數(shù)y＝f(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的問題．,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x－1， 則f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－1)上為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－1,3)時(shí)，f′(x)0，故f(x)在(3，＋∞)上為增函數(shù)． 由此可見，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(3，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,3).,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值,1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)檢驗(yàn)f ′(x)＝0的根的兩側(cè)f ′(x)的符號． 若左正、右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負(fù)、右正，則f(x)在此根處取得極小值． 否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)．,2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)中求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值． 特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．,[解析] (1)因?yàn)閒 ′(x)＝3x(x－a)，所以有： 當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)； 當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,0)； 當(dāng)a＝0時(shí)，f ′(x)＝3x2≥0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上遞增；,求參數(shù)的取值范圍問題,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以有兩種方法，一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導(dǎo)數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)法更為簡捷．在解決問題的過程中主要處理好等號的問題，因?yàn)閒 ′(x)0(或f ′(x)0)僅是一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充分不必要條件，而其充要條件是：f ′(x)≥0或(f ′(x)≤0)，且使f ′(x)＝0的點(diǎn)僅有有限個(gè)．利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題時(shí)可以有兩個(gè)基本思路：,導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,1.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值的一般方法： (1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實(shí)際問題確定y＝f(x)的定義域． (2)求方程f ′(x)＝0的所有實(shí)數(shù)根． (3)比較導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)根和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實(shí)際問題的意義確定函數(shù)的最大值或最小值．,2．利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問題： (1)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去． (2)在實(shí)際問題中，由f ′(x)＝0常常僅得到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．,[答案] B [解析] f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.,2．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 [答案] A [解析] 由f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)＝0得x＝－1或x＝2.因?yàn)閒(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4， 所以f(2)f(3)f(0)， 所以f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－15.,5．函數(shù)y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________． [答案] (－∞，0) [解析] ∵y′＝3ax2≤0恒成立， ∴a≤0. 當(dāng)a＝0時(shí)，y＝－1不是減函數(shù)， ∴a≠0. 故a的取值范圍是(－∞，0)．,7．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c，在x＝－2時(shí)有極大值6，在x＝1時(shí)有極小值． (1)求a、b、c的值； (2)求出f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最大值和最小值．,