2019-2020年高三數(shù)學 考點總動員06 基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)） 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學 考點總動員06 基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)） 文（含解析） 【考點分類】 熱點1 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 1.【xx高考安徽卷文第5題】設(shè)則（ ） A. B. C. D. 2.【xx高考安徽卷文第11題】________. 3.【xx高考北京卷文第2題】下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 4. 【xx高考北京卷文第6題】已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 5.【xx高考福建卷文第8題】若函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列函數(shù)正確的是 （ ） 6.【xx高考湖南卷文第15題】若是偶函數(shù)，則____________. 【答案】 【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù),所以 ,故填. 【考點定位】奇偶性 對數(shù)運算 7.【xx高考江蘇卷第10題】已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實數(shù)的取值范圍為 . 8. 【xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相同），則實數(shù)的取值范圍是 . 【考點】函數(shù)的零點，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點問題． 9.【xx高考江西卷文第4題】已知函數(shù)，若，則（ ） 10．【xx高考遼寧卷文第3題】已知，，則（ ） A． B． C． D． 11.【xx高考全國1卷文第15題】設(shè)函數(shù)則使得成立的的取值范圍是________. 【答案】 【解析】 12. 【xx高考山東卷文第3題】函數(shù)的定義域為（ ） A. B. C. D. 13.【xx高考山東卷文第5題】已知實數(shù)滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 【xx高考山東卷文第6題】已知函數(shù)為常數(shù)，其中的圖象如右圖，則下列結(jié)論成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 15.【xx高考四川卷文第7題】已知，，，，則下列等式一定成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 16.【xx高考天津卷卷文第4題】設(shè)則（ ） A. B. C. D. 17. 【xx高考天津卷卷文第12題】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 18.【xx高考浙江卷文第8題】在同一坐標系中，函數(shù)，的圖象可能是（ ） 【方法規(guī)律】 1.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決． 2.對數(shù)式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并． (2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算. 3．比較對數(shù)值大小時若底數(shù)相同，構(gòu)造相應的對數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性求解；若底數(shù)不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數(shù)再比較． 5．利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的． 【解題技巧】 1.圖像題要注意根據(jù)圖像的單調(diào)性和特殊點判斷 2.指數(shù)形式的幾個數(shù)字比大小要注意構(gòu)造相應的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較． 4．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，a≠1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān)，一定要分清a>1與00的解集為________． 熱點2 冪函數(shù)、二次函數(shù) 1.【xx高考北京卷文第8題】加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率 與加工時間（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系（、、是常數(shù)），下圖記錄了三次實 驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（ ） A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘 【考點】本小題以實際應用為背景，主要考查二次函數(shù)的解析式的求解、二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查同學們分析問題與解決問題的能力. 2.【xx高考福建卷文第15題】函數(shù)的零點個數(shù)是__________. 考點：分段函數(shù)，函數(shù)的零點，函數(shù)的圖象和性質(zhì). 3.【xx高考湖北卷文第9題】已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的集合為（ ） A. B. C. D. 由解得或；由解得， 所以函數(shù)的零點的集合為，故選D. 考點：函數(shù)的奇偶性的運用，分段函數(shù)，函數(shù)的零點，一元二次方程的解法，難度中等. 4.【xx高考天津卷卷文第14題】已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為_______ 【答案】 【解析】 試題分析： o x y 5.【xx高考浙江卷文第16題】已知實數(shù)、、滿足，，則的最大值為為_______. 【方法規(guī)律】 1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關(guān)； 2.常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取得最值.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間可以相互轉(zhuǎn)化．一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 3.冪函數(shù)y＝xα的圖象與性質(zhì)由于α的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查 (1)α的正負：α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一 象限的圖象下降，反之也成立． (2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α<1時，曲線上凸；α<0時，曲線下凸． 4．二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律： (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 5．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． 【解題技巧】 1. 做二次函數(shù)類型題是注意數(shù)形結(jié)合的應用，畫出函數(shù)的草圖能幫助我們理清思路 2. 二次函數(shù)中如果含有參數(shù)，往往要進行分類討論 3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 4.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點. 【易錯點睛】 1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別 2.冪函數(shù)的增減與α的關(guān)系 3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 4.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點. 例1：二次函數(shù)f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3在區(qū)間[－，2]上的最大值為1，求實數(shù)a的值． 解：若f(－)＝1，解得a＝－，但此時a＜0，且x0＝＝－∈[－，2]，故不可能； 若f(2)＝1，解得a＝， 此時a＞0且x0＝＝－∈[－，2]滿足； 若f()＝1，解得a＝， 此時必須有 檢驗知，a＝－滿足，a＝不滿足． 綜上，a＝或a＝－. 【易錯點】形式是二次函數(shù)的解析式中注意討論二次項系數(shù)a的取值 例2：(2011年蘇州調(diào)研)如圖是函數(shù)(m、n∈N*，m、n互質(zhì))的圖象，則下列判斷正確的是________． ①m、n是奇數(shù)，且＜1 ②m是偶數(shù)，n是奇數(shù)且＞1 ③m是偶數(shù)，n是奇數(shù)且＜1 ④m是奇數(shù)，n是偶數(shù)且＞1 解析：將分數(shù)指數(shù)式化為根式y(tǒng)＝，由定義域為R，值域為[0，＋∞)知n為奇數(shù)，m為偶數(shù)，又由冪函數(shù)y＝xα，當α＞1時，圖象在第一象限的部分下凸，當0＜α＜1時，圖象在第一象限的部分上凸，故③正確． 答案：③ 【易錯點】冪函數(shù)的單調(diào)性和a有關(guān)，注意a與0和1的比較 【考點剖析】 1.最新考試說明： 1.理解指數(shù)冪的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，會解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題. 2.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，會用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用． 3.理解對數(shù)函數(shù)的概念，能解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題. 4.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況． 2.命題方向預測： 1.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)是近幾年高考的熱點． 2.通過具體問題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，或利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些實際問題是重點，也是難點，同時考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想． 3.高考考查的熱點是對數(shù)式的運算和對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應用，同時考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想． 4.關(guān)于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體，考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題． 5.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點，也是難點． 6.題型以選擇題和填空題為主，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現(xiàn). 3. 課本結(jié)論總結(jié)： 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1．分數(shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1．對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則 (1)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數(shù)的性質(zhì) ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝logad. 3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)與冪函數(shù) 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減；在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減在x∈上單調(diào)遞增 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱 2.冪函數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 特征 函數(shù) 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 增 x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時，減；x∈(－∞，0)時，減 4.名師二級結(jié)論： （1）根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算． （2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按：0＜a＜1和a＞1進行分類討論． （3）換元時注意換元后“新元”的范圍． （4）對數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式可以互化，對數(shù)的性質(zhì)和運算法則都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進行證明． （5）解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍． （6）對數(shù)值的大小比較方法 化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數(shù)后利用圖象比較． （7）函數(shù)y＝f(x)對稱軸的判斷方法 1、對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱． 2、對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 5.課本經(jīng)典習題： (1)新課標A版第 70 頁，B組第 2 題 指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，求二次函數(shù)的頂點的橫坐標的取值范圍． 答案：由圖可知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以． 而二次函數(shù)的頂點的橫坐標為， 所以，即二次函數(shù)的頂點的橫坐標的取值范圍是． 【經(jīng)典理由】有效把指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)相結(jié)合 (2)新課標A版第 60 頁，B組第 4 題 設(shè)其中確定為何值時，有： 【解析】（1）3x+1=-2x時，得x=-; (2)時，單調(diào)遞增，由于，得3x+1>-2x得x>-, ，單調(diào)遞減，由于，得3x+1-2x解得x-． 【經(jīng)典理由】根據(jù)a的取值進行分類討論 (3)新課標A版第 72 頁，例8 比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。? （1）log 2 3 . 4 與 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 與 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 與 log a 5 . 9 (且)． 解：（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函數(shù)且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ； （2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是減函數(shù)且 1 . 8＜2 . 7， ∴l(xiāng)og 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7； （3）解：當時，∵ y = log a x在( 0 , + ∞) 上是增函數(shù)且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1log a 5 . 9， 當0＜a＜1時，∵ y = log a x在 ( 0 , + ∞) 上是減函數(shù)且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ． 【經(jīng)典理由】以對數(shù)函數(shù)為載體，考查對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用 (4)新課標A版第 822 頁，A組第10題 已知冪函數(shù)，試求出此函數(shù)的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調(diào)性． 【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念設(shè)，將點的坐標代入即可求得n值，從而求得函數(shù)解析式．要判斷函數(shù)的奇偶性我們可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)圖象在（0，+∞）的單調(diào)性，進而畫出函數(shù)的圖象． 【解析】設(shè),因為冪函數(shù), ， 這個函數(shù)解析式為 ． 定義域為（0，+∞），它不關(guān)于原點對稱， 所以，y=f（x）是非奇非偶函數(shù)． 當x＞0時，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖． 【經(jīng)典理由】本題通過待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式、解指數(shù)方程的解法、奇（偶）函數(shù)性、冪函數(shù)圖象考查學生對冪函數(shù)有關(guān)知識的掌握程度和對知識的綜合應用能力 6.考點交匯展示： (1)基本初等函數(shù)與集合交匯 例1【河北省“五個一名校聯(lián)盟”xx高三教學質(zhì)量監(jiān)測(一)1】設(shè)集合，，則( ) A.AB B.AB C.AB D.AB 例2【四川省廣安市xx年高2011級第三次診斷考試2】設(shè)集合，，則等于 (A) (B) (C) (D) (2)基本初等函數(shù)與基本不等式交匯 【成都石室中學xx屆高三上期“一診”模擬考試（一）（理）】已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為 . 【考點特訓】 1.【江西師大附中、鷹潭一中xx屆四月高三數(shù)學】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與值域相同，則實數(shù)的取值為( ) A． B． C． D． 2.【山東省濟寧市xx屆高三上學期期末考試】函數(shù)的圖象過一個定點P，且點P在直線上，則的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.25 【答案】D 3. 【四川省雅安中學xx屆高三下期3月月考數(shù)學（文）】設(shè)，則（ ） A．若 B. C. D. 考點：函數(shù)圖象的應用. 4.【唐山市xx學年度高三年級第一次模擬考試】下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 5.【xx年哈爾濱師大附中 東北師大附中 遼寧省實驗中學高三第一次聯(lián)合模擬考試】已知函數(shù)的零點依次為，則（ ） A. B. C. D. 考點：函數(shù)的零點. 6.【xx年哈爾濱師大附中 東北師大附中 遼寧省實驗中學高三第一次聯(lián)合模擬考試】已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 考點：函數(shù)的應用. 7. 【xx安慶二模文】設(shè)定義域為的函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則實數(shù)的值為（ ） A 0 B 6 C 2或6 D 2 同實根，有3個不同實根，符合題意. 選D。 考點：1函數(shù)圖像；2函數(shù)零點。 8. 【廣州市海珠區(qū)xx學年高三綜合測試（一）試題3】已知，，則( ). A． B． C． D． 9. 【廣東省惠州一中等六校xx屆高三8月聯(lián)考10】定義在R上的奇函數(shù)和定義在上的偶函數(shù)分別滿足，，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 10.（xx年高考（北京文））已知,.若 或,則的取值范圍是________. 【答案】 【解析】首先看沒有參數(shù),從入手,顯然時,,時,,而對或成立即可,故只要時,(*)恒成立即可.當時,, 【考點預測】 【熱點1預測】若則的值為 ____ ． 【熱點2預測】 如果在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍（ ） A． B． C． D （0，）