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1、2019.6
2019年普通高等學校招生全國統一考試（I卷）
理科數學
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的。
1. 已知集合，則
A. B.
C. D.
2. 設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x,y)，則
A. B. C. D.
3. 已知，則
A. B. C. D.
4. 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底長度之比是
（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如
此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的
2、長度與咽喉至肚臍的長度之比也是。
若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長105 cm，頭頂至脖子下端的長度為
26 cm，則其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5. 函數的圖像大致為
A. B.
C. D.
6. 我國古代典籍《周易》用卦描述萬物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個
爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦。
在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是
A.
3、 B. C. D.
7. 已知非零向量a，b滿足|a| = 2|b|，且(a - b)b，則a與b的夾角為
A. B. C. D.
8. 右圖是求的程序框圖，圖中空白框應填入
A.
B.
C.
D.
9. 記Sn為等差數列的前n項和。已知S4 = 0，= 5，則
A. B.
C. D.
10. 已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A、B兩點，若，，則C的方程為
A. B. C. D.
11. 關于函數有下述四個結論：
①是偶函數 ②在區(qū)間單
4、調遞增
③在有4個零點 ④的最大值為2
A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
12. 已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA = PB = PC，是邊長為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點，，則球O的體積為
A. B. C. D.
2、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 曲線在點(0,0)處的切線方程為______________。
14. 記Sn為等比數列的前n項和，若，則_____________。
15. 甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲
5、勝，決賽結束）。 根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”。設甲隊主場取勝的概率為0.6， 客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4:1獲勝的概率是__________。
16. 已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與C的兩條漸近 線分別交于A、B兩點，若，，則C的離心率為____________。
3、 解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試 題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
（1） 必考題：共60分。
17. （12分）
的內角A、B、C的對邊
6、分別為a、b、c，設。
（1） 求A；
（2） 若
A
D
B
E
C
N
A1
B1
D1
C1
M
18. （12分）
如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1 = 4，AB = 2，，E、M、N分別
是BC、BB1、A1D的中點。
（1） 證明：MN // 平面C1DE；
（2） 求二面角A-MA1-N的正弦值。
19. （12分）
已知拋物線的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A、B，與x軸的交點為P。
（1） 若，求l的方程；
（2） 若。
20. （12分）
7、
已知函數。證明：
（1） 存在唯一極大值點；
（2） 有且僅有2個零點。
21. （12分）
為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗。試驗 方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另 一只施以乙藥，一輪的治療效果得出后，再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種 藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效。為了方便描述問題，約定： 對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 -1分； 若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分
8、，甲藥得 -1分；若都治愈或都未 治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為，一輪試驗中甲藥的得分記為X。
（1） 求X的分布列；
（2） 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最 終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中 。假設。
（i） 證明：為等比數列；
（ii） 求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性。
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計 分。
22. [選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為。以坐標原點O為極點，x軸的 正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為。
（1） 求C和l的直角坐標方程；
（2） 求C上的點到l距離的最小值。
23. [選修4—5：不等式選講]（10分）
已知a、b、c為正數，且滿足abc = 1。證明：
（1）
（2）
2019年全國一卷理科數學試卷
