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1、綜合仿真練(一)(理獨)
1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
(2019江蘇高考)已知矩陣A＝.
(1)求A2；
(2)求矩陣A的特征值．
解：(1)因為A＝，
所以A2＝
＝＝.
(2)矩陣A的特征多項式為
f(λ)＝＝λ2－5λ＋4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝4.
B．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在極坐標系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點和點，求圓C的極坐標方程．
解：法一：因為圓心C在極軸上且過極點，
所以設(shè)圓C的極坐標方程為ρ＝acos θ，
又因為點在圓C上，
所以3＝ac
2、os ，解得a＝6.
所以圓C的極坐標方程為ρ＝6cos θ.
法二：點的直角坐標為(3,3)，
因為圓C過點(0,0)，(3,3)，
所以圓心C在直線為x＋y－3＝0上．
又圓心C在極軸上，
所以圓C的直角坐標方程為(x－3)2＋y2＝9.
所以圓C的極坐標方程為ρ＝6cos θ.
C．[選修4－5：不等式選講]
(2019南通等七市一模)柯西不等式
已知實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2≤1，求證：＋＋≥.
證明：由柯西不等式，得[(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)]≥＋＋2＝9，
所以＋＋≥≥＝.
2．(2019揚州期末)已知直線x＝－2上有一動點Q，過點
3、Q作直線l1垂直于y軸，動點P在l1上，且滿足＝0(O為坐標原點)，記點P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程；
(2)已知定點M，N，A為曲線C上一點，直線AM交曲線C于另一點B，且點A在線段MB上，直線AN交曲線C于另一點D，求△MBD的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．
解：(1)設(shè)點P(x，y)，則Q(－2，y)，∴＝(x，y)，＝(－2，y)，
∵＝0，∴＝－2x＋y2＝0，即y2＝2x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直線BD與x軸的交點為E，△MBD內(nèi)切圓與MB的切點為T.
設(shè)直線AM的方程為y＝k，聯(lián)立方程，得得k2x2＋(k2－2)x＋＝0，Δ
4、＝4－4k2>0，
∴x1,2＝，
∴x1x2＝且01，
∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)．
法二：
5、∴H(x2－r,0)，直線BD的方程為x＝x2，
直線AM的方程為y＝，
即y2x－y＋y2＝0，且點H與點O在直線AB的同側(cè)，
不妨設(shè)點B在x軸上方，
∴r＝＝，解得r＝＝.
令t＝x2＋，則t>1，
∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)．
法三：∴△MTH∽△MEB，∴＝，即＝，
解得r＝
＝＝.
令t＝x2＋，則t>1，
∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)．
3．一條直路上依次有2n＋1棵樹，分別為T1，T2，…，T2n＋1(n為給定的正整數(shù))，一個醉漢從中間位置的樹Tn＋1出發(fā)，并按以
6、下規(guī)律在這些樹之間隨機游走n分鐘：當他某一分鐘末在樹Ti(2≤i≤2n)位置時，下一分鐘末他分別有，，的概率到達Ti－1，Ti，Ti＋1的位置．
(1)求該醉漢第n分鐘末處在樹Ti(1≤i≤2n＋1)位置的概率；
(2)設(shè)相鄰2棵樹之間的距離為1個單位長度，試求該醉漢第n分鐘末所在位置與起始位置(即樹Tn＋1)之間的距離的數(shù)學期望(用關(guān)于n的最簡形式表示)．
解：(1)不妨假設(shè)2n＋1棵樹T1，T2，…，T2n＋1從左向右排列，每2棵樹的間距為1個單位長度．
因為該醉漢下一分鐘末分別有，，的概率到達Ti－1，Ti，Ti＋1的位置，
所以該醉漢將以的概率向左或向右走．
我們規(guī)定，事件
7、“以的概率向左或向右走0.5個單位長度”為一次“隨機游走”，
故原問題等價于求該醉漢從樹Tn＋1位置出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機游走后處在樹Ti位置的概率為Pi.
對某個i(1≤i≤2n＋1)，設(shè)從Tn＋1出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機游走到達Ti的全過程中，向右走0.5個單位長度和向左走0.5個單位長度分別有k次和2n－k次，
則n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－(i－1)次向左游走，而這樣的情形共C種，故所求的概率Pi＝(1≤i≤2n＋1)．
(2)對i＝1,2，…，2n＋1，樹Ti與Tn＋1相距|n＋1－i|個單位長度，而該醉漢到樹Ti的概率為Pi，故所求的數(shù)學期望E＝n＋1－i|.
而n＋1－i|C＝n－j|C
＝2(n－j)C＝2C－2C
＝2n－2nC
＝2n(C＋)－4n
＝n(C＋22n)－4n
＝n(C＋22n)－2n22n－1＝nC，
因此E＝.
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（江蘇專用）2020高考數(shù)學二輪復習 綜合仿真練（一） 理
