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1、綜合仿真練(五)(理獨(dú))
1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請(qǐng)任選二個(gè)作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
(2019南通、泰州等七市三模)已知a，b，c，d∈R，矩陣A＝的逆矩陣A－1＝.若曲線C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線y＝2x＋1，求曲線C的方程．
解：由AA－1＝
得＝＝，
所以a＝1，b＝1，c＝2，d＝0，
即矩陣A＝.
設(shè)P(x，y)為曲線C上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′，y′)，
則＝，即
由已知條件可知，P′(x′，y′)滿足y＝2x＋1，
得2x－5y＋1＝0，
所以曲線C的方程為2x－5y＋1＝0.
B．[選修4－4
2、：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(n為參數(shù))與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．
解：法一：將曲線(t為參數(shù))化為普通方程為y2＝8x. 將直線(n為參數(shù))代入y2＝8x得，n2－8n＋24＝0，解得n1＝2，n2＝6.則|n1－n2|＝4， 所以線段AB的長(zhǎng)為4.
法二：將曲線(t為參數(shù))化為普通方程為y2＝8x,
將直線(n為參數(shù))化為普通方程為x－y＋＝0，由得或
所以AB的長(zhǎng)為 ＝4.
C．[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，若存在實(shí)數(shù)x使f(x)＋g(x)>a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：存在實(shí)數(shù)x使
3、f(x)＋g(x)＞a成立，
等價(jià)于f(x)＋g(x)的最大值大于a，
因?yàn)閒(x)＋g(x)＝＋
＝＋1，
由柯西不等式得，(＋1)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，
所以f(x)＋g(x)＝＋≤8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時(shí)取“＝”，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，8)．
2.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.
(1)求棱AA1與BC所成的角的大??；
(2)在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角PABA1的平面角的余弦值為.
解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB所在直線為x軸，y軸，過(guò)A平行于A1B的直線為z軸，建立
4、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0，4,2)，＝(0,2,2)，＝＝(2，－2,0)．
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故棱AA1與BC所成的角是.
(2)設(shè)＝λ＝(2λ，－2λ，0)，
則P(2λ，4－2λ，2)．
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)，
又＝(2λ，4－2λ，2)，＝(0,2,0)，
則即
令x＝1，得平面PAB的一個(gè)法向量n1＝(1,0，－λ)．
易知平面ABA1的一個(gè)法向量是n2＝(1,0,0)，
則cos〈n1，n2〉＝＝＝，
解得λ＝，即P為棱B1C1的中點(diǎn)，
其坐標(biāo)為P(1,3
5、,2)時(shí)，
二面角PABA1的平面角的余弦值為.
3．(2019鹽城三模)某種質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2,3，將這個(gè)玩具拋擲n次，記第n次拋擲后玩具與桌面接觸的面上所標(biāo)的數(shù)字為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，記Sn是3的倍數(shù)的概率為P(n)．
(1)求P(1)，P(2)；(2)求P(n)．
解：(1)拋擲1次，出現(xiàn)0或3時(shí)符合要求，故P(1)＝.
拋擲2次，出現(xiàn)1＋2,2＋1,0＋0,3＋3,0＋3,3＋0時(shí)符合要求，共計(jì)6種情況，故P(2)＝＝.
(2)法一：設(shè)Sn被3除余1的概率為P1(n)，Sn被3除余2的概率為P2(n)，
則有P(n＋1)
6、＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，①
P1(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，②
P2(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，③
①－(②＋③)，得P(n＋1)－[P1(n＋1)＋P2(n＋1)]＝－[P1(n)＋P2(n)]，
化簡(jiǎn)，可得4P(n＋1)＝P(n)＋1，
即P(n＋1)－＝，
又P(1)＝，所以可得P(n)＝＋.
法二：設(shè)Sn被3除余1的概率為P1(n)，Sn被3除余2的概率為P2(n)，則P2(n)＝1－P(n)－P1(n)，
又P(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋P2(n)，
所以P(n＋1)＝P(n)＋P1(n)＋[1－P(n)－P1(n)]，
得4P(n＋1)＝P(n)＋1，
即P(n＋1)－＝，
又P(1)＝，所以可得P(n)＝＋.
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