（江蘇專用）2020高考數(shù)學二輪復習 專項強化練（七）平面向量

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1、專項強化練(七)　平面向量 A組——題型分類練 題型一　平面向量的線性運算 1．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若＋2＝3，則的值為________． 解析：由＋2＝3，得－＝2－2， 即＝2，所以＝. 答案： 2．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝____________(用a，b表示)． 解析：由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 3．已知Rt△ABC的面積為2，∠C＝90，點P是Rt△ABC所在平面內的一點，滿足＝＋，則的最大值是________． 解析：由條件可知||||＝4，＝0，因為＝－

2、＝－－，＝－＝－－，故＝＝97－9||－4||≤97－122＝73，當且僅當9||＝4||，即||＝，||＝3時等號成立． 答案：73 [臨門一腳] 1．對相等向量、零向量、單位向量等概念的理解要到位． 2．用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應的三角形或平行四邊形；(3)運用法則找關系；(4)化簡結果． 3．線性運算由于基底運用難度較大，能建立坐標系的時候，建系優(yōu)先． 4．利用兩向量共線證明三點共線要強調有一個公共點． 5．已知＝λ＋μ (λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1. 題型二　平面向量的坐標表示 1．

3、(2019錫山中學模擬)已知向量a，b滿足a＋2b＝(－3,4)，2a－b＝(4，－2)，則a2＋b2＝________. 解析：得a＝(1,0)，b＝(－2,2)．所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝1＋(－2)2＋22＝9. 答案：9 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值是________． 解析：因為u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 所以8－4x＝3＋6x，所以x＝. 答案： 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝____________.

4、 解析：不妨設c＝(m，n)， 則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 對于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 對于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 聯(lián)立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. 答案： [臨門一腳] 1．解決向量的坐標運算問題，關鍵是掌握線性運算法則及坐標運算的特點．一般地，已知有向線段兩端點的坐標，應先求出向量的坐標．解題時注意利用向量相等(橫、縱坐標分別相等)建立方程(組)求解． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0. 題型三

5、　平面向量的數(shù)量積 1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為________． 解析：依題意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－. 答案：－ 2．已知向量與的夾角為120，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 解析：由題意得，＝－3，由＝(λ＋)(－)＝0，得λ－λ2＋2－＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝. 答案： 3．(2019丹陽中學月考)在直角坐標系中，已知三點A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O為坐標原點

6、．若向量與在向量方向上的投影相等，且＝－10，則a－b＝________. 解析：因為向量與在向量方向上的投影相等，所以＝， 3a＋b＝12＋5b，即3a－4b－12＝0，① 又＝(3－a，b－1)，＝(4,5)，所以＝－4a＋5b＋7＝－10，即4a－5b－17＝0，② ②－①得a－b＝5. 答案：5 4．(2018武漢調研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.邊DC上的動點P(包含點D，C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足||＝||，則的最小值為________． 解析：以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，1)

7、，Q(2，y)，由題意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴當x＝時，取得最小值，為. 答案： 5．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內一點，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則B，C(0，t)，因為＝＋，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2x＋y－t＝0，所以點P到直線BC的距離為d＝，BC＝

8、，所以△PBC的面積為＝≥，當且僅當t＝時取等號． 答案： [臨門一腳] 1．若向量a，b，c滿足ab＝ac(a≠0)，則不一定有b＝c. 2．兩個向量a與b的夾角為銳角(鈍角)，則有ab>0(ab<0)，反之不成立(因為夾角為0(π)時不成立)． 3．在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，是求模常用的公式． 4．數(shù)量積的運算中，ab＝0?a⊥b，是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有ab＝0，但不能說a⊥b. 5．平面向量的求解常見方法有定義法、坐標法、轉化法、極化恒等式法、投影法． B組——高考提速練 1．(2019鹽

9、城中學模擬)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，m)，若a∥(2a－b)，則a在b方向上的投影是________． 解析：2a－b＝(2,4)－(－3，m)＝(5,4－m)，因為a∥(2a－b)，所以1(4－m)－25＝0，所以m＝－6，所以b＝(－3，－6)，所以a在b方向上的投影是＝＝－. 答案：－ 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：因為＝－＝a－b，又＝3，所以＝＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．(2019白蒲中學模擬)在平行四邊形ABCD中，若＝x＋y，則x－y＝________. 解析：在平

10、行四邊形ABCD中＝＋＝＋，所以＝－， 所以x＝1，y＝－1，則x－y＝2. 答案：2 4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：因為(a＋kb)⊥(a－kb)， 所以(a＋kb)(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又因為|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝. 答案： 5．(2019啟東中學模擬)已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30，若t∈R，則|＋t|的最小值為______ . 解析：|＋t|＝|＋t(－)|＝|(1－t)＋t|，則|＋t|2＝(1－t)22＋t22＋2(1－t)t

11、 ＝36(1－t)2＋12t2＋2t(1－t)62 ＝12(t2－3t＋3)，當t＝時，|＋t|取得最小值3. 答案：3 6.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則的值為________． 解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以 ＝(＋2)(－)＝(－9＋3)＝－2. 答案：－2 7．(2019揚州中學模擬)已知在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC＝2，若＝2，則＝________. 解析： 如圖， ＝(＋) ＝2＋ ＝22＋||||cos 135 ＝4＋22 ＝－2. 答案：－2 8．將向量＝(1,1)

12、繞原點O逆時針方向旋轉60得到，則＝____________. 解析：法一：＝(1,1)，設＝(x，y)，則||＝||＝＝，＝||||cos 60＝1，又由向量的坐標運算可知＝x＋y＝1，① ||＝||＝＝，化簡得x2＋y2＝2，② 因為點B在第二象限，故x<0，所以解得 故＝. 法二：因為||＝||＝＝，直線OB的傾斜角為60＋45＝105，故點B的橫坐標xB＝||cos(60＋45)＝＝，縱坐標yB＝||sin(60＋45)＝＝，故＝. 答案： 9．若向量a＝(cos 15，sin 15)，b＝(cos 75，sin 75)，則a＋b與a的夾角為________． 解析：a

13、＋b＝(cos 15＋cos 75，sin 15＋sin 75)＝(cos 15＋sin 15，sin 15＋cos 15)，則(a＋b)a＝cos 15(cos 15＋sin 15)＋sin 15(cos 15＋sin 15)＝1＋2cos 15sin 15＝1＋sin 30＝， |a＋b|＝ ＝ ＝＝， cos〈a＋b，a〉＝＝＝，又〈a＋b，a〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a〉＝. 答案： 10.(2019江都中學模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點，且AD＝DM，N是線段BD上的動點，過點N作AM的垂線，垂足為H，設＝λ1＋λ2，則當最小時，λ1＋λ2

14、的值為________． 解析：＝||||cos〈，〉，由圖易知向量，所成的角為鈍角，所以cos〈，〉<0，因為NH⊥AM，所以＝－||||.當最小時，的模最大，數(shù)形結合易知點N與點D重合時，的模最大，即最小，如圖．因為AD＝DM，DH⊥AM，所以H是AM的中點，則＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝＋，所以λ1＋λ2＝. 答案： 11.如圖，等邊△ABC的邊長為2，頂點B，C分別在x軸的非負半軸，y軸的非負半軸上移動，M為AB的中點，則的最大值為________． 解析：設∠OBC＝θ，因為BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，則＝(－2cos θ，2sin θ)

15、，設＝(x，y)，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以解得即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，則＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，因為M為AB的中點，所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，所以＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ＝，所以的最大值為＋. 答案：＋ 12．已知△ABC的三個內角為A，B，C，重心為G，若2sin A＋sin B＋3sin C＝0，則cos B＝________. 解析：設a，b，c分別為角A，B，C所對的邊

16、， 由正弦定理得2a＋b＋3c＝0， 則2a＋b＝－3c＝－3c(－－)， 即(2a－3c)＋(b－3c)＝0. 又，不共線，所以 由此得2a＝b＝3c，所以a＝b，c＝b， 于是由余弦定理得cos B＝＝. 答案： 13．已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120，則|α|的取值范圍為________． 解析：法一：由|β|＝1，且α與β－α的夾角為120，作向量＝α，＝β－α，則＝β，在△OAB中，∠OAB＝60，OB＝1，則由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤. 法二：設|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝

17、α2＋2α(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0