2020年國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大《數(shù)學(xué)思想與方法》期末考試復(fù)習(xí)試題答案小抄

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1、2020年國(guó)家開(kāi)放大學(xué)《數(shù)學(xué)思想與方法》 期末考試復(fù)習(xí)試題答案小抄 一、填空題 1、古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表；一種是長(zhǎng)于計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用，以《九章算術(shù)》為典范。 2、在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的《幾何原本》。 3、《幾何原本》所開(kāi)創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)他們的發(fā)展。 4、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原因主要有兩個(gè)：實(shí)踐的需要；理論的需要；數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結(jié)果。 5、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何，標(biāo)志是微積分。 6、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知

2、識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。 7、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是在一定條件下，可能發(fā)生某種情況，也可能不發(fā)生某種情況。 8、等腰三角形的抽象過(guò)程，就是把一個(gè)新的特征：兩邊相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強(qiáng)化。 9、學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程有如下三個(gè)主要階段潛化階段、明朗階段、深入理解階段。 10、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合的趨勢(shì)。 11、強(qiáng)抽象就是指，通過(guò)　把一些新特征加入到某一概念中去　　　　　　　　　　　　　　　　　　而形成新概念的抽象過(guò)程。 12、菱形概念的抽象過(guò)程就是把一

3、個(gè)新的特征：一組鄰邊相等，加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概念得到了強(qiáng)化。 13、演繹法與歸納法被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。 14、所謂類比，是指由一類事物具有某種屬性，推測(cè)與其類似的某種事物也具有該屬性的推測(cè)方法；常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。 15、反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的矛盾律。 16、猜想具有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：具有一定的科學(xué)性、具有一定的推測(cè)性。 17、三段論是演繹推理的主要形式。三段論由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成。 18、化歸方法是指，把待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問(wèn)題中，最終獲得原問(wèn)題解答的一種方法。

4、19、在化歸過(guò)程中應(yīng)遵循的原則是簡(jiǎn)單化原則、熟悉化原則、和諧化原則。 20、在計(jì)算機(jī)時(shí)代，計(jì)算方法已成為與理論方法、實(shí)驗(yàn)方法并列的第三種科學(xué)方法。 21、算法具有下列特點(diǎn)：有限性、確定性、有效性。 22、算法大致可以分為多項(xiàng)式算法和指數(shù)型算法兩大類。 23、勻速直線運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是一次函數(shù)。 24、所謂數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解答問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法。 25、分類必須遵循的原則是不重復(fù)、無(wú)遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、按層次逐步劃分。 26、所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由數(shù)思形、見(jiàn)形思數(shù)，數(shù)形結(jié)合考慮問(wèn)題的一種思想方法。 27、所謂特殊化是指在研究問(wèn)題時(shí)，從一個(gè)對(duì)象的給定集合出發(fā)

5、，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合的思想方法。 28、面對(duì)一個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察和思考，通過(guò)歸納或類比提出猜想，然后從兩個(gè)方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說(shuō)明此猜想為假，并且進(jìn)一步修正或否定此猜想。 29、化歸方法的三個(gè)要素是：化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)、化歸途徑。 30、根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程有潛意識(shí)、明朗化、深刻理解三個(gè)階段，可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)成多次孕育、初步理解、簡(jiǎn)單應(yīng)用三個(gè)階段。 　　31、數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。 　　33、算法的有效性是指如果

6、使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問(wèn)題的正確解。 34、數(shù)學(xué)的研究對(duì)象大致可以分成兩大類：數(shù)量關(guān)系、空間形式。 35、在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)，應(yīng)該注意三條原則化隱為顯原則、循序漸進(jìn)原則、學(xué)生參與原則。 36、初等代數(shù)的特點(diǎn)是用字母符號(hào)來(lái)表示各種數(shù)，并且最初研究的對(duì)象主要是代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。 37、一個(gè)概括過(guò)程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。 38、深層類比又稱實(shí)質(zhì)性類比，它是通過(guò)對(duì)被比較的對(duì)象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關(guān)系的分析而得到的類比。 39、19世紀(jì)在公理法方面取得了突破性進(jìn)展，在這個(gè)基礎(chǔ)上，抽象的公理法進(jìn)一步向形式化方向發(fā)展。

7、 40、一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行不重復(fù)、無(wú)遺漏的劃分。 41、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重形式化數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，而忽視對(duì)知識(shí)發(fā)生過(guò)程中　　　　　　　　　的挖掘。 42、分類方法的原則是不重復(fù)、無(wú)遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、按層次逐步劃分。 43、數(shù)學(xué)模型按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的了解程度可以分為三類：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。 45、數(shù)學(xué)模型具有抽象性、準(zhǔn)確性和演繹性、預(yù)測(cè)性的特性。 46、公理方法就是從初始概念和公理出發(fā)，按照一定的規(guī)定定義出其它所有的概念，推導(dǎo)出其他一切命題的一種演繹方法。 47、概括通常包括兩種：經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括。而經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對(duì)個(gè)別事物所作

8、的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識(shí)—— 有對(duì)于個(gè)體特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)個(gè)體所屬的種的特性的認(rèn)識(shí)。 48、化歸方法是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題。 49、公理方法是從盡可能少的初始概念和公理出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理，使一門數(shù)學(xué)構(gòu)建成為演繹系統(tǒng)的一種方法。 50、數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)是有益于出現(xiàn)了無(wú)理數(shù)或不可通約性的發(fā)現(xiàn)而造成的。 52、所謂社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化就是指數(shù)學(xué)向社會(huì)學(xué)科的滲透，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)揭示社會(huì)現(xiàn)象的一般規(guī)律。 54、分類方法具有三個(gè)要素：母項(xiàng)，即被劃分對(duì)象、子項(xiàng)，即劃分后所得的類概念、根據(jù)，即劃分的標(biāo)準(zhǔn)。 55、在古代的游戲與賭博活動(dòng)中就有概率思想的雛形，但是作為一門科學(xué)則產(chǎn)生于17

9、世紀(jì)中期前后，它的起源于一個(gè)所謂的點(diǎn)數(shù)問(wèn)題有關(guān)。 56、在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘學(xué)者歐幾里德的《幾何原本》。 57、《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)地?cái)⑹龇謹(jǐn)?shù)運(yùn)算的著作，它關(guān)于負(fù)數(shù)的論述也是世界上最早的。 58、數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是一條明線，他被寫在教材中，數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉并貫穿在教學(xué)過(guò)程中。 59、反駁反例是用特殊的否定一般的一種思維方式。 60、類比聯(lián)想是人們運(yùn)用類比法獲得猜想的一種思想方法，他的主要步驟是聯(lián)想、類比、猜測(cè)。 61、歸納猜想是運(yùn)用歸納法得到的猜想，它的思維步驟是特例、

10、歸納、猜測(cè)。 62、所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體協(xié)調(diào)一致。 63、中國(guó)《九章算術(shù)》以算為主的算法體系與古希臘《幾何原本》邏輯演繹的體系在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過(guò)程中爭(zhēng)奇斗妍、交相輝映。 二、判斷題(只要答“是”或“否”) 是1、計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。 否2、抽象得到的新概念與表述原來(lái)的對(duì)象的概念之間一定有種屬關(guān)系。 否3、一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須給出證明。 否4、《九章算術(shù)》不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。 是5、既沒(méi)有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，也沒(méi)有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)。 否6、數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒(méi)應(yīng)用。 是7、在

11、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。 否8、如果某一類問(wèn)題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該問(wèn)題的精確解。 是9、對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。 否10、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)。 否11、由類比法推得的結(jié)論必然正確。 是12、有時(shí)特殊情況能與一般情況等價(jià)。 是13、完全歸納法實(shí)質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。 否14、古希臘的柏拉圖曾在他的學(xué)校門口張榜聲明：不懂幾何的人不得入內(nèi)。這是因?yàn)樗膶W(xué)校里所學(xué)習(xí)的課程要用到很多幾何知識(shí)。 否15、完全歸納法的一般推理形式

12、是： 　　設(shè)S＝具有性質(zhì)P，因此推斷集合S中的每一個(gè)對(duì)象都具有性質(zhì)P。 否16、提出一個(gè)問(wèn)題的猜想是解決這個(gè)問(wèn)題的終結(jié)。 是17、貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過(guò)程中有兩個(gè)思想，一是公理化思想，一是機(jī)械化思想。 否18、算術(shù)反映的是物體集合之間的函數(shù)關(guān)系。 是19、《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)地?cái)⑹龇謹(jǐn)?shù)運(yùn)算的著作，他關(guān)于負(fù)數(shù)的論述也是世界上最早的。 否20、抽象和概括是兩種完全不同的方法。 是21、分類可使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。 否22、在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，不必經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象這一環(huán)節(jié)。 是23、演繹的根本特點(diǎn)就是當(dāng)他的前提為真時(shí)，結(jié)論必為真。 是24、抽象得到的新概念與表述原

13、來(lái)的對(duì)象概念之間不一定有種屬關(guān)系。 否25、數(shù)學(xué)模型方法是近代才產(chǎn)生的。 否26、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，本教材所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法并不多見(jiàn)。 是27、所謂特殊化是指在研究問(wèn)題時(shí)，從對(duì)象的一個(gè)給定集合出發(fā)，近而考慮某個(gè)包含與蓋集合的較小集合的思想。 是28、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。 是29、新頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的特點(diǎn)之一“再創(chuàng)造”體現(xiàn)了我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的新理念。 是30、法國(guó)的布爾巴基學(xué)派利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一。 否31、數(shù)學(xué)公理化方法在其他學(xué)科也能起到作用，所以它是萬(wàn)能的。 否32、算法具有無(wú)限性、不確定性與有效性。 是33、最早

14、使用數(shù)學(xué)模型方法的當(dāng)數(shù)中國(guó)古人。 是34、理論方法、實(shí)驗(yàn)方法和計(jì)算方法并列為三種科學(xué)方法。 否35、表層類比和深層類比其涵義是一樣的。 是36、猜想具有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：一定的科學(xué)性和一定的推測(cè)性。 是37、數(shù)學(xué)史上著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”最后由歐拉用一筆畫方 解決了其無(wú)解。 否 38、數(shù)學(xué)模型具有預(yù)測(cè)性、準(zhǔn)確性和演繹性，但不包括抽象性。 三、簡(jiǎn)答題 1、 為什么說(shuō)《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系？ 答：①因?yàn)樵凇稁缀卧尽分?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)訂立的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過(guò)的定理，并且引入的概念也基本上是符合邏輯上對(duì)

15、概念下定義的要求，原則上不再依賴其他東西。因此《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。 ②另外《幾何原本》的理論體系會(huì)比任何與社會(huì)生產(chǎn)生活有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，因此對(duì)于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，它也是封閉的。 ③所以，《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。 2、試對(duì)《九章算術(shù)》思想方法的一個(gè)特點(diǎn)“算法化的內(nèi)容”加以說(shuō)明。答：①《九章算術(shù)》在每一章內(nèi)都先列舉若干實(shí)際問(wèn)題，并對(duì)每個(gè)問(wèn)題給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問(wèn)題的共同解法。②以后遇到同類問(wèn)題，只要按“術(shù)”給出的程序去做就一定能求出問(wèn)題的答案。③歷代數(shù)學(xué)家受到追求實(shí)用、講究算法的傳統(tǒng)思想的影響，使他們對(duì)《九章算術(shù)》的注、校，主要集中在對(duì)“術(shù)”進(jìn)行研

16、究，即不斷改進(jìn)算法。因此，我們說(shuō)，內(nèi)容的算法化是《九章算術(shù)》思想方法上的特點(diǎn)之一。 3、簡(jiǎn)述確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)以及確定性數(shù)學(xué)的局限性。 ①確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會(huì)發(fā)生某種結(jié)果，或者必然不會(huì)發(fā)生某種結(jié)果。②隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。③對(duì)于隨即現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來(lái)加以定量描述；此外，由于隨機(jī)現(xiàn)象并不是雜亂無(wú)章的現(xiàn)象，就個(gè)體而言，似乎沒(méi)有什么規(guī)律存在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)時(shí)，從總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)

17、律性，而確定數(shù)學(xué)無(wú)法定量地揭示這種規(guī)律性。 4、簡(jiǎn)述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。 在數(shù)學(xué)方面，計(jì)算機(jī)至少有三種新的用途，第一，用來(lái)證明一些數(shù)學(xué)命題，而通常證明這類命題，需要進(jìn)行異常巨大的計(jì)算與演繹工作；第二，用來(lái)預(yù)測(cè)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的可能結(jié)果；第三，用來(lái)作為一種驗(yàn)證某些數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)果的正確性的方法。 5、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)抽象的特征。 答：數(shù)學(xué)抽象有以下特征：①無(wú)物質(zhì)性；②層次性；③數(shù)學(xué)抽象過(guò)程要憑借分析或直覺(jué)；④數(shù)學(xué)抽象不僅有概念抽象還有方法抽象。 6、簡(jiǎn)述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。 答：①利用劃歸方法學(xué)習(xí)新知識(shí)；②利用劃歸方法指導(dǎo)解題；③利用劃歸 原理清理知識(shí)結(jié)構(gòu)。 7、簡(jiǎn)述用MM方法

18、解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟，并用框圖加以表示。 答：用MM方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟為： ①?gòu)默F(xiàn)實(shí)原型抽象概括出數(shù)學(xué)模型； ②在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解； ③從數(shù)學(xué)模型再過(guò)渡到現(xiàn)實(shí)原型，即將研究數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，求得實(shí)際問(wèn)題的解答。 8、試用框圖表示用特殊化方法解決問(wèn)題的一般過(guò)程。 答：特殊化解決問(wèn)題的過(guò)程可用框圖表示為： 　　　　　　　　　 這個(gè)框圖告訴我們：①若我們面對(duì)的問(wèn)題A解決起來(lái)比較困難，可以先將A轉(zhuǎn)化為特殊的A’，因?yàn)锳’與A相比較，外延變小，因此，內(nèi)涵勢(shì)必增多，所以由A’所導(dǎo)出的結(jié)論B’，它包含的內(nèi)涵一般也會(huì)

19、比較多。②把信息B’反饋到問(wèn)題A中，就會(huì)為問(wèn)題解決提供一些新的信息，再去推導(dǎo)結(jié)論B就會(huì)比較容易一些。③若解決問(wèn)題A仍有困難，則可對(duì)A再次進(jìn)行特殊化，進(jìn)一步增加信息量，如此反復(fù)多次，最終推得結(jié)論B，使問(wèn)題A得以解決。 9、簡(jiǎn)述化歸方法的和諧化原則。 和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。①美與真在數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)解題中一般是統(tǒng)一的。因此，②我們?cè)诮忸}過(guò)程中，可根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形等的結(jié)構(gòu)特征，利用和諧美去思考問(wèn)題，獲得解題信息，③從而確立解題的總體思路，達(dá)到以美啟真的作用。 10、什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個(gè)不符合算法有限性特點(diǎn)的例子。一個(gè)算法必須在有限步內(nèi)終止。例如，十進(jìn)

20、制小數(shù)的除法的算法。若取數(shù)4.5和3作為初始數(shù)據(jù),計(jì)算過(guò)程為得到的結(jié)果為1.5.但是對(duì)初始數(shù)據(jù)20和3,計(jì)算過(guò)程為無(wú)論怎樣延續(xù)這個(gè)過(guò)程都不能結(jié)束,同時(shí)也不會(huì)中斷.如果在某一處中斷過(guò)程,我們只能得到一個(gè)近似的、步準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在某一處中斷計(jì)算過(guò)程已經(jīng)不是執(zhí)行原來(lái)的算法?？梢?jiàn)，十進(jìn)制小數(shù)除法對(duì)于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點(diǎn)。 11、簡(jiǎn)述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。 答：猜想能力培養(yǎng)可以通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，如①新知識(shí)的學(xué)習(xí)，②數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求，③解題思路的探索等途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)。 12、簡(jiǎn)述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。 答：①利用特殊值（圖形）解選擇題；②利用特殊化探求問(wèn)題結(jié)論；③利用特例

21、檢驗(yàn)一般結(jié)果；④利用特殊化探索解題思路。 13、什么是類比猜想？并舉一個(gè)例子說(shuō)明。 答：①人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似 的事物也具有這種屬性的一種推測(cè)性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。 ②例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過(guò)是用字母替代數(shù)而已。因此，我們 可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面是對(duì)應(yīng)相似的。 14、什么是歸納猜想？并舉一個(gè)例子說(shuō)明。 答：①人們運(yùn)用歸納法，得出對(duì)一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識(shí)的一種推測(cè)性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。②例如，人們?cè)诙攘苛撕芏鄨@的周長(zhǎng)和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似

22、地等于3.14，于是提出了圓周率是3.14的猜想。后來(lái)，數(shù)學(xué)家從理論上證明了圓周率的數(shù)值是，果然和3.14很接近。 15、簡(jiǎn)述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理由。 答：由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)的背后，知識(shí)教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但如果不是有意識(shí)地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對(duì)象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識(shí)，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，把隱藏在知識(shí)背后的思想方法顯示出來(lái)，使之明朗化，才能通過(guò)知識(shí)教學(xué)過(guò)程達(dá)到思想方法教學(xué)的目的。 16、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循序漸進(jìn)原則？試舉例說(shuō)明

23、。 答：①數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識(shí)的理解和一般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。②薛申對(duì)每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)的沿著螺旋式方向上升的。③例如，學(xué)生理解屬性結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，要求學(xué)生會(huì)借助數(shù)軸來(lái)表示相反數(shù)、絕對(duì)值、比較有利書的大小等。 17、微積分產(chǎn)生主要可以歸結(jié)為哪四類問(wèn)題？ 答：主要有如下四類問(wèn)題： ① 第一類是：以植物體位移的距離為時(shí)間的函數(shù)，求物體瞬時(shí)速度和 加速度；反過(guò)來(lái)，已知物體的加速度為時(shí)間的函數(shù)，求速度和距離。 ②第二類是：

24、求曲線切線的斜率和方程。 ③第三類是：求函數(shù)的最大值與最小值。 ④第四類是：求曲線的長(zhǎng)度,曲邊梯形的面積,曲面圍成圖形的重心。 這四類問(wèn)題的核心是求一個(gè)常量無(wú)法確定的量——變量——問(wèn)題 18、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義是什么？ 答：①變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)更精確地描述物質(zhì)世界提供了有效工具；②變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，促進(jìn)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展和嚴(yán)密；③變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使辯證法進(jìn)入數(shù)學(xué)。 19、簡(jiǎn)述概括與抽象的關(guān)系。 答：①概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系。抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過(guò)程，抽象得到的新概念與表述原來(lái)的對(duì)象的概念之間不一定由種屬

25、關(guān)系。②概括是在思維中由認(rèn)識(shí)個(gè)別事物的本事屬性，發(fā)展到認(rèn)識(shí)具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對(duì)象概念的一個(gè)屬概念。③概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系、密不可分的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒(méi)有抽象就不能認(rèn)識(shí)任何事物的本質(zhì)屬性，就無(wú)法概括。概括也是抽象思維過(guò)程中所必須的一個(gè)環(huán)節(jié)，前述“收括”操作實(shí)際上也是一個(gè)概括過(guò)程，有人就吧“收括”稱之為概括，由于對(duì)共同點(diǎn)的概括才能得出對(duì)象的本質(zhì)屬性，從而完成抽象過(guò)程。 20、在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題。 答：①把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)； ②重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想

26、方法教學(xué)的目標(biāo)； ③做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作； ④不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求； ⑤注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。 21、我國(guó)數(shù)學(xué)教育存在哪些問(wèn)題？ 答：①數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果輕過(guò)程；重解題訓(xùn)練，輕智利、情感開(kāi)發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下；②重模仿輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動(dòng)性，缺乏判斷力和獨(dú)立思考能力；③學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重。原因是課堂教學(xué)效率不高，教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重。 22、《幾何原本》貫穿哪兩條邏輯要求？ 答：《幾何原本》貫徹了兩條邏輯要求。①第一，

27、公理必須是明顯的， 因而是無(wú)需加以證明的，其是否真實(shí)應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗(yàn)，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的，因而無(wú)需加以定義。②第二，由公理證明定理時(shí)，必須遵循邏輯規(guī)律和邏輯規(guī)則；同樣，通過(guò)初始概念以直接或間接方式對(duì)派生概念下定義時(shí)，必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。 23、簡(jiǎn)述公理化方法發(fā)展。 答：公理化方法是一個(gè)由個(gè)別上升到特殊再上升到一般的過(guò)程，最后形成了數(shù)學(xué)中普遍適用的科學(xué)方法。它的發(fā)展關(guān)系可以用下列圖示表明： ①個(gè)別 — 特殊— 一般； ②歐氏空間 — 各種幾何 — 一般意義空間； ③具體公理方法 — 抽象公理方法 — 形式化公理方法。

28、 24、常量數(shù)學(xué)應(yīng)用的局限性是什么？ 答：①在建立了太陽(yáng)中心理論后，17世紀(jì)的人們面臨了如何改進(jìn)計(jì)算行星位置，以及如何解釋地球上靜止的物體保持不動(dòng)、下降的物體還落在地球上等之類的問(wèn)題。②這類問(wèn)題的核心是物體的運(yùn)動(dòng)。面對(duì)這類帶有運(yùn)動(dòng)特征的問(wèn)題，人們已有的數(shù)學(xué)知識(shí)：算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角等構(gòu)成的初等數(shù)學(xué)，顯得無(wú)效。③由于初等數(shù)學(xué)都是以不變的數(shù)量(即常量)和固定的圖形為其研究對(duì)象(因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學(xué))。運(yùn)用這些知識(shí)可以有效地描述和解釋相對(duì)穩(wěn)定的事物和現(xiàn)象?？墒?，對(duì)于這些運(yùn)動(dòng)變化的事物和現(xiàn)象，它們顯然無(wú)能為力。 25、簡(jiǎn)述計(jì)算的意義 答：

29、①推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用； ②加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化； ③促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 26、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個(gè)主要階段。 答：① 潛意識(shí)階段--在這個(gè)階段學(xué)生只注意數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，注意知識(shí)積累，而未曾注意到對(duì)這些知識(shí)起到橫向聯(lián)系和固定作用的思想方法，或者只是處于一種“朦朦朧朧”、“若有所悟”的狀況；②明朗化階段--隨著運(yùn)用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)踐機(jī)會(huì)的增多，隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)后面的思想方法就會(huì)逐漸引起學(xué)生的注意和思考，直至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng)悟。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度時(shí)，這種事實(shí)上已經(jīng)被應(yīng)用多次的思想方法就會(huì)凸現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生開(kāi)始理解解題過(guò)程中所使用的方法與策略，并且概括總結(jié)出這一思想方法

30、；③深刻理解階段--在這個(gè)階段，學(xué)生基本上能正確運(yùn)用某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索和思考，以求得問(wèn)題的解決。同時(shí)，在解決問(wèn)題的實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生又將加深了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，并養(yǎng)成了有意識(shí)地、自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的思維習(xí)慣。 27、為什么說(shuō)數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸？ 答：①運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法解決問(wèn)題時(shí)，不是直接求出實(shí)際問(wèn)題的解，因?yàn)檫@樣做往往是行不通的或者花費(fèi)過(guò)分昂貴。②而是先將實(shí)際問(wèn)題化歸為一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)求數(shù)學(xué)模型的解間接求出原實(shí)際問(wèn)題的解，走的是一條迂回的道路。③因此，我們說(shuō)數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸。 28、模型化的方法、開(kāi)放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間的關(guān)

31、系 答：模型化的方法與開(kāi)放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間是互相適應(yīng)并且互相促進(jìn)的。雖然，各個(gè)數(shù)學(xué)模型之間也有一定的聯(lián)系，但是它們更具有相對(duì)獨(dú)立性。一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立與其它數(shù)學(xué)模型之間并不存在邏輯依賴關(guān)系。正因?yàn)槿绱?，所以可以根?jù)需要隨時(shí)從社會(huì)實(shí)踐中提煉出新的數(shù)學(xué)模型。另一方面，由于運(yùn)用模型化的方法研究數(shù)學(xué)，新的數(shù)學(xué)模型從何產(chǎn)生？只有尋找現(xiàn)實(shí)原型、立足于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的研究，這就不可能產(chǎn)生封閉式的演繹體系。解決實(shí)際問(wèn)題還提出了這樣的要求：對(duì)由模型化方法求得的結(jié)果必須能夠檢驗(yàn)其正確性和合理性，為了能夠求得實(shí)際可用的結(jié)果，于是算法化的內(nèi)容也就應(yīng)運(yùn)而生。 29、簡(jiǎn)述表層類比，并用舉例說(shuō)明。 答：①表層

32、類比是根據(jù)兩個(gè)被比較對(duì)象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似 所進(jìn)行的類比。這種類比可靠性較差，結(jié)論具有很大的或然性。在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。 30、簡(jiǎn)單說(shuō)明社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因？ 答：第一，社會(huì)管理需要精確化的定量依據(jù)；第二，社會(huì)科學(xué)理論體系的發(fā)展需要精確化；第三，出現(xiàn)了一些適合研究社會(huì)歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支；第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用。 31、何謂化歸方法？它遵循哪三個(gè)原則？ 答：所謂化歸方法，就是將一個(gè)問(wèn)題 進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一已能解決的問(wèn)題 ，既然 已可解決，那么 也就解決了?；瘹w方法遵

33、循三個(gè)原則：簡(jiǎn)單化原則、熟悉化原則、和諧化原則。 33、什么是公理方法和公理體系？ 答：簡(jiǎn)要地說(shuō)就是從初始概念和公理出發(fā)，按照一定的規(guī)律定義出其他所有的概念，推導(dǎo)出其他一切命題的一種演繹方法。公里體系由初始命題、公理、邏輯規(guī)則、定理等構(gòu)成。 34、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)最終如何解決了？ 答：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)并沒(méi)有輕易地很快解決。最后約在公元前370年，才由柏拉圖的學(xué)生歐多克斯解決了。他創(chuàng)立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的方法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷(比例論)收錄。這個(gè)問(wèn)題到19世紀(jì)戴德金及康托爾等人建立了現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論才算徹底解決。 35、為什么數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用？ 答：①數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實(shí)世界本身是同時(shí)兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，既不存在有數(shù)無(wú)形的客觀對(duì)象，也不存在有形無(wú)數(shù)的客觀對(duì)象。②因此，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。③充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于溝通代數(shù)、三角、幾何各分支之間的聯(lián)系，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有重要作用。